吳婉婷 朱燕 黃定江

摘 要：針對(duì)傳統(tǒng)投資組合策略的高頻資產(chǎn)配置調(diào)整產(chǎn)生高額交易成本從而導(dǎo)致最終收益不佳這一問(wèn)題，提出基于機(jī)器學(xué)習(xí)與在線(xiàn)學(xué)習(xí)理論的半指數(shù)梯度投資組合（SEG）策略。該策略對(duì)投資期進(jìn)行劃分，通過(guò)控制投資期內(nèi)的交易量來(lái)降低交易成本。首先，基于僅在每段分割的初始期調(diào)整投資組合而其余時(shí)間不進(jìn)行交易這一投資方式來(lái)建立SEG策略模型，并結(jié)合收益損失構(gòu)造目標(biāo)函數(shù);其次，利用因子圖算法求解投資組合迭代更新的閉式解，并證明該策略累積資產(chǎn)收益的損失上界，從理論上保證算法的收益性能。在紐約交易所等多個(gè)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行的仿真實(shí)驗(yàn)表明，該策略在交易成本存在時(shí)仍然能夠保持較高的收益，證實(shí)了該策略對(duì)于交易成本的不敏感性。

關(guān)鍵詞：機(jī)器學(xué)習(xí);在線(xiàn)學(xué)習(xí);投資組合選擇;半指數(shù)梯度策略;因子圖

中圖分類(lèi)號(hào)：?TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Semi-exponential gradient strategy and empirical analysis for online portfolio selection

WU Wanting1*， ZHU Yan1， HUANG Dingjiang2

1.School of Science， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China ;

2.School of Data Science and Engineering， East China Normal University， Shanghai 200062， China

Abstract：?Since the high frequency asset allocation adjustment of traditional portfolio strategies in each investment period results in high transaction costs and poor final returns， a Semi-Exponential Gradient portfolio （SEG） strategy based on machine learning and online learning was proposed. Firstly， the SEG strategy model was established by adjusting the portfolio only in the initial period of each segmentation of the investment period and not trading in the rest of the time， then a objective function was constructed by combining income and loss. Secondly， the closed-form solution of the portfolio iterative updating was solved by using the factor graph algorithm， and the theorem and its proof of the upper bound on the cumulative loss of assets accumulated were given， guaranteeing the return performance of the strategy theoretically. The experiments were performed on several datasets such as the New York Stock Exchange. Experimental results show that the proposed strategy can still maintain a high return even with the existence of transaction costs， confirming the insensitivity of this strategy to transaction costs.

Key words：?machine learning; online learning; portfolio selection; semi-exponential gradient strategy; factor graph

0 引言

投資組合選擇即在不確定環(huán)境下作出決策，選擇最優(yōu)的資產(chǎn)組合進(jìn)行投資，涉及傳統(tǒng)金融理論、量化金融[1-3]、機(jī)器學(xué)習(xí)[4-6]和人工智能[7-10]等多個(gè)領(lǐng)域。在線(xiàn)投資組合選擇[11-12]是指不考慮價(jià)格所遵循的任何模型，僅基于當(dāng)前信息，且對(duì)未來(lái)信息不作任何統(tǒng)計(jì)假設(shè)的前提下，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的在線(xiàn)學(xué)習(xí)算法序貫地構(gòu)造投資組合的在線(xiàn)決策問(wèn)題。經(jīng)典的投資組合策略大多建立在金融市場(chǎng)不存在交易成本這一假設(shè)下，而交易成本作為市場(chǎng)中的核心因素之一，幾乎存在于所有的金融貿(mào)易當(dāng)中，投資者面對(duì)交易成本時(shí)的投資策略也會(huì)有極大的不同，因此基于這一假設(shè)的策略在實(shí)際應(yīng)用中的效果往往并不可觀，而投資者如何在交易成本存在的情況下進(jìn)行交易決策仍然是一個(gè)重要的問(wèn)題。

為解決交易成本存在時(shí)的決策問(wèn)題，本文基于傳統(tǒng)的指數(shù)梯度（Exponential Gradient， EG）策略，結(jié)合在線(xiàn)算法和競(jìng)爭(zhēng)分析的思想，提出了半指數(shù)梯度（Semi-Exponential Gradient， SEG）策略，通過(guò)權(quán)衡交易所帶來(lái)的成本與所獲得的收益，對(duì)是否進(jìn)行交易作出決策;其次，建立收益比例度量投資組合向量的累積損失程度，并在多個(gè)金融市場(chǎng)的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 相關(guān)工作

投資組合選擇依據(jù)其遵循的根本原則，大致分為以Markowitz均值方差理論[13]為基礎(chǔ)的靜態(tài)情況研究與基于Kelly資本增長(zhǎng)理論[14]的動(dòng)態(tài)情況研究。后者關(guān)注多期或者序列投資組合選擇的在線(xiàn)決策方式與機(jī)器學(xué)習(xí)中的在線(xiàn)學(xué)習(xí)一致，因此基于在線(xiàn)學(xué)習(xí)的各種算法在投資組合選擇中得到了廣泛的研究。

盡管基于上述理論的投資組合選擇策略具有不同的適用條件與優(yōu)點(diǎn)，但多數(shù)沒(méi)有考慮交易成本的存在。近年來(lái)，一些在線(xiàn)投資組合的研究者試圖去解決交易成本[15-17]的問(wèn)題?，F(xiàn)有的關(guān)注于交易成本的在線(xiàn)投資組合策略大致可以分為以下兩種類(lèi)型：

1）在每個(gè)投資期都進(jìn)行資產(chǎn)配置調(diào)整，即在每個(gè)投資期都對(duì)投資組合向量進(jìn)行調(diào)整。該策略關(guān)于交易成本的處理主要分為兩種：

一種是通過(guò)在損失函數(shù)中增加交易損失項(xiàng)，利用范數(shù)正則項(xiàng)來(lái)度量交易量的大小，如在線(xiàn)懶惰更新 （Online Lazy Updates， OLU）[18]，該策略通過(guò)優(yōu)化模型中參數(shù)的稀疏，采用懶惰更新來(lái)調(diào)整投資組合向量以控制交易成本。除此之外，還有一些策略采用成比例支付交易成本的方式，依據(jù)資產(chǎn)所占權(quán)重來(lái)支付交易成本，如泛化投資組合 （Universal Portfolio， UP）[19-20]。盡管這些算法在一些數(shù)據(jù)集上實(shí)現(xiàn)了較好的結(jié)果，但是它們?cè)谡麄€(gè)投資期內(nèi)的交易成本總量仍舊很高，這是由于此類(lèi)策略在每個(gè)投資期都進(jìn)行了資產(chǎn)配置的調(diào)整，而這并不總是必要的。

2）只在有限的投資期內(nèi)進(jìn)行資產(chǎn)配置調(diào)整，即只在某些選定的時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行資產(chǎn)配置調(diào)整，在制定交易策略時(shí)考慮交易成本的影響，控制交易次數(shù)，依據(jù)預(yù)測(cè)的交易收益與交易成本對(duì)是否交易作出決策，從而有效控制策略的交易成本總量，如半常數(shù)再平衡投資組合（Semi-Constant Rebalanced Portfolios， SCRP）[21-23]、半泛化投資組合（Semi-Universal Portfolios， SUP）[24]。

本文提出的SEG策略采用動(dòng)態(tài)的投資組合向量更新規(guī)則，與在交易期內(nèi)采用固定不變的向量進(jìn)行投資的SCRP策略相比，能夠獲得更高的收益，且更加符合變化的金融市場(chǎng);此外，SEG策略利用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行投資組合向量更新，解決了SUP策略中由于存在積分計(jì)算而導(dǎo)致求解困難的問(wèn)題。

2 半指數(shù)梯度策略問(wèn)題描述

2.1 基本定義

考慮金融市場(chǎng)中一個(gè)具有m類(lèi)資產(chǎn)、n個(gè)交易期的投資任務(wù)。第t個(gè)交易期各類(lèi)資產(chǎn)的價(jià)格表示為 p t=（p1t， p2t， …， pmt）∈ R m+， pit代表第i類(lèi)資產(chǎn)的收盤(pán)價(jià)格， R m+為m維正實(shí)數(shù)向量構(gòu)成的特殊集合。資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)由相對(duì)價(jià)格向量 X t=（x1t，x2t，…，xmt）∈ R m+表示，其中xjt=pjt/pjt-1表示第j類(lèi)資產(chǎn)在第t個(gè)交易期的收盤(pán)價(jià)格與第t-1個(gè)交易期的收盤(pán)價(jià)格的比值。記n個(gè)交易期的相對(duì)價(jià)格序列為 X n=[ X 1， X 2，…， X n]。

第t個(gè)交易期初，依據(jù)投資組合向量 b t=（b1t， b2t，…， bmt）∈ R m+在m類(lèi)資產(chǎn)中分散全部的資本，bjt表示第j類(lèi)資產(chǎn)的投資比例。本文假設(shè)投資組合滿(mǎn)足 b t∈Δm， Δm= { ?b t： bjt≥0， ∑ m j=1 bjt=1 } ，即投資任務(wù)為自籌資金，且沒(méi)有保證金以及賣(mài)空的情況出現(xiàn)。記n個(gè)交易期的投資組合向量為 B n=[ b 1， b 2，…， b n]。

第t個(gè)交易期內(nèi)，投資組合 b t的收益增長(zhǎng)了st倍，增長(zhǎng)比率st= b t· X t=∑ m j=1 bjtxjt。在不考慮交易成本存在的情況下，n個(gè)交易期后，投資組合策略 B n得到的累積收益Sn相比初始資產(chǎn)的增長(zhǎng)比例為∏ n t=1? b t· X t，即Sn（ X n）=S0∏ n t=1? b t· X t，其中S0表示初始資產(chǎn)。

投資者的目標(biāo)是設(shè)計(jì)投資策略 B n以最大化累積收益Sn，通常依據(jù)價(jià)格的歷史信息，序貫地進(jìn)行投資決策。具體來(lái)說(shuō)，在第t個(gè)交易期，投資者依據(jù)此前的歷史相對(duì)價(jià)格向量，決策一個(gè)新的投資組合向量 b t，并基于此產(chǎn)生該交易期內(nèi)的收益st，重復(fù)該過(guò)程直至交易期結(jié)束，依據(jù)最終的累積收益對(duì)策略進(jìn)行評(píng)判。

2.2 交易成本

設(shè)交易成本比率為c（0≤c≤1），即每交易一單位資產(chǎn)的凈收益為1-c。第t個(gè)交易期結(jié)束時(shí)第i類(lèi)資產(chǎn)的交易成本Cit=stc | ?it-bit+1 | ，其中 it= bitxit? b t· X t 表示第t個(gè)交易期結(jié)束、（t+1）個(gè)交易期未開(kāi)始時(shí)第i類(lèi)資產(chǎn)的比例，?? t=[ 1t， 2t，…， mt]為該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的投資組合向量， b t+1=[b1t+1，b2t+1，…，bmt+1]為第（t+1）個(gè)交易期初的投資組合向量。故第t個(gè)交易期結(jié)束時(shí)的交易成本為Costt= C t· e ，其中 C t=[C1t，C2t，…，Cmt]，? e =[1，1，…，1]，則該交易期內(nèi)的凈收益為sct=st-Costt。n個(gè)交易期后投資組合策略 B n在有交易成本情況下的累積凈收益為Scn（ X n）=S0∏ n t=1 sct。

2.3 EG策略

在給出本文的SEG策略之前，先對(duì)EG策略[25]進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹。EG策略的核心思想是追蹤前一交易期表現(xiàn)好的投資組合，并通過(guò)一個(gè)正則項(xiàng)來(lái)保持之前投資組合的信息。EG考慮如下優(yōu)化問(wèn)題：

b t+1=arg maxηlog（ b · X t）-R （ b ， b t）

其中：R（ b ， b t）表示正則項(xiàng);η>0表示學(xué)習(xí)率。第一項(xiàng)的目的是最大化對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益;

第二項(xiàng)為正則項(xiàng)，趨向于使投資組合向量 b t+1接近于 b t。學(xué)習(xí)率η控制這兩者的相對(duì)重要性。

EG策略采用相對(duì)熵作為正則項(xiàng)，投資組合向量的更新法則為：

bit+1= 1 Zt? bitexp ?ηxit? b t· X t

其中Zt=∑ m i=1 bitexp ?ηxit? b t· X t? 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化，保證 b t+1∈Δm。

3 半指數(shù)梯度策略

3.1 策略思想

在介紹SEG策略模型之前，先通過(guò)一個(gè)虛擬市場(chǎng)的實(shí)例來(lái)闡述策略的核心思想以及優(yōu)勢(shì)。假設(shè)當(dāng)前的金融投資市場(chǎng)由兩只股票組成，考慮其中連續(xù)的5個(gè)投資期。在該投資期內(nèi)，兩只股票的相對(duì)價(jià)格向量分別為[3，3，3，1/3，1/3]和[2/3，2/3，2/3，3/2，3/2]，交易成本比率c=0.05，初始投資策略 b 0=[1/2，1/2]，初始投資金額S0=1。EG策略在每個(gè)投資期都會(huì)進(jìn)行資產(chǎn)配置調(diào)整，而SEG策略會(huì)對(duì)交易成本與交易當(dāng)期所能獲得的收益進(jìn)行權(quán)衡，當(dāng)交易成本大于收益時(shí)避免交易，反之則利用EG策略進(jìn)行投資組合調(diào)整。這便是離線(xiàn)SUP策略的思想。表1給出了利用Matlab模擬后各個(gè)投資期內(nèi)的交易成本與凈收益。

從表1可以觀察到，SEG策略通過(guò)避免不必要的交易，能夠獲得更高的累積資產(chǎn)收益。當(dāng)然該計(jì)算結(jié)果是在已知完整的市場(chǎng)價(jià)格序列情況下求解的離線(xiàn)最優(yōu)值。盡管這是一種能夠“預(yù)知未來(lái)”的理想情況，但仍然能夠基于競(jìng)爭(zhēng)性算法的思想完成在線(xiàn)SEG策略的建模，并結(jié)合因子圖算法對(duì)其進(jìn)行求解，下面將對(duì)此作更為詳盡的介紹。

3.2 SEG策略模型建立

本節(jié)給出SEG策略的競(jìng)爭(zhēng)性算法，該算法基于歷史信息來(lái)選擇進(jìn)行交易的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，當(dāng)交易成本大于投資收益時(shí)不進(jìn)行交易，即只在有限多個(gè)投資期內(nèi)進(jìn)行投資組合調(diào)整。

首先，考慮將整個(gè)投資期劃分為k+1個(gè)不同的時(shí)間段，只在每個(gè)時(shí)間段的初始進(jìn)行一次交易，分割區(qū)間內(nèi)的其余時(shí)期均不進(jìn)行交易。將劃分的k+1個(gè)時(shí)間段序列和每個(gè)時(shí)間段初始的投資策略稱(chēng)為k分割。假設(shè)存在一個(gè)特定的k（0≤k

{ X t0，…， X t1-1}，{ X t1，…， X t2-1}，…，{ X tk，…， X n}

SEG策略只在時(shí)間節(jié)點(diǎn)（t1，t2，…，tk）處利用EG策略進(jìn)行投資組合調(diào)整，得到 b ti（i=1，2，…，k），其余時(shí)間點(diǎn)不進(jìn)行交易。特別地令t0=1，tk+1=n+1，初始投資組合向量 b t0=（1/m，1/m，…，1/m）。

SEG策略第i個(gè)時(shí)間段的最后一個(gè)交易期為ti-1，它在此時(shí)間段的累積資產(chǎn)收益為：sti-1=∏ ti-1 t=ti-1 ?b ti· X t（i=1，2，…，k），其中ti點(diǎn)處的投資組合策略 b ti利用下式進(jìn)行計(jì)算：

bjti= 1 Zti-1 ?bjti-1exp ?ηxjti-1? b ti-1· X ti-1

其中：Zti-1=∑ m j=1 bjti-1exp ?ηxjti-1? b ti-1· X ti-1 ?為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化;bjti-1= bjti-1∏ ti-1 t=ti-1 xjt? b ti-1· （ti-1 t=ti-1 ?X t ） ?是第ti-1個(gè)交易期第j類(lèi)資產(chǎn)的權(quán)重;表示逐元素相乘。

設(shè)第i個(gè)時(shí)間段的交易成本為Costti-1，則該時(shí)間段內(nèi)的凈收益為scti-1=sti-1-Costti-1， n個(gè)交易期后的總凈收益：

Sc（ X n | ?B k，Tk，n）=∏ k i=0 ?[（ ∏ ti+1-1 t=ti? b ti· X t ） -Costti+1-1 ]

它是在路徑Tk，n和投資組合 B k=[ b t1， b t2，…， b tk]條件下的總收益。

為了確定最佳策略，在這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)類(lèi)算法中考慮全部的路徑與投資組合，其中包括基于事先觀測(cè)整個(gè)相對(duì)價(jià)格序列而選擇的使得累積資產(chǎn)收益最大的最優(yōu)路徑T*k*，n，即Sc（ X n | ?B *k，Tk*，n*）=sup Tk，n ?Sc（ X n | ?B k，Tk，n）。本文的優(yōu)化目標(biāo)即為在此分割框架之下構(gòu)造序列投資組合，使得其累積收益盡可能大，即盡可能地接近最優(yōu)路徑下所實(shí)現(xiàn)的收益sup Tk，n ?Sc（ X n | ?B k，Tk，n）;從另一個(gè)角度來(lái)看即為序列地構(gòu)造投資組合 B??? ^?? n=（?? 1，?? 2，…，?? n），使得最優(yōu)路徑下的收益與該投資組合收益之間的比值盡可能地小。

因此，優(yōu)化目標(biāo)為最小化兩者的投資收益比率：

Rc B k=sup ?X n? sup Tk，n ?Sc（ X n | ?B k，Tk，n） S?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）

其中，S?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）=

∏ n t=1 （ b??? ^?? t· X t-Costt）是 b??? ^?? t所實(shí)現(xiàn)的累積資產(chǎn)收益。這里 b??? ^?? t是嚴(yán)格的序列投資組合，即 b??? ^?? t是 X 1， X 2，…， X t-1的一個(gè)函數(shù)，它并不取決于未來(lái)的相對(duì)價(jià)格向量。在下文中還將證明， b??? ^?? t不依賴(lài)于Tk，n，k，n的先驗(yàn)知識(shí)，即對(duì)于任何的Tk，n都可以構(gòu)造一個(gè)序列投資組合 B??? ^?? n=（ b??? ^?? 1， b??? ^?? 2，…， b??? ^?? n），使得其累積資產(chǎn)收益盡可能地接近最優(yōu)分割下得到的收益。

對(duì)投資收益比率Rc B k取對(duì)數(shù)得到：

Loss=log Sc（ X n | ?B k，Tk，n）-log S?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）

則優(yōu)化目標(biāo)改寫(xiě)為在所有的分割中得到使SEG策略累積資產(chǎn)收益損失最小的序列投資組合。損失定義為SEG策略的對(duì)數(shù)收益與序列投資組合對(duì)數(shù)收益之間的差值。下面對(duì)SEG策略進(jìn)行求解，給出算法的偽代碼，并證明對(duì)于一個(gè)給定的SEG策略 b ti（i=1，2，…，k），算法的損失為O（klog（n））。

3.3 投資組合序列更新算法

下面考慮如何求解序列投資組合 b??? ^?? t。由于3.2節(jié)定義的SEG策略對(duì)于給定的n和k存在Ckn-1個(gè)可能的交易路徑Tk，n，然而在不知道關(guān)于未來(lái)價(jià)格信息的情況下，無(wú)法確定最優(yōu)的參數(shù)k。若依次執(zhí)行這2n-1個(gè)不同的交易路徑，最后在所有交易路徑中找到最佳的那一個(gè)路徑，算法的復(fù)雜度將會(huì)很高。因此考慮利用因子圖算法[26-27]進(jìn)行求解，因子圖是在線(xiàn)學(xué)習(xí)中的一個(gè)經(jīng)典算法，它根據(jù)資產(chǎn)的不同狀態(tài)進(jìn)行劃分，并將資產(chǎn)之間的迭代關(guān)系以遞推關(guān)系圖的形式描述出來(lái)，其中，每一條路徑相當(dāng)于是一個(gè)專(zhuān)家意見(jiàn)，對(duì)這些專(zhuān)家意見(jiàn)采用K-T權(quán)重的集成作為最終結(jié)果的一個(gè)近似估計(jì)。

由于S?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）=∏ n t=1? S?? ^?? c（ X t | ?B??? ^?? t） S?? ^?? c（ X t-1 | ?B??? ^?? t-1） =∏ n t=1 ?b??? ^?? t· X t，故為了求解序列投資組合 b??? ^?? t，先計(jì)算比例式 ：

S?? ^?? c（ X t | ?B??? ^?? t） S?? ^?? c（ X t-1 | ?B??? ^?? t-1） 。

利用因子圖進(jìn)行求解的過(guò)程如下，如圖1所示，在時(shí)刻t將所有可能的路徑Tk，t（k=1，2，…，t-1）看成t交叉集。標(biāo)記資產(chǎn)最后一次交易的時(shí)間狀態(tài)為vt，最后交易時(shí)間點(diǎn)相同的資產(chǎn)具有相同的狀態(tài)，則對(duì)于給定的t，資產(chǎn)最多有t個(gè)狀態(tài)vt=1，2，…，t。

定義t時(shí)刻狀態(tài)vt下第j類(lèi)資產(chǎn)的收益為S?? ^?? ct（ X t，vt， j）（j=1，2，…，m），則該時(shí)刻下所有狀態(tài)對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益之和為總體累積收益。因子圖中的每一個(gè)方格即表示某一狀態(tài)vt對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)S?? ^?? ct（ X t，vt， j）（j=1，2，…，m）。由圖1可知，從某一狀態(tài)開(kāi)始繼續(xù)形成新的路徑僅有兩種轉(zhuǎn)換：橫向的路徑表示上一時(shí)刻和該時(shí)刻處于同一分割，即沒(méi)有進(jìn)行交易;傾斜的路徑則表示處于不同分割，即發(fā)生了交易。

沒(méi)有交易發(fā)生時(shí)，在t-1時(shí)刻以狀態(tài)vt-1=v結(jié)束的所有路徑，在時(shí)刻t仍以該狀態(tài)vt=v結(jié)束。狀態(tài)vt-1=v（v=1，2，…，t-1， j=1，2，…，m）所對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益S?? ^?? ct（ X t，v， j）即為S?? ^?? ct-1（ X t-1，v， j）乘以相對(duì)價(jià)格xjt以及狀態(tài)轉(zhuǎn)化概率Pkt（vt=v | vt-1=v）。累積資產(chǎn)收益為：

S?? ^?? ct（ X t，v， j）=

Pkt（vt=v | vt-1=v）S?? ^?? ct-1（ X t-1，v， j）xjt

（1）

如果在時(shí)刻t發(fā)生了交易，即開(kāi)始了一個(gè)新的分割vt=t。由于從t-1時(shí)刻的狀態(tài)vt-1=1，…，t-1產(chǎn)生t時(shí)刻的新?tīng)顟B(tài)vt=t存在t-1個(gè)可能的交易路徑，即圖1中每條傾斜向上的路徑，且每條路徑上均發(fā)生了投資組合向量調(diào)整，此時(shí)S?? ^?? ct（ X t，t， j）的計(jì)算公式為：

S??? ^?? ct（ X t，t， j）=

∑ t-1 v=1 ?（ ∑ m r=1 S?? ^?? ct-1（ X t-1，v，r） ） Pkt（vt=t | vt-1=v）bjtxjt

（2）

將全部狀態(tài)的結(jié)果相加得到該時(shí)刻下的總體累積收益：

S?? ^?? c（ X t | ?B??? ^?? t）=∑ Tk，t P（Tk，t）S?? ^?? c（ X t | ?B??? ^?? t，Tk，t）=

∑ t v=1 ∑ m j=1 S?? ^?? c（ X t，v， j）=

∑ t v=1 ∑ m j=1 S?? ^?? ct-1（ X t-1，v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）· X t

其中 e j=[0，0，…，0，1，0，…，0]。因此可知：

S?? ^?? c（ X t | ?B??? ^?? t） S?? ^?? c（ X t-1 | ?B??? ^?? t-1） = ∑ t v=1 ∑ m j=1 S?? ^?? ct（ X t，v， j） ∑ t-1 v=1 ∑ m r=1 S?? ^?? ct-1（ X t-1，v，r） =

∑ t-1 v=1 ∑ m j=1 σct-1（v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）· X t

其中：

σct-1（v， j）= S?? ^?? ct-1（ X t-1，v， j） ∑ t-1 v=1 ∑ m r=1 S?? ^?? ct-1（ X t-1，v，r）

因此：

b??? ^?? t= ∑ t-1 v=1 ∑ m j=1 σct-1（v， j）（Pkt（vt=v | vt-1=v） e j+

Pkt（vt=t | vt-1=v） b t）

（3）

其中 b t表示EG策略，算法在每個(gè)時(shí)刻t的復(fù)雜度為O（tm）。

SEG策略如算法1所示。

算法1

SEG策略。

輸入

相對(duì)價(jià)格向量 X n;

輸出

序列投資組合 b??? ^?? t。

程序前

1）

初始化： b 1=（1/m，1/m，…，1/m），S?? ^?? c0（0，0，：）= b 1

2）

fo r t=1 to N

3）

計(jì)算該交易期內(nèi)資產(chǎn)收益： ??t· X t

4）

fo r v=1 to t-1

5）

fo r j=1 to m

6）

式（1）計(jì)算沒(méi)有交易發(fā)生的資產(chǎn)收益：

S?? ^?? ct（ X t，v， j）

7）

fo r v=1 to t-1

8）

fo r j=1 to m

9）

式（2）計(jì)算發(fā)生交易的資產(chǎn)收益：

S?? ^?? ct（ X t，t， j）

10）

式（3）更新序列投資組合向量： ??t

程序后

3.4 SEG策略收益理論保證：

下面給出該策略收益性能的理論保證，即證明對(duì)于一個(gè)給定的SEG策略 b t（i=1，2，…，k）來(lái)說(shuō)，算法的損失為O（klog（n））。

定理1? 令{ X t}是相對(duì)價(jià)格向量的任意序列，且滿(mǎn)足xit≥r>0，對(duì)于任何的ε>0，交易成本比率c、時(shí)間t以及SEG策略投資組合 b t∈Δm，都可以構(gòu)造一個(gè)序列投資組合 b??? ^?? t，它在每個(gè)交易期內(nèi)關(guān)于t為線(xiàn)性復(fù)雜度，且使得SEG策略的損失上界：

Loss=log Sc（ X n | ?B k， T*k，n）-logS?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）

滿(mǎn)足不等式：

Loss n ≤ （k+1）? log m 2nr2? +（k+ε） log n n + 1 n? log（1+ε）+k log 1 ε

證明

首先，定義交易路徑Tk，n被選擇的概率P（Tk，n）服從K-T權(quán)重分布，即P（Tk，n）≥0， ∑ n-1 k=0 ∑ Tk，n P（Tk，n）=1。由貝葉斯公式可知：

S?? ^?? c（ X n | ??B??? ^?? n）=∑ n-1 k=0 ∑ Tk，n P（Tk，n）Sc（ X n | ?B??? ^?? n， Tk，n）

則對(duì)于最優(yōu)路徑T*k，n，成立不等式：

log Sc（ X n | ?B??? ^?? n）≥log P（T*k，n）+log Sc（ X n | ?B ???^?? n， T*k，n）

其中對(duì)于K-T權(quán)重成立不等式：

-log P（T*k，n）≤?? （k+ε）log（n）+ log（1+ε）+k log 1 ε

依據(jù)文獻(xiàn)[25]中敘述的定理1推知SEG策略每一段交易期內(nèi)的投資組合累積收益滿(mǎn)足不等式：

log （ ∏ ti-1 t=ti-1 ??ct ） ≥

log （ ∏ ti-1 t=ti-1 ?sct ） -? tilog m 2r2

其中sct= b t· X t-Costt， ct= b??? ^?? t· X t-Costt分別為SEG策略的投資組合 b t與構(gòu)造的序列投資組合 b??? ^?? t在第i段分割期內(nèi)的凈收益?？紤]上述不等式到k+1段分割中，由于：

Sc（ X n | ?B k，Tk，n）=∏ k+1 i=1 ∏ ti-1 t=ti-1 sct

S?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n，Tk，n）=

∏ k+1 i=1 ∏ ti-1 t=ti-1 ?ct

特別地，對(duì)于最優(yōu)路徑T*k，n成立：

logS?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n，T*k，n）≥ log Sc（ X n | ?B k，T*k，n）-∑ k+1 i=1?? ti log m 2r2

則有：

logS?? ^?? c（ X n | ?B??? ^?? n）≥log P（T*k，n）+?? log Sc（ X n | ?B k，T*k，n）-∑ k+1 i=1?? ti log m 2r2

由于ti≤n，i=1，…，k+1，因此，損失上界滿(mǎn)足不等式：

Loss n ≤ （k+1）? log m 2nr2? +（k+ε） log n n + 1 n? log（1+ε）+k log 1 ε

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本章通過(guò)SEG策略與現(xiàn)有的5個(gè)同屬于追蹤高收益策略類(lèi)的算法進(jìn)行比較，分別為常數(shù)再平衡投資組合（Constant Rebalanced Portfolios， CRP）策略、半常數(shù)再平衡投資組合（SCRP）策略、泛化投資組合（UP）策略、半泛化投資組合（SUP）策略與指數(shù)梯度投資組合（EG）策略。通過(guò)在兩個(gè)經(jīng)典數(shù)據(jù)集上的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，來(lái)說(shuō)明SEG策略的優(yōu)越性。

4.1 度量標(biāo)準(zhǔn)

累積資產(chǎn)收益：整個(gè)交易期內(nèi)由策略所實(shí)現(xiàn)的總收益，是度量一個(gè)策略表現(xiàn)的重要指標(biāo)之一。累積資產(chǎn)收益越高，說(shuō)明該策略越優(yōu)。

無(wú)交易成本下的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算式如下：

Sn（ X n）=S0∏ n t=1? b t· X t

交易成本下的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算式如下：

Scn（ X n）=S0∏ n t=1 （ b t· X t-Costt）

其中 b t是各策略采用的投資組合向量，依據(jù)上式計(jì)算得到各策略最終累計(jì)資產(chǎn)收益。各變量數(shù)學(xué)含義上文已作詳細(xì)介紹，在此處不再加以贅述。

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集

實(shí)驗(yàn)中采用的數(shù)據(jù)集分別為NYSE（O）和DJIA。NYSE（O）數(shù)據(jù)集為紐約交易所自1962年7月3日至1984年12月31日，22年間包含的36只股票的歷史數(shù)據(jù)集，在此數(shù)據(jù)集上以每?jī)商鞛橐粋€(gè)交易期進(jìn)行實(shí)驗(yàn);DJIA數(shù)據(jù)集為2001年1月1日至2003年1月14日，包含30只股票的歷史數(shù)據(jù)集，在此數(shù)據(jù)集以每1天為一個(gè)交易期進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

4.3 結(jié)果分析

4.3.1 累積收益

表2、3是在不同交易成本比率c值下的累積收益結(jié)果。其中：

表2為從NYSE（O）數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取3只股票，初始投資金額設(shè)置為1，以每?jī)商鞛橐粋€(gè)交易期進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的結(jié)果;

表3為從DJIA數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取3只股票，為突出對(duì)比數(shù)據(jù)變化，初始投資金額設(shè)置為10，以每一天為一個(gè)交易期進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

從表2、3可以看出，同其他5種策略相比，SEG策略在不同的交易成本比例下都獲得了最大的累積資產(chǎn)收益;而且當(dāng)交易成本比率增大時(shí)，SEG策略的累積資產(chǎn)收益并沒(méi)有明顯下降。在表3中DJIA數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，隨著交易成本比率的增大，SEG策略累計(jì)資產(chǎn)收益在小數(shù)點(diǎn)后第4位開(kāi)始才略有降低，說(shuō)明與其他策略相比，SEG策略的累積收益受交易成本影響的下降幅度最小。

4.3.2 交易成本分析

圖2、3分別為SCRP、CRP、EG和SEG四種策略的累積資產(chǎn)收益隨交易成本比率值的變化趨勢(shì)，以及在不同交易成本下，累積資產(chǎn)收益隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。

圖2直觀地展示了CRP、SCRP、EG、SEG四種策略受交易成本影響的程度?？梢杂^察到四種策略的累積收益隨著交易成本比率的增大而減小，但SEG策略的累積收益曲線(xiàn)始終位于其他三種策略之上，且SEG策略對(duì)交易成本敏感度較低，累積收益曲線(xiàn)隨著交易成本變化的波動(dòng)并不明顯，而CRP策略與EG策略受交易成本比率影響較大，當(dāng)交易成本增大時(shí)收益急劇下降。因此，可以說(shuō)明，在相同交易成本比率下，SEG策略能夠獲得最高的累積收益;此外，當(dāng)交易成本增大時(shí)，SEG策略仍然能夠維持較高的累積收益。

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