張娟

[摘 ?要] 基于數(shù)學(xué)“理解”含義與特征的高中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠有效幫助學(xué)生增加新舊知識(shí)間的聯(lián)結(jié)數(shù)量并增強(qiáng)聯(lián)結(jié)牢固程度，教師應(yīng)著眼于提升學(xué)生的理解能力而創(chuàng)造出廣泛聯(lián)結(jié)的時(shí)空與固化聯(lián)結(jié)的時(shí)機(jī)，幫助學(xué)生有效建立、增加新舊聯(lián)結(jié)數(shù)量并使學(xué)生在應(yīng)用實(shí)踐中提升理解水平.

[關(guān)鍵詞] 理解;聯(lián)結(jié)數(shù)量;牢固程度;教學(xué)特征

很多學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都無(wú)法將“1”生成為“1+1”，事實(shí)上，這是學(xué)生在無(wú)法獲得生成性知識(shí)、可持續(xù)性學(xué)習(xí)方法中造成的，學(xué)生在“冰冷、美麗”的知識(shí)積累中，往往無(wú)法生成長(zhǎng)效的心理結(jié)構(gòu)并產(chǎn)生“火熱”的思維與探索，學(xué)生的知識(shí)掌握也就停留于機(jī)械、模仿的簡(jiǎn)單層面了. 要改變這種局面，教師必須立足于學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)并為學(xué)生創(chuàng)造出基于理解的學(xué)習(xí)平臺(tái)以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的提升.

何為“理解”

1. 理解的含義

從字面上對(duì)“理解”進(jìn)行解釋就是“了解、理會(huì)”的意思，事實(shí)上，“理解”就是在揭露事物間聯(lián)系的同時(shí)對(duì)新事物認(rèn)知的過(guò)程. 學(xué)習(xí)者借助信息的傳輸與編碼并結(jié)合已有的信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征以獲得心理意義這一過(guò)程是認(rèn)知主義對(duì)“理解”的解釋[1]. 建立新舊聯(lián)結(jié)是“理解”的實(shí)質(zhì)，理解的水平在聯(lián)結(jié)的數(shù)量與牢固程度上獲得具體的體現(xiàn).

2. 數(shù)學(xué)理解的特征

研究結(jié)構(gòu)、形式的數(shù)學(xué)學(xué)科其實(shí)是模式的科學(xué)，蘊(yùn)含著一系列產(chǎn)生式及相互間邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)是靜態(tài)呈現(xiàn)的，斯根普基對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的特殊性進(jìn)行研究并將理解分成了工具性理解與關(guān)系性理解這兩種類(lèi)型.

數(shù)學(xué)符號(hào)所指代的事物或某規(guī)則所指定的每個(gè)步驟是對(duì)工具性理解的具體解釋. 比如，對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解具體講來(lái)就是包含什么是復(fù)數(shù)、表示形式是什么、包含了哪些運(yùn)算規(guī)律等內(nèi)容的解釋. 關(guān)系性理解則應(yīng)建立在工具性理解的基礎(chǔ)之上，包含了認(rèn)識(shí)符號(hào)意義、替代物結(jié)構(gòu)、指代物意義的獲得等方面的內(nèi)容. 比如，從工具性理解和關(guān)系性理解這兩個(gè)方面對(duì)“直線與平面平行”這一內(nèi)容進(jìn)行分析，前者關(guān)注的是直線和平面之間沒(méi)有公共點(diǎn)、直線與平面平行可以獲得直線與直線平行等內(nèi)容，后者關(guān)注的則是線線、線面、面面之間的關(guān)系以及獲取定理過(guò)程中的有效構(gòu)建[2].

3. 理解的水平

理解是由不知到知、知到會(huì)、會(huì)到通、通到用、簡(jiǎn)單應(yīng)用到應(yīng)用自如的過(guò)程. 以對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)為例，就是直觀感知一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)并隨著自變量、函數(shù)值的變化建立函數(shù)單調(diào)性的意義，繼而學(xué)會(huì)應(yīng)用. 實(shí)踐操作和理性概括是實(shí)現(xiàn)理解的有效手段. 不同階段與水平的理解也決定了理解的層次.

比如學(xué)生在基本不等式 ≥ （a，b∈R+）上的理解，起點(diǎn)（a-b）2≥0，到a2+b2≥2ab，再到a+b≥2 ?=2 ，結(jié)合圖1往往可以增加新舊聯(lián)結(jié)的數(shù)量并使學(xué)生的理解層次得以提升;如果再能用 ， 分別代替a，b，可得 ≤ ，再變形為 ≤ ，聯(lián)結(jié)兩個(gè)不等式可得 ≤ ≤ ，這是理解又進(jìn)一步的具體體現(xiàn).

“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)特征

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)具有系統(tǒng)性高度

知識(shí)生成有自下而上概括形成和自上而下演繹形成這兩種常見(jiàn)方式，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)站在系統(tǒng)的高度并找準(zhǔn)知識(shí)的邏輯起點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，把握知識(shí)間的聯(lián)系并設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)方法，幫助學(xué)生規(guī)劃好知識(shí)理解的路線并促進(jìn)學(xué)生的理解向縱橫發(fā)展.

比如三角函數(shù)這一內(nèi)容的教學(xué)，三角函數(shù)的定義是學(xué)生學(xué)習(xí)、理解這一知識(shí)的起點(diǎn)，同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與圖像等知識(shí)都是在三角函數(shù)的定義上發(fā)展起來(lái)的. 因此，教師在三角函數(shù)這一內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)上應(yīng)抓住其代數(shù)和幾何的雙重意義并理順其間的關(guān)系，幫助學(xué)生有效建立彼此間的聯(lián)結(jié)并獲得新知識(shí)的構(gòu)建、舊知識(shí)的鞏固和理解[3].

站在一定高度并系統(tǒng)設(shè)計(jì)的教學(xué)能夠更好地把握知識(shí)間的邏輯聯(lián)系并幫助學(xué)生建構(gòu)新知、實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用.

2. 注重知識(shí)的形成教學(xué)

教師在縱橫交錯(cuò)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中找準(zhǔn)邏輯起點(diǎn)，注重知識(shí)形成的過(guò)程并理順知識(shí)間的關(guān)系才能幫助學(xué)生更好地建立結(jié)構(gòu)良好的認(rèn)知圖式.

比如復(fù)數(shù)概念這一內(nèi)容的教學(xué)，教師首先應(yīng)找準(zhǔn)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)這一邏輯起點(diǎn)，凸顯復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的形成這一教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在具體的操作中（如2×i-1， +（-2×i）， +3×i）體驗(yàn)、比較、分析、綜合、概括，生成復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的形式，引導(dǎo)學(xué)生比較復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集并體會(huì)兩者的關(guān)系以實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)二元性的概括.

注重知識(shí)形成過(guò)程而進(jìn)行的教學(xué)才能幫助學(xué)生在有徑可循、有法可依的學(xué)習(xí)過(guò)程中知其然并知其所以然.

3. 教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透才能幫助學(xué)生將龐大的數(shù)學(xué)大廈壓縮成芯片并貯存在大腦中，幫助學(xué)生有效增大大腦容量并獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的真正理解.

比如教師在基本不等式的教學(xué)中就可以利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行統(tǒng)攝，幫助學(xué)生真正理解“和定積有最大值”，意思是直線x+y=a（a為常數(shù)）和坐標(biāo)軸正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，則Rt△OAB內(nèi)接矩形面積有最大值，如圖2所示，當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)可獲得最大面積. “積定和有最小值”則可應(yīng)用雙曲線xy=b（b為非零常數(shù)）上動(dòng)點(diǎn)M向兩坐標(biāo)軸作垂線得到矩形OAMB，如圖3所示，矩形周長(zhǎng)值最小.

數(shù)形結(jié)合思想方法在不等式教學(xué)中的應(yīng)用，有效搭建起了基本不等式、函數(shù)、解析幾何、三角等知識(shí)間的橋梁，求最值方法的整合也幫助學(xué)生更好地理解了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)也令其理解水平大力提升[4].

促進(jìn)“理解”的教學(xué)方法

1. 建立多元表征

聯(lián)系知識(shí)概念并幫助學(xué)生建立多元心理表征能夠有效提升知識(shí)聯(lián)結(jié)的數(shù)量，幫助學(xué)生強(qiáng)化新知和舊知的聯(lián)結(jié)度以促進(jìn)理解的加深.

比如，等差數(shù)列這一概念的教學(xué)，教師可以建立文字形式的表征;可以建立an-an-1=d（n≥2，d為常數(shù)），或2an=an-1+an+1（n≥2），或an=kn+b（k，b為常數(shù)）表征;或是Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），建立點(diǎn)（n，Sn）在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上等表征.

將不同表征結(jié)成圖式并幫助學(xué)生理解，等差數(shù)列的聯(lián)結(jié)數(shù)量與強(qiáng)度都得到了增強(qiáng).

2. 設(shè)計(jì)變式練習(xí)

比如，“已知a+b=1（a，b>0），求ab的最大值”與“已知ab=1（a，b>0），求a+b的最小值”是利用基本不等式求最值的起點(diǎn)，教師在設(shè)計(jì)變式練習(xí)時(shí)可以將字母改變成“ + =1，求ab的最大值”，或者變成“已知a+b=1（a，b>0），求3a+3b的最小值”，或者變成“已知lna+lnb=1，求a+b的最小值”，或者變成“已知（a-1）·（b-1）=1，求a+b的最小值”，或者“已知x>0，求x+ 的最小值”“已知0

3. 應(yīng)用反思認(rèn)知

學(xué)生在經(jīng)歷與體驗(yàn)中并不會(huì)將知識(shí)的認(rèn)知直接轉(zhuǎn)化成理解，自我反省是形成理解這一過(guò)程中不可或缺的認(rèn)知階段，一次反省往往還無(wú)法令學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化成內(nèi)部的心理結(jié)構(gòu)，而且對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧并不意味著就是反思，反思必須建立在重新審視自身經(jīng)歷的基礎(chǔ)上進(jìn)行，提煉經(jīng)歷、體驗(yàn)過(guò)程中的精華并完善知識(shí)結(jié)構(gòu)以促成新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成. 這是擴(kuò)大聯(lián)結(jié)數(shù)量并提升彼此間聯(lián)結(jié)度的有效手段.

總之，教師應(yīng)著眼于提升學(xué)生的理解能力而設(shè)計(jì)出有意義的實(shí)踐操作活動(dòng)，創(chuàng)造出廣泛聯(lián)結(jié)的時(shí)空與固化聯(lián)結(jié)的時(shí)機(jī)，幫助學(xué)生有效建立、增加新舊聯(lián)結(jié)數(shù)量并使學(xué)生在應(yīng)用實(shí)踐中提升理解水平.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?張奠宙，張蔭南. 新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)（續(xù)）[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2004（05）：10.

[2] ?匡繼昌. 如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（06）：74-78.

[3] ?葉立軍，胡琴竹，斯海霞. 錄像分析背景下的代數(shù)課堂教學(xué)提問(wèn)研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（03）：32-34.

[4] ?張?jiān)妬? 教學(xué)中的以“惑”為誘[C]. 南京：南京師范大學(xué)出版社，2010.