翟志康 郭子玥 樊代和 魏 云

(西南交通大學(xué) 1 物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué)) 2 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院； 3 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 611756)

生活中有這樣的物理現(xiàn)象：在兩塊玻璃之間加入水后再分開它們將很困難。是什么原因?qū)е逻@樣的現(xiàn)象？又有哪些物理因素會(huì)影響分開玻璃的力？這一問題同時(shí)也出自2017年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)的第10題[1]。通過文獻(xiàn)報(bào)道可知，在玻璃之間加入水后分開玻璃更加困難，起關(guān)鍵作用的力被稱為“液橋力”，同時(shí)可以借助“Young-Laplace”方程分析液橋力的理論值[2]。本文主要工作是在理論分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置詳細(xì)測(cè)量液橋力大小，探究相關(guān)因素對(duì)分開“夾水玻璃”難易程度的影響。

1 基于“Young-Laplace”方程的液橋力分析

如果在兩塊平板玻璃之間加入一定的水，在理想情況下，夾水玻璃的主視圖和截面圖如圖1所示。

水的表面張力將導(dǎo)致液體內(nèi)形成相對(duì)負(fù)壓，與大氣壓強(qiáng)形成壓強(qiáng)差，進(jìn)而大氣對(duì)玻璃形成一定的壓力，壓強(qiáng)差的方向如圖1(b)箭頭所示。這一壓強(qiáng)差可由“Young-Laplace”方程進(jìn)行描述[3]：

(1)

其中，γ為水的張力系數(shù)，表示單位長(zhǎng)度液體的張力；r1、r2分別為液面邊緣兩處的曲率半徑。如圖1(a)所示，理想條件下，兩塊玻璃之間，水與空氣的接觸面是圓柱面，與玻璃平行的邊是直線，另一邊是圓曲線。直邊曲率半徑趨近于無窮：

r1→∞

(2)

圖1 “夾水玻璃”的主視圖和截面圖(a) 主視圖； (b) 截面圖

(3)

由式(3)可知，液面曲邊的曲率半徑取決于水膜厚度和接觸角。

液體內(nèi)外壓強(qiáng)差引起的力就被稱為液橋力，液橋力的大小決定了夾水玻璃難以分開的程度。假設(shè)玻璃板的面積為S，則可得出液橋力F液的大小為

F液=Δp×S

(4)

將式(1)、式(2)、式(3)代入式(4)，得到液橋力理論公式為

(5)

根據(jù)式(5)可知，液橋力與水的張力系數(shù)γ、接觸角的余弦值cosθ、玻璃板面積S正相關(guān)，與水膜厚度呈負(fù)相關(guān)。液橋力垂直作用在玻璃上，使得夾水玻璃難以分開，直接影響分開玻璃的力的因素有水的張力系數(shù)γ、接觸角的余弦值cosθ、玻璃板面積S以及水膜厚度。查閱文獻(xiàn)可知，水的張力系數(shù)與水的溫度有關(guān)，且張力系數(shù)與溫度呈線性關(guān)系，溫度越高張力系數(shù)越小[5]，又因?yàn)橐簶蛄εc張力系數(shù)呈正比，所以液橋力與水的溫度是線性關(guān)系，液橋力隨著溫度升高而降低。接觸角與玻璃的粗糙程度有關(guān)，接觸面越粗糙接觸角越大[4-6]，從而液橋力減小。接下來，我們就設(shè)計(jì)具體的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)以上提到的相關(guān)參數(shù)做詳細(xì)實(shí)驗(yàn)研究。

2 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)及摩擦系數(shù)測(cè)量

為了測(cè)量液橋力大小，設(shè)計(jì)了定滑輪裝置，如圖2所示：

圖2 測(cè)量液橋力的實(shí)驗(yàn)裝置(a) 裝置圖； (b) 實(shí)物圖

圖2(a)為裝置示意圖，圖2(b)為實(shí)際實(shí)驗(yàn)裝置。在示意圖中，裝置左側(cè)在地上固定一塊大玻璃，大玻璃上放置一塊正方形小玻璃，兩塊玻璃之間加一層水，使用滴管填充玻璃邊緣，使得玻璃間水均勻、無氣泡。正方形小玻璃中間上表面固定強(qiáng)力粘鉤，方便與不可伸縮的繩連接。定滑輪右側(cè)將裝水容器與繩相連接，粘鉤固定在正方形玻璃中心，使用鉛垂線保證繩豎直，從而上方玻璃受力垂直、均勻。向容器緩慢加水，可模擬對(duì)正方形小玻璃施加一定的拉力。使用滴管向容器內(nèi)逐滴加水并觀察，若玻璃穩(wěn)定繼續(xù)加水，若玻璃分開，那么盛水容器的重力即可認(rèn)為是分開玻璃的拉力F拉。

由圖2(a)的受力分析可知，F(xiàn)拉需要克服繩與滑輪摩擦力、液橋力F液和上玻璃重力mg，因此，當(dāng)玻璃能夠正好被拉開時(shí)，滿足的方程可由下式表示：

F拉=f+mg+F液

(6)

繩子與定滑輪之間產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力可如下式表示：

f=μ(F拉+mg+F液)

(7)

由式(6)和式(7)，可以得出液橋力實(shí)驗(yàn)測(cè)量公式為

(8)

整個(gè)實(shí)驗(yàn)中，由于摩擦因數(shù)μ未知，因此實(shí)驗(yàn)開始前需要首先測(cè)定實(shí)驗(yàn)裝置的摩擦系數(shù)。將圖(2)中所示的定滑輪左端直接懸掛一質(zhì)量為m的重物，向定滑輪右側(cè)容器中加水至剛剛將重物拉起，記錄此時(shí)容器總質(zhì)量與重物質(zhì)量。受力分析與圖2(a)相比，區(qū)別在于沒有液橋力F液。通過改變質(zhì)量m多次實(shí)驗(yàn)，由力學(xué)平衡可知：

f=F拉-mg

(9)

其中，mg為重物的重力；F拉為加水容器總重力。通過式(9)可以間接測(cè)量每次試驗(yàn)?zāi)Σ亮Φ闹?。同時(shí)，根據(jù)滑動(dòng)摩擦力定義可知：

f=μ(F拉+mg)

(10)

記F壓=F拉+mg，則

f=μF壓

(11)

圖3 摩擦因數(shù)測(cè)定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

這里使用不同質(zhì)量的玻璃板作為重物多次實(shí)驗(yàn)，即可繪制f與F壓的圖像，如圖3所示。其中叉號(hào)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，直線表示線性擬合。從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可進(jìn)行很好的線性擬合，表明了式(11)的有效性。進(jìn)一步，線性擬合的斜率即為摩擦系數(shù)μ。從圖中可以直接得出其值為：μ=0.07。

3 液橋力的實(shí)驗(yàn)研究

根據(jù)關(guān)于影響液橋力因素的理論分析，其他條件不變的情況下，液橋力與玻璃面積S呈正比；與水的溫度是線性關(guān)系，隨著水的溫度升高而減?。徊ＡУ拇植诔潭仍酱笠簶蛄υ叫。凰ず穸仍叫∫簶蛄υ酱?。水膜厚度難以測(cè)量，因此實(shí)驗(yàn)中通過控制上玻璃厚度不變來保持水膜厚度不變。

針對(duì)上述分析，進(jìn)行了3組實(shí)驗(yàn)，分別驗(yàn)證玻璃板面積、水的溫度、粗糙程度對(duì)于液橋力的影響。探究某因素對(duì)液橋力影響時(shí)控制其他因素不變；對(duì)于每一次測(cè)量進(jìn)行3次，取拉力平均值。

(1) 玻璃板面積

實(shí)驗(yàn)中，選取不同規(guī)格平玻璃，具體為(5×5)cm,(10×10)cm,(15×15)cm,(20×20)cm，對(duì)每一種規(guī)格玻璃分別測(cè)量相應(yīng)液橋力實(shí)驗(yàn)值，研究玻璃面積與液橋力的關(guān)系。當(dāng)控制實(shí)驗(yàn)中其他參數(shù)均不變，只考慮玻璃板面積時(shí)，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示：

圖4 玻璃面積對(duì)于液橋力的影響

圖4中，叉號(hào)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，直線為線性擬合。從圖中可以看出擬合程度較好，由此可得出，液橋力與玻璃板面積成正比。

(2) 水的溫度

選取3組不同規(guī)格玻璃分組實(shí)驗(yàn)。每一組實(shí)驗(yàn)以水的溫度為變量，而其他參數(shù)不變，分別進(jìn)行15℃、50℃、100℃實(shí)驗(yàn)。這里的溫度是指向玻璃之間加水時(shí)水的溫度，在熱水容器中放入溫度計(jì)，達(dá)到目標(biāo)溫度時(shí)立即進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的結(jié)果如圖5所示：

圖5 水的溫度對(duì)液橋力的影響

圖5中，加號(hào)、叉號(hào)和圓圈是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，直線是線性擬合。從圖中看出，擬合程度較好，對(duì)于每一規(guī)格玻璃，水的溫度越高液橋力越小,并且液橋力與水的溫度近似為線性關(guān)系。同時(shí)，玻璃板面積越大，則液橋力大小隨溫度的變化越明顯。

(3) 玻璃的粗糙程度

通過文獻(xiàn)報(bào)道[4]可知，玻璃的粗糙程度越大，則接觸角越大。通過式(5)可知，接觸角越大，則液橋力越小，夾水玻璃越容易分開。實(shí)驗(yàn)中，選取3種不同規(guī)格的玻璃，對(duì)于每一種規(guī)格玻璃進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)：即上玻璃是平玻璃和下玻璃是平玻璃組合、上玻璃是平玻璃和下玻璃是毛玻璃組合、上玻璃是毛玻璃和下玻璃是毛玻璃組合。當(dāng)控制其他量不變，分別測(cè)量分開玻璃的力，從而得到液橋力的大小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示：

圖6 玻璃粗糙程度對(duì)于液橋力的影響

不難看出，對(duì)于同一種規(guī)格玻璃，平玻璃與平玻璃的組合所需液橋力最大，而毛玻璃與毛玻璃的組合所需液橋力較小。因此由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以證明，玻璃越粗糙液橋力越小，與前述理論分析一致。

4 結(jié)語

首先從分開夾水的玻璃較困難這一生活現(xiàn)象出發(fā)，基于“Young-Laplace”方程進(jìn)行了理論分析，得到分開加水的玻璃所需要的附加力(液橋力)的理論公式，并且根據(jù)公式分析影響液橋力的相關(guān)因素。接下來設(shè)計(jì)了定滑輪實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)夾水玻璃難以分開現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)實(shí)驗(yàn)探究。巧妙地借助定滑輪，使用裝水的容器總重力替代拉力。由于摩擦力的存在，實(shí)驗(yàn)前首先測(cè)定了摩擦因數(shù)，最終到具體實(shí)驗(yàn)中液橋力的實(shí)驗(yàn)測(cè)量公式。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，液橋力大小與玻璃面積成正比，夾水玻璃面積越大越難分開；水的溫度越高導(dǎo)致水的張力系數(shù)越小從而液橋力越小，夾水玻璃越容易分開，并且液橋力大小與水的溫度呈線性關(guān)系；玻璃越粗糙使得接觸角越大從而液橋力越小，玻璃越容易分開。