黃開志 陳小亮 張 龍 田祖安 丁劍平

(重慶科技學(xué)院建筑工程學(xué)院,重慶 401331)

文[1]采用能量法分析了不倒翁的穩(wěn)定性,同時得到了其在水平面上擺動時周期,文獻[2] 建立了不倒翁純滾動時的動力學(xué)方程,給出了其作純滾動和能回擺的限制條件,分析了其穩(wěn)定性,求出了其在水平面上運動時的主要動力學(xué)參數(shù)計算公式,但未對凸凹支承面上運動時的力學(xué)特性進行分析。

本文擬在文獻[2]的基礎(chǔ)上,進一步優(yōu)化不倒翁的動力學(xué)微分方程和滑動臨界曲線以及翻轉(zhuǎn)臨界曲線,分析角速度、周期、角加速度、切向反力、法向反力、臨界滑動初始擺角、臨界翻轉(zhuǎn)初始擺角這些參數(shù)與支承面的凸凹性等的關(guān)系。

1 動力學(xué)微分方程

如圖1所示，半徑為r，質(zhì)量偏心距為er的圓形不倒翁,在半徑為kr的圓形支承面上作純滾動。其中，e為不倒翁的質(zhì)量偏心率；k為支承面半徑與不倒翁半徑之比。設(shè)其在支承面的最高點時與對稱軸y軸正好鉛垂,則

krφ=rθ

亦即

θ=kφ

(1)

圖1 不倒翁的力學(xué)模型

對稱軸的擺角α滿足

α=θ+φ

結(jié)合式(1)得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

動點O繞定點O′作圓周運動,則

結(jié)合式(2)得

(4)

(5)

視動點O為基點,則質(zhì)心C相對于動點O的加速度

設(shè)不倒翁作平面運動,由基點法得質(zhì)心C的加速度

上式沿坐標(biāo)軸的投影

不倒翁的動力學(xué)微分方程為

由上述3式并結(jié)合式(3)～式(9)得

2 臨界曲線及運動特性分析

2.1 滑動臨界曲線及運動特性

不倒翁不滑動,則其切向反力Ft與法向反力Fn必滿足|Ft|≤fsFN,其中fs為靜摩擦因數(shù),且fs≥0,FN≥0。

設(shè)α0r為臨界滑動初始擺角,即當(dāng)α=α0r時

Ft=±fsFN

(13)

若視滑動臨界曲線為點(fs,α0r)的函數(shù)ψ(fs,α0r)=0，且設(shè)fs軸正向向右,則當(dāng)點(fs,α)位于該曲線右側(cè)區(qū)域時不倒翁作純滾動,位于該曲線左側(cè)區(qū)域時其作滑動。

若視滑動臨界曲線為點(k,α0r)的函數(shù)ψ(k,α0r)=0,則當(dāng)點(k,α)位于該曲線與k軸圍成的非封閉區(qū)域之內(nèi)時不倒翁作純滾動,位于該非封閉區(qū)域之外時其作滑動。

若視滑動臨界曲線為點(k,fs)的函數(shù)ψ(k,fs)=0且設(shè)fs軸正向向上,則當(dāng)點(k,fs)位于該曲線上側(cè)區(qū)域時不倒翁作純滾動,位于該曲線的下側(cè)區(qū)域時其作滑動。

2.2 翻轉(zhuǎn)臨界曲線及運動特性

[mgsinα·(rcosθ-er)-mgcosα·rsinθ]α≤0

結(jié)合式(3)上式可簡化為

設(shè)α0t為臨界翻轉(zhuǎn)初始擺角,則由上式并令α=α0t可得翻轉(zhuǎn)臨界曲線

(14)

若視翻轉(zhuǎn)臨界曲線為點(k,α0t)的函數(shù)φ(k,α0t)=0,則當(dāng)點(k,α)位于該曲線與k軸圍成的非封閉區(qū)域之內(nèi)時不倒翁作回擺,位于該非封閉區(qū)域之外時其作翻轉(zhuǎn)。

3 求解及主要結(jié)果解讀

3.1 求解

由式(14)可得翻轉(zhuǎn)臨界曲線φ(k,α0t)=0。

3.2 算例

若令g=9.80665m·s-2,r=0.1m,m1=0.3kg,m2=0.2kg,則m=m1+m2=0.5kg,JC=0.0032kg·m2,e=0.4。

按3.1的方法并結(jié)合相應(yīng)的初始條件等,由Maple18可得圖2～圖10的結(jié)果。

圖2 α0=π/4時與k的關(guān)系

3.3 主要結(jié)果解讀

圖2～圖10中,當(dāng)k>0時表示支承面為凸面,k=±∞時表示水平面,k<0時表示凹面。

圖3 α0=π/4時T與k的關(guān)系

圖4 α0=π/4時與k的關(guān)系

圖5 α0=π/4時Ft與k的關(guān)系

圖6 α0=π/4時Fn與k的關(guān)系

圖7 α0r與fs的關(guān)系

圖8 fs=0.1時α0r與k的關(guān)系

圖9 α0r=π/3時所需的fs與k的關(guān)系

圖10 α0t與k的關(guān)系

圖3表示周期T與支承面凸凹性的關(guān)系。在凸面上,周期隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上,周期隨凹面的半徑增大而減小。

圖5表示切向反力Ft與支承面凸凹性的關(guān)系。在凸面上,切向反力隨凸面的半徑增大而減小,但始終比在凹面上的大;在凹面上,切向反力隨凹面的半徑增大而增大。

圖6表示法向反力Fn與支承面凸凹性的關(guān)系。當(dāng)擺角小于某一值時,在凸面上的法向反力隨凸面的半徑增大而增大,法向反力比在凹面上的小;在凹面上的法向反力隨凹面的半徑增大而減小。當(dāng)擺角超過某一值時,結(jié)果正好相反。

圖7表示滑動臨界曲線ψ(fs,α0r)=0,臨界滑動初始擺角α0r隨靜摩擦因數(shù)fs增大而增大,圖8表示滑動臨界曲線ψ(k,α0r)=0。在凸面上,α0r隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上(圖8中未畫出),α0r隨凹面的半徑增大而減小。

圖9表示滑動臨界曲線ψ(k,fs)=0。在凸面上,臨界滑動所需靜摩擦因數(shù)fs隨凸面的半徑增大而減小;在凹面上,當(dāng)凹面的半徑小于某一值時,fs隨凹面的半徑增大而減小,當(dāng)凹面的半徑大于某一值時,fs隨凹面的半徑增大而增大;當(dāng)凹面的半徑超過某一值時,在凹面上的fs始終比在凸面上的小。

圖10表示翻轉(zhuǎn)臨界曲線φ(k,α0t)=0。在凸面上,臨界翻轉(zhuǎn)初始擺角α0t隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上,α0t已超過π(圖10中未畫出),即不倒翁始終能回擺。

4 結(jié)語

為方便不倒翁類玩具或類似工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計時對其力學(xué)特性的分析,本文進一步優(yōu)化了不倒翁的動力學(xué)微分方程和滑動臨界曲線以及翻轉(zhuǎn)臨界曲線,較詳細地給出了各力學(xué)參數(shù)的計算公式,得到了不倒翁各力學(xué)參數(shù)與支承面的凸凹性等的關(guān)系。

在凹面上,當(dāng)k∈(-∞,-1)即凹面的半徑比不倒翁的半徑大時的曲線才有實際意義。

在分析過程中忽略了滾動摩阻等的影響。