陽成熙 李 楠

(東北大學(xué)理學(xué)院物理系，遼寧 沈陽 110819)

凝聚態(tài)物理學(xué)是高等院校物理類專業(yè)高年級(jí)本科課程的重要組成部分，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步從事磁性物理學(xué)、超導(dǎo)物理學(xué)及納米科學(xué)等方向的學(xué)習(xí)與研究都具有重要的意義。近年來，隨著微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)在物理學(xué)中發(fā)揮越來越重要的作用，拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)逐漸發(fā)展為一個(gè)具有深刻理論基礎(chǔ)與廣泛實(shí)驗(yàn)應(yīng)用的領(lǐng)域。2016年Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)就被授予這一領(lǐng)域的3位物理學(xué)家Thouless、Haldane和Kosterlitz，以表彰他們?cè)谀蹜B(tài)物質(zhì)的拓?fù)湎嗯c拓?fù)湎嘧冾I(lǐng)域的理論研究[1]。因此，在物理類專業(yè)高年級(jí)本科課程中開展拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，不但可以豐富傳統(tǒng)固體物理學(xué)的課程內(nèi)容，也對(duì)學(xué)生盡快了解凝聚態(tài)物理學(xué)的前沿與生長(zhǎng)點(diǎn)具有深遠(yuǎn)的意義。

盡管拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)在實(shí)驗(yàn)與理論上的發(fā)展日新月異，然而令人遺憾的是，當(dāng)前本科物理類專業(yè)課程中并未給予這一前沿領(lǐng)域以足夠的重視。首先，在大部分高校物理類專業(yè)的固體物理學(xué)教學(xué)中，仍然只講授單電子能帶理論的傳統(tǒng)內(nèi)容，著重從電子能帶的色散關(guān)系εn(k)出發(fā)分析物質(zhì)的電子性質(zhì)，而并不涉及電子能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)。其次，在量子力學(xué)的教學(xué)中，反映電子波函數(shù)拓?fù)湫再|(zhì)的Berry相位理論也較少被提及。進(jìn)而，在熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的教學(xué)中，關(guān)于物質(zhì)的相與相變的知識(shí)也一般局限在Landau的連續(xù)相變與對(duì)稱破缺理論，而很少?gòu)耐負(fù)鋵W(xué)的角度來考慮物質(zhì)相的分類與相變。然而事實(shí)上，拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)中的基本思想是完全可以給物理類專業(yè)高年級(jí)本科生講授的。為此，我們面向三年級(jí)本科生，組織了拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的討論班。我們希望借此開闊學(xué)生的科學(xué)視野、激發(fā)學(xué)生的求知熱情、深化學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)的理解，達(dá)到不同課程之間(量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、固體物理學(xué)等)的融會(huì)貫通，并最終為學(xué)生接觸凝聚態(tài)物理學(xué)研究的前沿課題做好鋪墊。本論文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，以拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)中的典型問題——量子Hall效應(yīng)為切入點(diǎn)，對(duì)拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)提出一些思考。

1 數(shù)學(xué)與物理學(xué)的預(yù)備知識(shí)

Hall效應(yīng)是指在有電流通過的導(dǎo)體上加入外磁場(chǎng)后，導(dǎo)體邊緣產(chǎn)生電勢(shì)差的物理現(xiàn)象，其發(fā)現(xiàn)迄今已有百年以上的歷史[2]。經(jīng)典Hall效應(yīng)可以由導(dǎo)體中的電子在外磁場(chǎng)中受Lorentz力而偏轉(zhuǎn)得到合理的解釋。然而，在低溫與強(qiáng)磁場(chǎng)下，還會(huì)出現(xiàn)更加豐富多彩的量子Hall效應(yīng)。1980年，von Klitzing 等人發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子Hall效應(yīng)[3]，其本質(zhì)則由Thouless等人在1982發(fā)表的論文[4]中給出了影響深遠(yuǎn)的解釋，其中揭示了Hall電導(dǎo)的量子化與電子能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)之間的深刻聯(lián)系。從此，拓?fù)鋵W(xué)思想在凝聚態(tài)物理學(xué)中得到廣泛應(yīng)用，物質(zhì)的拓?fù)湎嗯c拓?fù)湎嘧円殉蔀楫?dāng)前凝聚態(tài)物理學(xué)中的研究熱點(diǎn)。進(jìn)而，實(shí)驗(yàn)上又相繼發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)[5]、量子自旋Hall效應(yīng)[6]、拓?fù)浣^緣體[7]等物理現(xiàn)象，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)與理論研究成果極大地推動(dòng)了拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)這一領(lǐng)域的發(fā)展。迄今，整數(shù)與分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與理論研究均已被授予Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。

量子Hall效應(yīng)的教學(xué)需要在傳統(tǒng)固體物理學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)與物理學(xué)相關(guān)知識(shí)的擴(kuò)充，主要體現(xiàn)在3個(gè)方面：微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)、量子力學(xué)、固體物理學(xué)，其中涉及的數(shù)學(xué)與物理學(xué)概念(如示性數(shù)、Berry相位等)在物理類專業(yè)本科教學(xué)中通常較少提及。為此，本文分3個(gè)方面依次對(duì)這些數(shù)學(xué)物理知識(shí)做必要的鋪墊，理解這些內(nèi)容可以極大地提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與物理學(xué)的認(rèn)知能力。

1.1 微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)

必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是理解拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的前提，其核心內(nèi)容是閉曲面的Gauss-Bonnet公式：

(1)

其中，等號(hào)左邊的K為閉曲面上某點(diǎn)的Gauss曲率;dA為閉曲面的面積元，所以上式等號(hào)左邊完全由閉曲面的局域幾何性質(zhì)決定；等號(hào)右邊則是刻畫閉曲面整體性質(zhì)的2個(gè)拓?fù)洳蛔兞浚洪]曲面的虧格數(shù)g與Euler示性數(shù)χ，兩者的關(guān)系為

χ=2-2g

(2)

因此，Gauss-Bonnet公式把閉曲面的局域微分性質(zhì)與整體拓?fù)湫再|(zhì)有機(jī)地聯(lián)系在一起。進(jìn)而，我們分別以虧格為0的球面S2與虧格為1的環(huán)面T2為例，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證了式(1)。下面，分別闡述教學(xué)中需要注意的問題。

首先，對(duì)于式(1)中等號(hào)左邊，關(guān)鍵在于介紹Gauss曲率K?？紤]到學(xué)生已經(jīng)在狹義相對(duì)論中學(xué)習(xí)過張量運(yùn)算，并在高等數(shù)學(xué)中接觸過基礎(chǔ)的微分幾何學(xué)，因此，可以比較容易地引入曲面的第一基本形式，即曲面上兩點(diǎn)間線元平方ds2的二次型表達(dá)式，

ds2=gμνduμduν

(3)

其中，uμ,uν(μ,ν=1,2)為曲面的坐標(biāo)；gμν為曲面的度規(guī)。進(jìn)而，再形象地引入曲面的第二基本形式，即曲面上某點(diǎn)鄰域內(nèi)的另一點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)處切平面的偏離δ的二次型表達(dá)式，

2δ=ωμνduμduν

(4)

由此，說明利用曲面上某點(diǎn)處的兩個(gè)基本形式之比就可以刻畫曲面在這一點(diǎn)某個(gè)方向上的彎曲程度，即曲面的法曲率κn=2δ/ds2。很容易看出，法曲率在兩個(gè)正交的方向上分別有最大值κ1與最小值κ2。在此基礎(chǔ)上，即可給出曲面的Gauss曲率K：

(5)

這樣下來，學(xué)生就會(huì)比較自然地接受這些概念?？紤]到一些高水平的學(xué)生學(xué)習(xí)過廣義相對(duì)論，我們還可以進(jìn)一步討論二維曲面的Gauss曲率與二維流形的Riemann曲率、Ricci曲率及Ricci標(biāo)量的關(guān)系，從而更深刻地理解Gauss曲率的幾何意義。

其次，對(duì)于式(1)中等號(hào)右邊，虧格數(shù)g可以直觀地理解為閉曲面上孔洞的數(shù)目(見圖1)，Euler示性數(shù)χ則可定義為

χ≡F-E+V

(6)

其計(jì)算方法為在閉曲面上任意選定V個(gè)點(diǎn)，再畫出E條彼此不相交的曲線段連接各點(diǎn)，并將閉曲面分為F個(gè)曲面片，由此即可計(jì)算閉曲面的Euler示性數(shù)χ(見圖2)，且可證明χ與閉曲面的剖分方式無關(guān)。事實(shí)上，這正是高中數(shù)學(xué)中凸多面體的Euler公式對(duì)閉曲面情形的推廣。這樣的定義可以讓學(xué)生容易接受、便于理解，同時(shí)還可以形象地解釋拓?fù)洳蛔兞康膸缀我饬x。通常，拓?fù)鋵W(xué)的數(shù)學(xué)抽象性并不切合物理類專業(yè)學(xué)生傾向于直覺的思維特點(diǎn)，因此說明拓?fù)洳蛔兞渴情]流形在同胚映射下的不變量，這對(duì)于教學(xué)并不必要，只需簡(jiǎn)單說明閉曲面在連續(xù)形變后，其虧格數(shù)g與Euler示性數(shù)χ保持不變即可。進(jìn)而，需要著重闡明的則是這兩個(gè)量與閉曲面的局域性質(zhì)無關(guān)，而是描述其整體性質(zhì)的參量，這樣可以為后面講解電子能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)做好數(shù)學(xué)上的必要準(zhǔn)備。

圖2 Euler示性數(shù)圖解

誠(chéng)然，上述的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備工作需要花費(fèi)一定時(shí)間與精力。雖然不具備這些數(shù)學(xué)知識(shí)也可以為學(xué)生講授拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的基本思想，但我們認(rèn)為對(duì)物理學(xué)的深入理解必然要建立在堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，為此值得花時(shí)間介紹這些微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)。我們確信物理學(xué)與幾何學(xué)是相通的，恰如幾何學(xué)大師陳省身所言“物理幾何是一家，共同攜手到天涯”。

1.2 量子力學(xué)

在必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備之后，我們轉(zhuǎn)入物理學(xué)部分。量子Hall效應(yīng)中所需的量子力學(xué)知識(shí)主要是Berry相位理論[8]。

γn≡i ∮〈n(λ)|?α|n(λ)〉dλα

(7)

與一般的Schr?dinger方程中波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)相位不同，Berry相位是一種幾何相位。由此，可以進(jìn)一步引入Berry聯(lián)絡(luò)：

An,α≡i〈n(λ)|?α|n(λ)〉

(8)

那么，Berry相位就可以Berry聯(lián)絡(luò)線積分形式表述：

(9)

在參量空間中存在以閉合路徑C為邊界的曲面S，那么，由廣義Stokes定理：

(10)

可以進(jìn)一步引入Berry曲率：

Fn,α β≡?αAn,β-?βAn,α

(11)

作為上述一整套概念的應(yīng)用，分別討論了磁場(chǎng)中的定域電子與晶格周期場(chǎng)中的單電子這兩個(gè)學(xué)生熟悉的模型，并通過具體的計(jì)算促進(jìn)學(xué)生對(duì)以上概念的理解。

進(jìn)而，結(jié)合電動(dòng)力學(xué)中電磁勢(shì)Aμ與電磁場(chǎng)張量Fμν≡?μAν-?νAμ的關(guān)系以及電磁勢(shì)的規(guī)范變換，類比地幫助學(xué)生深化理解。很容易看出，Berry聯(lián)絡(luò)就相當(dāng)于參量空間中的電磁勢(shì)，而Berry曲率則相當(dāng)于參量空間中的電磁場(chǎng)張量。同理，在參量空間中的相位規(guī)范變換下，Berry聯(lián)絡(luò)具有與電磁勢(shì)一樣的規(guī)范變換形式，而Berry曲率則與電磁場(chǎng)張量一樣具有規(guī)范不變性。在三維參量空間中，Berry聯(lián)絡(luò)相應(yīng)于三維坐標(biāo)空間中的磁矢勢(shì)，Berry曲率相應(yīng)于磁感應(yīng)強(qiáng)度。進(jìn)一步由3維形式的Stokes公式不難看出，Berry相位正是參量空間中的磁通量，具有相位規(guī)范不變性，這表明Berry相位實(shí)際上是一種可觀測(cè)的物理效應(yīng)。推而廣之，還可以進(jìn)一步向?qū)W生介紹電磁勢(shì)就是U(1)纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，而電磁場(chǎng)則是其上的曲率，甚至還可以引申到引力場(chǎng)中的度規(guī)、聯(lián)絡(luò)與曲率的關(guān)系。

這樣通過不同課程中的知識(shí)進(jìn)行類比，不但可以加深學(xué)生對(duì)新老知識(shí)的理解，更可以使學(xué)生意識(shí)到不同領(lǐng)域之間的交叉是學(xué)術(shù)創(chuàng)新的重要源泉，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用物理知識(shí)去分析問題的能力。此外，我們還采取了固體物理學(xué)中構(gòu)造具體模型去分析問題的思路，這樣可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)的理論有一個(gè)實(shí)際的印象，避免了只談理論本身而帶來的空洞感。

1.3 固體物理學(xué)

對(duì)于固體物理學(xué)基礎(chǔ)，采取對(duì)討論課所涉及的內(nèi)容選擇性地重點(diǎn)講解。例如，整數(shù)量子Hall效應(yīng)涉及到能帶電子的平均速度，而學(xué)生在固體物理學(xué)課程中通常只了解能帶電子在Bloch波包狀態(tài)的群速度：

(12)

但是他們不理解這也正是電子處于Bloch本征態(tài)|ψn(k)〉時(shí)的平均速度。因此，我們特別在這一關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)上給出了完整的推導(dǎo)，以使學(xué)生深化理解。

又如，量子Hall效應(yīng)中會(huì)反復(fù)涉及到周期性邊界條件，然而從教學(xué)實(shí)踐來看，學(xué)生對(duì)周期性邊界條件的理解并不深刻。通常，學(xué)生很少意識(shí)到周期性邊界條件需要建立在平移對(duì)稱性這一前提上，以及周期性邊界條件實(shí)際上包含了電子本征態(tài)在正空間中的周期性與在倒空間(即k空間)中的周期性的雙重含義；更沒有認(rèn)識(shí)到倒空間中的周期性會(huì)使得第一Brillouin區(qū)拓?fù)涞葍r(jià)于(實(shí)際上是拓?fù)渚o致化)倒空間中的閉流形。因此，我們著重強(qiáng)調(diào)了以上幾點(diǎn)，并以矩形第一Brillouin區(qū)為例，說明其在周期性邊界條件下，Brillouin區(qū)相對(duì)的邊界上電子本征態(tài)完全相等，故可將矩形Brillouin區(qū)相對(duì)的兩對(duì)邊界“粘合”起來，這樣得到了一個(gè)環(huán)面，即在周期性邊界條件下(見圖3)二維Brillouin區(qū)拓?fù)涞葍r(jià)于虧格為1的環(huán)面T2。

圖3 環(huán)面與二維Brillouin區(qū)拓?fù)涞葍r(jià)示意圖

2 課程的主要內(nèi)容與討論

在介紹了相應(yīng)的數(shù)學(xué)與物理學(xué)的預(yù)備知識(shí)之后，可以正式為學(xué)生講授拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的主要思想與基礎(chǔ)知識(shí)。我們將精力集中于整數(shù)量子Hall效應(yīng)，這是因?yàn)椋菏紫龋容^簡(jiǎn)單，不需要考慮電子之間相互作用，從而在單電子量子力學(xué)的范圍內(nèi)即可完全解釋清楚，因此對(duì)本科生而言是可以接受的；其次，整數(shù)量子Hall效應(yīng)已經(jīng)具有相當(dāng)豐富的物理內(nèi)涵，足以說明拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的主要思想。由此，整個(gè)課程的框架依次是經(jīng)典Hall效應(yīng)、量子Hall效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)背景與結(jié)果、整數(shù)量子Hall效應(yīng)的理論分析，以及分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)等相關(guān)內(nèi)容的簡(jiǎn)介。

2.1 重要物理量的引入

從經(jīng)典Hall效應(yīng)出發(fā)，對(duì)于二維導(dǎo)體，引入Hall電導(dǎo)σxy這個(gè)重要的物理量，

(13)

其中，Ix為導(dǎo)體中的電流強(qiáng)度；Vy為Hall電壓。進(jìn)而，由導(dǎo)體中的電子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典圖像，可以得出Hall電導(dǎo)與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間呈現(xiàn)的連續(xù)變化關(guān)系，從而說明邊緣電流的存在。盡管電子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典圖像并不符合量子力學(xué)，但卻可以使學(xué)生對(duì)由量子理論分析而得到的邊緣手性電流有一個(gè)初步的印象。

2.2 實(shí)驗(yàn)條件

介紹量子Hall效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)條件，以使學(xué)生對(duì)其有一個(gè)直觀具體的物理概念。實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵條件在于低溫T～1K與強(qiáng)磁場(chǎng)B～1T。低溫可以使電子的熱激發(fā)完全被忽略；而強(qiáng)磁場(chǎng)則可以使電子的自旋幾乎完全極化，反平行于外磁場(chǎng)，從而使自旋對(duì)電子態(tài)沒有影響。同時(shí)，Hall電導(dǎo)σxy在實(shí)驗(yàn)中所呈現(xiàn)的各種整數(shù)與分?jǐn)?shù)量子數(shù)ν也足以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

2.3 整數(shù)量子Hall效應(yīng)的講授

至此，就可以講授作為課程重點(diǎn)的整數(shù)量子Hall效應(yīng)了。當(dāng)然，理解這個(gè)問題可以有多種角度，其中最基礎(chǔ)的一種可以從磁場(chǎng)中二維電子氣體的Landau能級(jí)出發(fā)，由此導(dǎo)出Hall電導(dǎo)的量子化。進(jìn)而，引入由樣品邊界而導(dǎo)致的邊緣勢(shì)場(chǎng)，并由此說明在樣品相對(duì)的兩個(gè)邊界處出現(xiàn)的方向相反的手性邊緣電流，以及存在于二維體系邊界處的手性費(fèi)米子等拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念。在此基礎(chǔ)上，可以由二維能帶結(jié)構(gòu)導(dǎo)出一個(gè)在拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)中非常美妙且重要的公式：

(14)

其中，n為能帶指標(biāo)；Fn,α β(k)為第n個(gè)能帶相應(yīng)的Berry曲率，BZ表示第一Brillouin區(qū)，周期性邊界條件使其拓?fù)涞葍r(jià)于虧格為1的環(huán)面T2，而這正是單電子有效哈氏量的參量空間。式(14)具有深刻的物理意義，它表明對(duì)于第n個(gè)能帶，其Berry曲率在二維第一Brillouin區(qū)中的積分正好等于2π乘以一個(gè)整數(shù)Cn。這個(gè)整數(shù)Cn是第n個(gè)能帶的拓?fù)洳蛔兞浚Q為Chern數(shù)。

Chern數(shù)Cn的物理意義可以如下理解：式(14)所體現(xiàn)的結(jié)果正是單電子本征態(tài)繞二維第一Brillouin區(qū)邊界一周后(即一個(gè)絕熱循環(huán))所獲得的Berry相位，由波函數(shù)的單值性，其相位的變化必然為2π的整數(shù)倍，這個(gè)整數(shù)就是Chern數(shù)。在此，需要特別強(qiáng)調(diào)Chern數(shù)是能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳蛔兞?，原因在于雖然定義在二維第一Brillouin區(qū)上的電子波函數(shù)可以連續(xù)變化，但相應(yīng)能帶的Chern數(shù)保持不變。進(jìn)而，還可以自然地將式(14)與式(1)中的Gauss-Bonnet公式進(jìn)行類比，兩者的數(shù)學(xué)形式極其相似，這進(jìn)一步表明了Chern數(shù)作為能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳蛔兞康暮x，它完全類似于閉曲面的Euler示性數(shù)。由此，可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與物理學(xué)的相通之處，使其產(chǎn)生觸類旁通的美妙感受。

基于前述全部數(shù)學(xué)與物理學(xué)理論，利用線性響應(yīng)理論的Kubo公式[9]，可以推導(dǎo)出整數(shù)量子Hall效應(yīng)中最核心的Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs(TKNN)公式[2]，

(15)

2.4 課程的結(jié)束

通過對(duì)量子Hall效應(yīng)的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生欣賞到拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)這一領(lǐng)域的精妙之處。同時(shí)，也可以讓學(xué)生體會(huì)到理解物理學(xué)中的第一流工作，有時(shí)并不需要極其高深的數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識(shí)，從而幫助他們樹立探索高深課題的信心。當(dāng)然，必須指出TKNN公式雖然簡(jiǎn)單，推導(dǎo)也并不十分容易，其中涉及的Kubo公式屬于量子多體理論中線性響應(yīng)理論的內(nèi)容。這里，采用同前面介紹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)一樣的方案，直接給出Kubo公式的結(jié)果并說明其意義，同時(shí)給出參考文獻(xiàn)以便學(xué)生課后自學(xué)拓展。

作為課程的結(jié)束，我們?yōu)閷W(xué)生科普性地介紹了拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的前沿內(nèi)容，如分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)、Haldane模型[10]、鐵磁體系中的拓?fù)洮F(xiàn)象[11]等內(nèi)容，這其中有相當(dāng)一部分仍然屬于物理學(xué)中的未解之謎。例如，以分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)為切入點(diǎn)，介紹了當(dāng)前凝聚態(tài)物理學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的課題之一：強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系。不同于整數(shù)量子Hall效應(yīng)，分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)中電子之間的Coulomb相互作用必須予以考慮，這也正是其難于求解的肯綮所在。此外，另一個(gè)非常重要但同樣懸而未決的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系問題是高溫超導(dǎo)。對(duì)所有這些內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹的目的都是為了讓學(xué)生能夠盡早地了解物理學(xué)中還有哪些問題需要探索，哪些領(lǐng)域可以有所作為，從而在他們心中播撒下一顆勇攀物理學(xué)高峰的種子。

3 總結(jié)與建議

本文以量子Hall效應(yīng)為例，介紹了在物理類專業(yè)高年級(jí)本科生中開展拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容與實(shí)踐。首先進(jìn)行了必要的數(shù)學(xué)與物理學(xué)的知識(shí)準(zhǔn)備，主要包括微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)、量子力學(xué)、固體物理學(xué)的拓展知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，介紹了經(jīng)典與量子Hall效應(yīng)的基本內(nèi)容，并著重推導(dǎo)了整數(shù)量子Hall效應(yīng)中Hall電導(dǎo)量子化的TKNN公式。根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，整個(gè)過程需要6～8個(gè)學(xué)時(shí)，準(zhǔn)備知識(shí)與課程主體各半。因此，這些內(nèi)容既可以設(shè)為物理系固體物理學(xué)教學(xué)的拓展部分，也可以設(shè)為凝聚態(tài)物理學(xué)的專題部分，還可以在此基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的引申。

當(dāng)然，拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)的內(nèi)容十分廣泛，不可能在短暫的教學(xué)時(shí)間內(nèi)面面俱到。為此，我們建議留出一些學(xué)生可以自己解決的問題，供其課后深入研究。例如，對(duì)橢球面的Gauss-Bonnet公式的驗(yàn)證，可以使學(xué)生很好地熟悉微分幾何學(xué)中的相應(yīng)計(jì)算。同樣，在簡(jiǎn)介分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)的Laughlin波函數(shù)[12]的唯象理論時(shí)，我們從磁場(chǎng)中的二維平面內(nèi)具有相互作用的二電子模型出發(fā)，希望通過這樣的模型能夠給出多電子相互作用體系的一個(gè)試探波函數(shù)。我們對(duì)這一思路進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并指出其與量子力學(xué)中氫原子二體體系的相似之處，其中的關(guān)鍵在于引入相對(duì)坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)以分離變量。但我們并沒有對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算，而是把這個(gè)問題留給了學(xué)生。因?yàn)檫@樣的計(jì)算既切合課堂內(nèi)容，又在難度上明顯高于課堂內(nèi)容，所以非常適合作為課后練習(xí)，學(xué)生通過處理這類問題可以得到很好的鍛煉。

最后，對(duì)于拓?fù)淠蹜B(tài)物理學(xué)這一正在蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域，將課程中相關(guān)知識(shí)的原始論文發(fā)給學(xué)生課后學(xué)習(xí)，也是培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力并從論文中直接獲取最新科學(xué)進(jìn)展的重要方式。學(xué)生在日后開展獨(dú)立研究時(shí)，研讀第一手的原始論文必不可少，因此從最新資料中挖掘信息的能力必須盡早培養(yǎng)。