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        理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式的提出

        2019-10-22 11:57:46宋雅坪房國忠郭希海
        水利科技與經(jīng)濟(jì) 2019年9期
        關(guān)鍵詞:徑流系數(shù)數(shù)學(xué)公式匯流

        宋雅坪,房國忠,徐 崢,郭希海,孫 羽

        (國家電網(wǎng)公司 東北分部,沈陽 110000)

        1 概 述

        洪水經(jīng)驗(yàn)單位線是傳統(tǒng)的洪水匯流預(yù)報(bào)方法[1],雖然方法簡(jiǎn)單,應(yīng)用也很廣泛,但預(yù)報(bào)時(shí)單位線的選取因人而異,預(yù)報(bào)結(jié)果的精度難以控制[2-3]。同時(shí),經(jīng)驗(yàn)單位線的分割與制作過程十分繁瑣,難以達(dá)到理想完備的程度[4-5]。更重要的是經(jīng)驗(yàn)單位線只能從已發(fā)生的洪水過程當(dāng)中獲得有限的(常見)洪水信息,對(duì)于未發(fā)生的罕見特大洪水的預(yù)報(bào),由于缺少相應(yīng)的外推單位線,極有可能存在洪峰預(yù)報(bào)嚴(yán)重偏小的重大安全隱患(即經(jīng)驗(yàn)單位線缺乏外延遞推性)[6-8]。能否找到一個(gè)理想完備的洪水徑流單位線數(shù)學(xué)公式,使預(yù)報(bào)能夠連續(xù)覆蓋從極枯到極豐整個(gè)可能出現(xiàn)的土壤濕度狀態(tài)(具有外延遞推性),且其預(yù)報(bào)結(jié)果滿足高精而穩(wěn)定的要求,這是水文基礎(chǔ)理論研究方面需要解決的基本問題[9]。

        本文創(chuàng)立的理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式,為預(yù)報(bào)理論的實(shí)際應(yīng)用提供了一種新的數(shù)學(xué)工具。期待該成果與產(chǎn)流預(yù)報(bào)模式相結(jié)合,在高精度預(yù)報(bào)模型中得到廣泛的應(yīng)用。

        2 徑流過程的圖形描述

        洪水徑流過程是一個(gè)漲水段短、退水段很長的時(shí)序流量過程。當(dāng)流域土壤干旱和降雨小時(shí),產(chǎn)流少,洪水過程為矮胖型(洪峰漲幅小、洪水歷時(shí)長);反之,當(dāng)流域土壤濕潤和降雨大時(shí),產(chǎn)流多,洪水過程為尖瘦型(洪峰漲幅大、洪水歷時(shí)短)。徑流過程典型曲線見圖1。

        圖1 徑流過程典型曲線

        3 洪水徑流數(shù)學(xué)描述需解決的問題

        3.1 尋求洪水徑流過程Q-T曲線的數(shù)學(xué)公式

        先要找到一個(gè)數(shù)學(xué)公式能夠描述某一次洪水過程的完整形態(tài)。

        3.2 驗(yàn)證洪水徑流過程Q-T數(shù)學(xué)曲線族的代表性與完備性

        在找到一個(gè)洪水徑流數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)上,尋求一組洪水徑流過程Q-T曲線族,其等分或非等分變化要與流域不同干濕程度的相應(yīng)實(shí)際洪水單位線一一匹配,即理論單位線具有真實(shí)反映洪水徑流豐枯變化的全過程(完備性),同時(shí)具有理論外延的合理性。

        本文將試圖通過指數(shù)函數(shù)的初等運(yùn)算來解決這一復(fù)雜的匯流模式理論問題。

        4 徑流匯流模式的數(shù)學(xué)描述

        4.1 徑流過程的數(shù)學(xué)描述

        洪水徑流過程能否用數(shù)學(xué)公式來描述?如果能找到一個(gè)公式或初等函數(shù)來完整地反映洪水過程,不僅是一個(gè)十分有趣的數(shù)學(xué)練習(xí),更重要的是可以通過后續(xù)預(yù)報(bào)應(yīng)用研究,建立起一個(gè)更為復(fù)雜、完美的數(shù)學(xué)表達(dá)公式,乃至為水文學(xué)建立更為科學(xué)的理論打下基礎(chǔ)。

        洪水來水過程是一個(gè)漲水段相對(duì)較短、退水段相對(duì)較長的時(shí)序物理現(xiàn)象。這種形態(tài)的過程在其它領(lǐng)域也廣泛存在,如通信的電話流量、公路交通流量過程等等。

        由于許多水文物理量與指數(shù)函數(shù)e-at有密切聯(lián)系,那么,由此推測(cè)洪水過程線的公式表達(dá)應(yīng)當(dāng)是以指數(shù)函數(shù)的初等運(yùn)算為構(gòu)成形式。果然,將兩個(gè)不同退水系數(shù)的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行相減,就是一條很完美的洪水流量過程線。

        Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt) 或

        Q(t,a,b)=A×(exp(-at)-exp(-bt))

        其中a

        注:洪水曲線公式Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt) 的積分面積(洪水總量):

        4.2 理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式

        發(fā)現(xiàn)洪水徑流過程Q-T曲線的數(shù)學(xué)公式后,工作僅僅是開始,還需要對(duì)洪水過程線公式進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,并解決Q-T曲線族的等分或非等分變化,目的是要讓徑流過程曲線族與實(shí)際流域不同干濕條件下的洪水單位線一一匹配,這樣才有可能解決數(shù)學(xué)公式其代表的完備性與理論外延的合理性,其成果可以視為理論單位線。之所以稱為理論單位線是因?yàn)镼-T曲線族的每條曲線的積分面積均為1。

        通過反復(fù)試錯(cuò)后,合理選取不同的(a,b)參數(shù),就可以完整地反映所有的洪水過程的變化趨勢(shì)。理論單位線曲線族典型曲線見圖2。

        圖2 理論單位線曲線族典型曲線

        理論單位線曲線公式:

        Q(t,a,b)=1/(1/a-1/b)×(e-at-e-bt)

        峰現(xiàn)時(shí)間:

        Tf=ln(a/b)/(a-b)

        洪峰流量:

        Qf=ab/(b-a)×(e-aln(a/b)/(a-b)-e-bln(a/b)/(a-b))

        每條理論單位線的積分面積(t=0~∞):

        每條理論單位線的計(jì)算面積(t=0~∞):

        s=∑Q(t,a,b)<1.0

        注:曲線公式Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt)的面積S=A/(1/a-1/b)(A為常數(shù))

        基本假定:存在某一組參數(shù)(a,b)或(ai,bi)的理論單位線曲線族與徑流系數(shù)(產(chǎn)流系數(shù))可以建立唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即曲線Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8,Q9,Q10分別對(duì)應(yīng)徑流系數(shù)為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0的洪水過程?;炯俣芊穹蠈?shí)際,將通過后續(xù)預(yù)報(bào)應(yīng)用和試錯(cuò)方法來檢驗(yàn)。

        5 理論單位線應(yīng)用建模(匯流理論模式)

        給定不同的a,b參數(shù)就能得到不同的單位線,只要根據(jù)產(chǎn)流條件不同去合理調(diào)整a,b參數(shù)就能獲得理想的洪水過程線,同時(shí)也就完成了相應(yīng)的洪水徑流匯流預(yù)報(bào)計(jì)算。

        建模方式:先給定一組a,b參數(shù)的洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型,建立徑流系數(shù)與理論單位線族的關(guān)系對(duì)應(yīng)表;實(shí)際流域預(yù)報(bào)將根據(jù)徑流系數(shù)(又稱產(chǎn)流系數(shù)、出流系數(shù))找到對(duì)應(yīng)的單位線。同時(shí),計(jì)算實(shí)際流域洪水歷時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)洪水歷時(shí)的比值作為匯流標(biāo)尺參數(shù),進(jìn)而計(jì)算時(shí)間標(biāo)尺進(jìn)行時(shí)標(biāo)變換,代入理論單位線曲線公式即可完成洪水匯流預(yù)報(bào)計(jì)算。

        如果預(yù)報(bào)結(jié)果不理想,重新給定另一組a,b參數(shù)的洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型,進(jìn)行預(yù)報(bào)應(yīng)用檢驗(yàn),直至預(yù)報(bào)結(jié)果完美。

        5.1 洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表(理論單位線族)

        洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表見表1。

        表1 洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表

        5.2 確定退水系數(shù)B和時(shí)間標(biāo)尺Tc

        用退水段的平均退水系數(shù)代表該洪水曲線的退水系數(shù)(稱為標(biāo)準(zhǔn)退水系數(shù)B標(biāo)準(zhǔn)),并與徑流系數(shù)r建立回歸關(guān)系。見圖3。

        本地退水系數(shù):B本地=B標(biāo)準(zhǔn)^Tc

        時(shí)間標(biāo)尺:Tc=BT×DT/24

        其中:DT為當(dāng)?shù)啬P陀?jì)算時(shí)段長(小時(shí)),匯流標(biāo)尺BT為實(shí)際流域洪水歷時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)洪水歷時(shí)的比值。 退水系數(shù)B與徑流系數(shù)r關(guān)系見表2。

        表2 退水系數(shù)與徑流系數(shù)關(guān)系

        退水系數(shù)僅用于預(yù)報(bào)模型開始時(shí)(預(yù)熱段)的前期退水的計(jì)算,之后的連續(xù)預(yù)報(bào)則無此需求。

        5.3 確定理論單位線參數(shù)

        理論單位線曲線參數(shù):

        ai=0.00875×(ri×Kqqt×10)^2+0.02375×(ri×Kqqt×10)+0.0175

        bi=0.00875×(ri×Kqqt×10+1)^2+0.02375*(ri×Kqqt×10+1)+0.0175

        si=100×(1/ai-1/bi)

        其中:Kqqt各種匯流應(yīng)用調(diào)節(jié)系數(shù),用于洪水過程的局部修正(主要由人類活動(dòng)影響確定)和洪水過程的整體修正(可由洪峰修正系數(shù)確定);ri為時(shí)段i的徑流系數(shù)(又稱產(chǎn)流系數(shù)、出流系數(shù)),是參數(shù)ai,bi的主要控制變量。

        5.4 計(jì)算單位線匯流時(shí)段平均流量

        單位線匯流時(shí)段平均流量(m3/s):

        qij=0,當(dāng)tj-ti<1

        qij=-Ri/0.000864×100/si×TC×((exp(-ai×(tj-ti)×TC)-exp(-ai×(tj-ti)×TC))/ai/TC-(exp(-bi×(tj-ti)×TC)-exp(-bi×(tj-ti)×TC))/bi/TC),當(dāng)tj-ti>=1

        其中:Ri為時(shí)間標(biāo)尺TC、時(shí)段i的產(chǎn)流量(又稱徑流總量),108m3。

        理論單位線預(yù)報(bào)應(yīng)用實(shí)例:將理論單位線曲線族模型應(yīng)用到豐滿2013年連續(xù)洪水預(yù)報(bào)當(dāng)中,預(yù)報(bào)曲線與實(shí)際曲線符合程度較高,預(yù)報(bào)結(jié)果見圖4-圖6。

        圖4 豐滿流域面雨量

        圖5 單位線曲線族疊加曲線

        圖6 豐滿2013年連續(xù)洪水預(yù)報(bào)曲線

        6 結(jié) 論

        1) 洪水徑流數(shù)學(xué)描述——理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式的提出,為水文基礎(chǔ)理論在匯流方面的研究提供了一種新的完備理論匯流模式。

        2) 理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式及其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具備外延遞推的合理性,通過理論單位線曲線族與徑流系數(shù)之間建立恰當(dāng)?shù)年P(guān)系,可以解決復(fù)雜的流域徑流的匯流預(yù)報(bào)問題。

        3) 由于理論單位線族具備豐枯全過程連續(xù)覆蓋的洪水匯流計(jì)算特性,從而有望與其它高精產(chǎn)流預(yù)報(bào)模式相結(jié)合,為后續(xù)建立精確的產(chǎn)-匯一體預(yù)報(bào)模型提供堅(jiān)實(shí)的理論算法,達(dá)到自動(dòng)選配單位線,實(shí)現(xiàn)高精、高效預(yù)報(bào)的目的。

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