王 悅，于海生，吳賀榮

WANG Yue, YU Hai-sheng, WU He-rong

（青島大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，青島 266071）

0 引言

由于在實(shí)際的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)當(dāng)中存在動(dòng)態(tài)耦合、高非線性、時(shí)變參數(shù)和未知干擾等諸多不良因素，機(jī)器人的跟蹤控制問(wèn)題依然具有挑戰(zhàn)性[1]。近幾年來(lái)，為了克服這一具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題學(xué)者們提出了不同的控制策略。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于位置-轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)換的滑模反演控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂伺服電機(jī)的直接控制。文獻(xiàn)[3]提出了一種結(jié)合了時(shí)滯控制與極點(diǎn)配置的自適應(yīng)滑膜控制方法，這種方法最終使跟蹤誤差收斂到了一個(gè)極小的界限。文獻(xiàn)[4]所提出的兩種用以控制參數(shù)不確定的機(jī)器人系統(tǒng)的自適應(yīng)控制方法。文獻(xiàn)[5]提出了一種以多關(guān)節(jié)的機(jī)械手指為對(duì)象的模糊自適應(yīng)方法，以此來(lái)克服機(jī)器人難以精確建模的問(wèn)題，但是，其位置跟蹤控制的控制精度并不理想。文獻(xiàn)[6]提出的一種基于時(shí)滯估計(jì)的連續(xù)分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑模的機(jī)器人跟蹤系統(tǒng)，具有優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)性能。近年來(lái)越來(lái)越多的學(xué)者從能量的角度出發(fā)設(shè)計(jì)機(jī)器人位置跟蹤控制器。其中，端口受控哈密頓耗散（PCHD，port-controlled Hamiltonian dissipation）系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)控制中有著極其重要的應(yīng)用[7,8]。文獻(xiàn)[9]從能量平衡的角度提出了機(jī)器人位置跟蹤控制器。文獻(xiàn)[10]提出了未知端口的哈密頓系統(tǒng)的L2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制策略。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了哈密頓模型的魯棒性積分控制，并給出全局漸近穩(wěn)定的證明方法。文獻(xiàn)[12]對(duì)于傳動(dòng)機(jī)構(gòu)摩擦力進(jìn)行了詳細(xì)建模并在此基礎(chǔ)上采用無(wú)源性控制策略對(duì)機(jī)器人進(jìn)行位置跟蹤控制。以上文獻(xiàn)對(duì)于這一問(wèn)題的研究控制策略都是從信號(hào)或者能量單一角度提出的，但是從單一角度設(shè)計(jì)控制策略難以滿足機(jī)器人控制系統(tǒng)所要求的快速性，準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[13]對(duì)此做出了初步研究。本文分別從能量和信號(hào)的角度設(shè)計(jì)控制策略，能量控制器選擇端口受控耗散哈密頓控制加積分控制[14～16]，信號(hào)控制器選擇基于模型補(bǔ)償與Fal函數(shù)的比例微分（PD）控制[17～20]，進(jìn)而設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)控制策略以此來(lái)實(shí)現(xiàn)兩種控制器對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制。從實(shí)際角度出發(fā)，將機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與關(guān)機(jī)伺服電機(jī)控制結(jié)合起來(lái),采用滑?？刂圃O(shè)計(jì)隱極永磁同步電機(jī)（PMSM，permanent magnet synchronous motor）的電流控制，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人與驅(qū)動(dòng)電機(jī)整體控制。

1 二自由度機(jī)器人模型

1.1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

二自由度機(jī)器人如圖1所示。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程為：

圖1 二自由度機(jī)器人示意圖

1.2 PMSM數(shù)學(xué)模型

驅(qū)動(dòng)機(jī)器人第i關(guān)節(jié)的隱極（Ld=Lq）PMSM在d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為[16]：

式中，i=1,2；Lqi和Ldi分別是q軸和d軸的定子電感；iqi和idi分別為q軸和d軸的定子電流；uqi和udi分別為d軸和q軸的定子電壓；Rsi為定子電阻；npi為極對(duì)數(shù)；ωi為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Jmi為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τLi為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Φi為永磁同步電機(jī)產(chǎn)生的磁鏈；θi為永磁同步電機(jī)角位移；qi為機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移；kri為齒輪減速比。

2 機(jī)器人位置控制設(shè)計(jì)

2.1 機(jī)器人控制方案

機(jī)器人控制系統(tǒng)方案如圖2所示，對(duì)于給定的機(jī)器人的位置曲線進(jìn)行跟蹤，采用PCHD控制加積分控制作為能量控制器，采用基于模型補(bǔ)償和Fal函數(shù)的PD控制作為信號(hào)控制器。采用協(xié)調(diào)控制策略，將能量控制與信號(hào)控制相協(xié)調(diào)，輸出τ1、τ2。通過(guò)電流轉(zhuǎn)換得出iqi，同時(shí)根據(jù)控控制原理，采用滑?？刂茖?duì)隱極PMSM電流進(jìn)行控制，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人與電機(jī)的高性能控制。

圖2 機(jī)器人控制系統(tǒng)示意圖

2.2 電流環(huán)控制器設(shè)計(jì)

驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電流環(huán)采用i*d=0原理的滑?？刂破鳌Ｔ诜€(wěn)態(tài)時(shí)有：

根據(jù)式(2)中的式(3)、式(5)得：

分別設(shè)計(jì)滑模面：

分別選擇趨近律：

其中，cli、c2i、εli、ε2i、kli、k2i均為大于零的常數(shù)。

根據(jù)式(3)、式(7)、式(8)可得到滑?？刂坡蔀椋?/p>

選擇李雅普諾夫函數(shù)Vpmsm=sTs/2，有Vpmsm>0，，該子系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

2.3 PCHD控制加積分控制器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)的總能量為：

其中，p為角動(dòng)量。

由機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程及系統(tǒng)能量方程可以寫(xiě)出，二自由度機(jī)械手的PCHD形式：

其中，x=[q p]T；；I為2×2維單位矩陣。系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x0=（q10，q20，0，0）T，對(duì)于在平衡點(diǎn)處構(gòu)造新的能量函數(shù)Hd，其中Kp=diag{kp1kp2}>0。

存在反饋控制：

使閉環(huán)系統(tǒng)為：

由式(10)，式(12)，式(13)得：

由文獻(xiàn)[8]可知，子系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[21]可知引入積分控制后的新的閉環(huán)系統(tǒng)仍是PCHD系統(tǒng)，其穩(wěn)定性不變。

2.4 基于模型補(bǔ)償加Fal函數(shù)的非線性PD控制

近年來(lái)，利用Fal函數(shù)構(gòu)造非線性PD控制器的控制策略取得了良好的成果[20]。由于Fal函數(shù)具有收斂速度快的特性，為了改善機(jī)器人位置跟蹤的動(dòng)態(tài)過(guò)程，使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，利用此函數(shù)構(gòu)造非線性模型補(bǔ)償PD控制[22]。設(shè)qi為反饋的實(shí)際機(jī)器人角位移，qi0為給定的機(jī)器人角位移i=1,2。定義ewi=（qi-qi0），得到

存在函數(shù)：

設(shè)計(jì)滑模函數(shù)：

基于模型補(bǔ)償原理，由式(1)、式(14)、式(15)求出控制律為：

其中KD=diag{kD1，kD2}是一個(gè)正定常數(shù)矩陣。?。?/p>

2.5 協(xié)調(diào)控制策略設(shè)計(jì)

定義C1、C2、C3、C4分別為能量控制器與信號(hào)控制器的協(xié)調(diào)函數(shù)，?。?/p>

其中，ai、bi均為常數(shù)，i=1,2，根據(jù)實(shí)際需求設(shè)定。由于機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在誤差，當(dāng)|q1-q10|≥0.0005（rad）、|q2-q20|≥0.001（rad）時(shí)采用協(xié)調(diào)控制，協(xié)調(diào)控制律為：

根據(jù)文獻(xiàn)[23]可知，如果子系統(tǒng)穩(wěn)定且協(xié)調(diào)函數(shù)滿足t=0時(shí)，C1=C3=0，C2=C4=1；當(dāng)0

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平臺(tái)上進(jìn)行仿真，機(jī)器人參數(shù)：L1=L2=1m，m1=m2=1kg。PMSM參數(shù)：Lid=Liq=0.00085H，Ris=2.875Ω，nip=4，Φi=0.175，Jim=0.02Kgm2，kri=100。選擇PCHD控制加積分控制的參數(shù)為Kp1=30000，Kp2=40000，r21=300，r22=300，給定跟蹤信號(hào)為q1=sin（0.8t），q2=sin（0.8t）。相同參數(shù)下的PCHD控制與PCHD加積分控制的誤差比較曲線如圖3、圖4所示。顯然采用PCHD加積分控制的控制效果明顯要優(yōu)于單純的PCHD控制。

圖3 關(guān)節(jié)1位置誤差比較曲線

圖4 關(guān)節(jié)2位置誤差比較曲線

選擇基于模型補(bǔ)償加Fal函數(shù)的PD控制參數(shù)為δ1=0.07，δ2=0.01，δ3=0.03，δ4=0.01，α1=0.65，α2=0.98，α3=0.75，α4=0.90，K1=10，K2=10，KD1=500，KD2=500。模型補(bǔ)償加Fal函數(shù)的PD控制與傳統(tǒng)的PD加重力補(bǔ)償控制的位置跟蹤誤差對(duì)比曲線如圖5、圖6所示。顯然，與傳統(tǒng)的基于模型補(bǔ)償?shù)腜D控制相比，加入Fal函數(shù)后的控制策略在過(guò)渡過(guò)程更加快速，具有更加優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)性能。

圖5 關(guān)節(jié)1位置誤差比較曲線

圖6 關(guān)節(jié)2位置誤差比較曲線

將能量控制器與信號(hào)控制器進(jìn)行協(xié)調(diào)控制，目的是為了在兼顧優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)過(guò)程的同時(shí)，使機(jī)器人系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)性能更好由選擇協(xié)調(diào)控制器參數(shù)為a1=37，b1=0.18，a2=37，b1=0.22。協(xié)調(diào)控制策略與單一的信號(hào)控制或者能量控制的位置跟蹤誤差比較曲線如圖7、圖8所示。協(xié)調(diào)函數(shù)曲線如圖9所示，可以看出，在跟蹤開(kāi)始時(shí)C1=C3=1信號(hào)控制器起主要作用，當(dāng)0.2s秒左右時(shí)，協(xié)調(diào)函數(shù)變化率最大，當(dāng)0.4S時(shí)，C2=C4=1能量控制器起主要作用，這樣滿足了動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性，又保證了穩(wěn)態(tài)運(yùn)行中的穩(wěn)定性性。

圖7 關(guān)節(jié)1位置誤差比較曲線

圖8 關(guān)節(jié)2位置誤差比較曲線

圖9 協(xié)調(diào)函數(shù)曲線

由仿真結(jié)果知，在協(xié)調(diào)控制策略下系統(tǒng)兼顧了信號(hào)控制動(dòng)態(tài)性能好和能量控制穩(wěn)態(tài)性能好中可靠性高的特點(diǎn)。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)二自由度機(jī)器人位置控制系統(tǒng)跟蹤控制難以兼顧快速性和準(zhǔn)確性的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于能量控制器與信號(hào)控制器的協(xié)調(diào)控制策略。采用PCHD控制加積分控制作為能量控制器，采用基于模型補(bǔ)償加Fal函數(shù)的PD控制作為信號(hào)控制器。用滑模控制將機(jī)器人伺服驅(qū)動(dòng)控制分解為中間子系統(tǒng)并進(jìn)行控制，通過(guò)電流轉(zhuǎn)換將機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與伺服電機(jī)電流控制結(jié)合起來(lái)。由仿真結(jié)果得出，采用信號(hào)控制與能量控制的協(xié)調(diào)控制策略，機(jī)器人控制系統(tǒng)具有兼具快速性和準(zhǔn)確性的優(yōu)點(diǎn)。