馬國(guó)慶，劉 麗，于正林，曹?chē)?guó)華，陳李博

MA Guo-qing, LIU Li, YU Zheng-lin, CAO Guo-hua, CHEN Li-bo

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)向智能化與自動(dòng)化發(fā)展，機(jī)器人逐漸融入社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域，而機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)器人技術(shù)研究中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]。本文以UR10為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)與各連桿進(jìn)行分析并得到相關(guān)的模型參數(shù)，并將其應(yīng)用于正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。用MATLAB進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比分析驗(yàn)證模型與運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆運(yùn)算的正確性。為機(jī)器人軌跡規(guī)劃研究提供必要的理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)器人模型的空間描述與變換關(guān)系

要使機(jī)器人實(shí)現(xiàn)空間中某種運(yùn)動(dòng)，首先需要建立一個(gè)基坐標(biāo)系，然后在此基坐標(biāo)系下研究機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)和位姿。

1.1 機(jī)器人位姿及坐標(biāo)系描述

在建立了基坐標(biāo)系后，可通過(guò)3×1的位置矢量表示空間中某一點(diǎn)的位置。假設(shè)基坐標(biāo)系{A}中任意一點(diǎn)p，其位置矢量可用Ap表示：

其中px，py，pz為p點(diǎn)在基坐標(biāo)系{A}中的位置分量。但對(duì)機(jī)器人進(jìn)行研究時(shí)不僅需要該點(diǎn)的位置坐標(biāo)，還需要方位姿態(tài)。因此定義某一物體所在的坐標(biāo)系為{B}，則物體B相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的方位可用B的單位矢量相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的方向余弦矩陣表示，具體如下：

其中ABR稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，上下標(biāo)A、B分別表示坐標(biāo)系{A}與{B}。由于三個(gè)列矢量均為單位矢量且均互相垂直，因此為正交矩陣且滿足：

1.2 機(jī)器人坐標(biāo)系的變換關(guān)系

在空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中最為常見(jiàn)的為平移、旋轉(zhuǎn)以及既平移又旋轉(zhuǎn)的復(fù)合變換三種[2]?？臻g點(diǎn)p在空間坐標(biāo)系{A}、坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{C}下的變換關(guān)系如圖1所示。

圖1 位姿變換示意圖

坐標(biāo)系{A}與坐標(biāo)系{B}在空間中相互平行但坐標(biāo)原點(diǎn)位置不同?？梢园阉闯墒亲鴺?biāo)系的平移變換，用位移矢量ApB表示坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的變換關(guān)系，通過(guò)矢量加運(yùn)算即可求解出空間點(diǎn)p相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的位置矢量：

坐標(biāo)系{C}與坐標(biāo)系{B}在空間中方位角度不同但擁有相同的坐標(biāo)原點(diǎn)，即空間點(diǎn)p的位置并未發(fā)生改變但其坐標(biāo)系發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，則可用旋轉(zhuǎn)矩陣BpC表示坐標(biāo)系的方位，即存在轉(zhuǎn)換關(guān)系：

坐標(biāo)系的變換往往不是單一平移與單一旋轉(zhuǎn)那么簡(jiǎn)單，通常都是平移與旋轉(zhuǎn)的復(fù)合變換，位置矢量ApB、旋轉(zhuǎn)矩陣BpC分別表示坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的平移變換關(guān)系和坐標(biāo)系{C}相對(duì)于坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，則空間點(diǎn)p在坐標(biāo)系{A}下的位置矢量Ap有：

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)過(guò)程中并不考慮各種運(yùn)動(dòng)附加力對(duì)機(jī)器人的影響，只考慮機(jī)器人各連桿及關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特性，機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)則可看成是已知機(jī)器人各個(gè)連桿的物理參數(shù)以及關(guān)節(jié)角度變量，求取末端執(zhí)行器相對(duì)基坐標(biāo)系的位姿關(guān)系[3]。

2.1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型描述

使用經(jīng)典D-H參數(shù)法，需要確定機(jī)器人各相鄰關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立相鄰坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣。坐標(biāo)系的創(chuàng)建如圖2所示。

圖2 D-H法各連桿關(guān)系示意圖

坐標(biāo)系的Z軸為各關(guān)節(jié)軸的中心軸線，坐標(biāo)原點(diǎn)為各軸線公垂線的交點(diǎn)；X軸經(jīng)過(guò)各軸的公垂線，方向?yàn)橹赶螂x開(kāi)軸線的方向；而Y軸可用右手定則確定。并得出結(jié)構(gòu)參數(shù)桿長(zhǎng)di、扭轉(zhuǎn)角αi、關(guān)節(jié)長(zhǎng)度ai以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi。

2.2 機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)

UR10是六自由度串聯(lián)機(jī)器人，可實(shí)現(xiàn)高達(dá)10Kg的自動(dòng)化作業(yè)，延伸半徑范圍1300mm，具備協(xié)作性與安全性[4]。根據(jù)其機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)采用D-H進(jìn)行連桿坐標(biāo)系的建立，如圖3所示。

圖3 UR10機(jī)器人D-H坐標(biāo)系

由于UR10機(jī)器人各關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，因此在機(jī)器人系統(tǒng)中只有關(guān)節(jié)角θ為變量，其余三個(gè)參數(shù)均為固定值，D-H模型參數(shù)如表1所示。

表1 UR10機(jī)器人D-H模型參數(shù)

依據(jù)機(jī)器人連桿坐標(biāo)系以及D-H模型參數(shù)表，求解出連桿坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣：

將表1中參數(shù)代入式(13)，利用各連桿的轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行相乘即可求解機(jī)器人的末端位姿：

其中nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az為機(jī)器人的末端姿態(tài)分量，px，py，pz為機(jī)器人的末端位置分量。

2.3 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在實(shí)際應(yīng)用中往往指定機(jī)器人末端位姿，通過(guò)計(jì)算求得機(jī)器人到該位姿情況下的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變量，并驅(qū)動(dòng)機(jī)器人移動(dòng)到該位置下。這種求解各關(guān)節(jié)變量的過(guò)程即為機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[5]。

2.3.1 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法

一般情況下求取機(jī)器人逆解的方法主要有數(shù)值求解法與封閉法求解兩種。通常六自由度的機(jī)器人主要采取數(shù)值求解法，但在某些特殊情況下求得的結(jié)果不是唯一解。而封閉法又分為幾何求解法與代數(shù)求解法兩種，相比于幾何求解法，代數(shù)求解法計(jì)算更簡(jiǎn)單、通用性較強(qiáng)，成為求取機(jī)器人逆解的基本方法[6]。

2.3.2 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

因UR10機(jī)器人的第二、三、四關(guān)節(jié)軸均為平行狀態(tài)，滿足逆解存在的條件，因此該機(jī)器人的逆解可通過(guò)數(shù)值求解法求得，求解結(jié)果如下：

上述求解機(jī)器人的相關(guān)逆解，但逆解的數(shù)量不是唯一的，可能會(huì)得到8組機(jī)器人的逆解，這就需要通過(guò)機(jī)器人的約束關(guān)系來(lái)選取逆解中最符合要求的一組作為機(jī)器人當(dāng)前位姿的解。

3 UR10機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型仿真

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)的數(shù)學(xué)關(guān)系是否正確，采用Robotics Toolbox工具箱對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，依據(jù)表1所提供的數(shù)據(jù)，對(duì)UR10型機(jī)器人進(jìn)行仿真如圖4所示，控制界面如圖5所示。

圖4 UR10機(jī)器人仿真

圖5 滑塊控制圖

3.2 機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，隨機(jī)選取2組關(guān)節(jié)變量值，對(duì)圖6中滑塊控制器中各關(guān)節(jié)角度賦予變量值，讀取控制器中機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿；將隨機(jī)選取的關(guān)節(jié)值同表1中UR10型機(jī)器人的D-H參數(shù)一同代入到機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，解出末端執(zhí)行器的位姿；最終將滑塊值與計(jì)算值對(duì)比。隨機(jī)選取2組關(guān)節(jié)變量值，如下：q1=[0.2059 -1.2294 -2.6050-0.6161 2.4627 0.3317]，q2=[1.8491 -1.3127 -1.4234-2.1205 1.1045 1.8834]。

表2 滑塊值與MATLAB計(jì)算值比較

上述方法得到的結(jié)果在表2中列出，可以看出理論值和計(jì)算值的誤差非常小，幾乎可以忽略不計(jì)，證明了推導(dǎo)得出的機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程以及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的。

根據(jù)2.3節(jié)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，編寫(xiě)程序，定義機(jī)器人末端位姿W=[px，py，pz，ax，ay，az]，將其代入程序即可求得機(jī)器人多組運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解Qi=[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6]。將兩末端位姿W1=[-158.321，181.853，157.927，-0.318，0.729，-0.607]與W2=[-109.925，-295.804，835.089，0.397，0.247，-0.884]代入程序，再根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)約束篩選出有效逆解，分別如表3，表4所示。

表3 位姿W1的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

表3 （續(xù)）

表4 位姿W2的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

每個(gè)位姿可以獲取8組解，由于機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)約束與各桿件運(yùn)動(dòng)時(shí)不存在干涉，因此求得的8組解均為機(jī)器人的逆解。通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比可知，表3中的Q1與上一節(jié)的q1相等，表4中的Q1與上一節(jié)的q2相等，驗(yàn)證了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的正確性。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)UR10智能協(xié)作機(jī)器人進(jìn)行相關(guān)結(jié)構(gòu)建模，求解出機(jī)器人的D-H模型參數(shù)，并對(duì)機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，求解出正運(yùn)動(dòng)學(xué)中各連桿坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的求解方法。并用MATLAB進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真與方程計(jì)算，通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比分析驗(yàn)證了其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆運(yùn)算的正確性。