黃慧娟，歐陽(yáng)凱，胡鵬浩，胡 毅

HUANG Hui-juan, OUYANG Kai, HU Peng-hao,HU Yi

（合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

3-PUU并聯(lián)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示，導(dǎo)軌座焊接在三根立柱上并固定于儀器底座之上，導(dǎo)軌上的三個(gè)滑塊共用一副精密導(dǎo)軌和光柵尺，光柵尺貼于導(dǎo)軌座的側(cè)面上，光柵讀數(shù)頭位于滑塊側(cè)面。三個(gè)滑塊分別由三個(gè)分別安裝在左右兩側(cè)的立柱上的步進(jìn)電機(jī)通過(guò)鋼帶進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。三個(gè)滑塊通過(guò)萬(wàn)向較鏈及三對(duì)連桿與動(dòng)平臺(tái)相連，在動(dòng)平臺(tái)上安裝有觸發(fā)測(cè)頭，他們共同構(gòu)成了測(cè)量平臺(tái)；其中，動(dòng)平臺(tái)與三個(gè)滑塊均相互平行且與工作臺(tái)呈45°夾角。測(cè)量時(shí)，步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)鋼帶帶動(dòng)三個(gè)滑塊在導(dǎo)軌上移動(dòng)，控制測(cè)頭平動(dòng)方向直到觸碰工件，同時(shí)光柵讀數(shù)頭讀取三個(gè)滑塊坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算得出測(cè)頭實(shí)時(shí)坐標(biāo)。在我們項(xiàng)目組設(shè)計(jì)的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的基礎(chǔ)上，本文研究了在其工作空間內(nèi)合理的軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制通常也是采用自動(dòng)領(lǐng)域的一些常規(guī)方法，如經(jīng)典的PID控制方法，PID控制對(duì)于系統(tǒng)存在較強(qiáng)的時(shí)變性和非線性以及耦合性的控制效果并不理想，這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的PID控制只是將并聯(lián)機(jī)構(gòu)分解作為單獨(dú)的支鏈控制，而并未考慮各支鏈之間的時(shí)變性和非線性的影響。并聯(lián)機(jī)構(gòu)是典型的非線性系統(tǒng)，之后隨著非線性理論的發(fā)展出現(xiàn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制和魯棒控制以及自適應(yīng)控制等?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)不需要精確的模型，只需要估計(jì)模型的參數(shù)變化范圍，且其控制的系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力，但實(shí)際應(yīng)用該控制方法時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生抖動(dòng)現(xiàn)象。魯棒的控制方法就是針對(duì)于系統(tǒng)模型存在的不確定性和非線性，設(shè)計(jì)的一種控制器來(lái)改善提高精度，現(xiàn)在經(jīng)常用的魯棒方法有魯棒自適應(yīng)控制和反饋的線性化魯棒控制已經(jīng)取得較為成熟的應(yīng)用[6]。但相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制策略還需要很長(zhǎng)一段時(shí)間。但對(duì)于如何改進(jìn)基本控制方法，獲得較好的控制效果等方面沒(méi)有進(jìn)行較為深入的研究。

考慮到測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制需求與傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)有所不同：1）由于測(cè)量機(jī)對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)要求降低，因此測(cè)量過(guò)程中運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)較慢；2）單純的并聯(lián)機(jī)構(gòu)及機(jī)器人講究運(yùn)動(dòng)重復(fù)性，對(duì)重復(fù)定位精度要求較高，而在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的精度要求并不高，只需要保證測(cè)頭能觸碰到待測(cè)工件，并在測(cè)頭被觸發(fā)的同時(shí)保證光柵尺開(kāi)始讀數(shù)即可。

基于這樣的要求，本文提出基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的控制策略，即假定3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各支鏈相互獨(dú)立，互不影響的，把對(duì)測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)控制轉(zhuǎn)化為對(duì)三個(gè)滑塊的獨(dú)立控制，只要通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置反解方程，利用測(cè)頭的位移變化計(jì)算出三個(gè)滑塊的位移變化，然后分別控制各個(gè)滑塊的運(yùn)動(dòng)就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)控制。3-PUU機(jī)構(gòu)速度低，慣性小，無(wú)負(fù)載，因此，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制可以取得很好的效果[1,5]。

傳統(tǒng)的插補(bǔ)法實(shí)際上是已知運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，不斷地將路線在x，y方向上直線細(xì)分。由于3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)區(qū)別于常規(guī)的數(shù)控機(jī)床在空間內(nèi)同樣的變化量均對(duì)應(yīng)重復(fù)的、機(jī)械的運(yùn)動(dòng)控制，大量的細(xì)分及計(jì)算并不適用于3-PUU坐標(biāo)測(cè)量機(jī)。因此本文選用速度控制法，即控制一段時(shí)間內(nèi)輸入給步進(jìn)電機(jī)的脈沖數(shù)，試圖能在每一段路線上對(duì)速度的積分趨近于理論位移。

基于上述的考慮和思路，我們首先進(jìn)行了該控制策略可行性的驗(yàn)證，同時(shí)提出了一種可用于實(shí)際控制中的軌跡規(guī)劃方法。為此我進(jìn)行了以下仿真及分析。

圖1 并聯(lián)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

圖2為3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖。圖3為動(dòng)平臺(tái)俯視圖。雖然每一對(duì)連桿都是等長(zhǎng)的，但三桿模型不能保證動(dòng)平臺(tái)的平動(dòng)；且為了保證測(cè)量機(jī)的工作精度，我們需要保持測(cè)量模型與計(jì)算模型的一致性，因此并沒(méi)有將六桿模型簡(jiǎn)化成三桿模型。

（x，y，z）為動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)O'在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)。x1，x2，x3分別為萬(wàn)向鉸的中心B1，B3，B5在固定坐標(biāo)系O-XYZ中X軸上的坐標(biāo)。

解得測(cè)量機(jī)的逆解公式如下：

式中，l1，l2，l3分別為三對(duì)連桿的桿長(zhǎng)，其中有l(wèi)1=l3；b-h為導(dǎo)軌底座和動(dòng)平臺(tái)上各鉸鏈之間相互的位置參數(shù)如圖2、圖3所示。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模與仿真

2.1 SolidWorks/ADAMS聯(lián)合建模

圖2 測(cè)量模型簡(jiǎn)圖

圖3 動(dòng)平臺(tái)俯視圖

ADAMS，即機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems），該軟件使用交互式圖形環(huán)境和零件庫(kù)、約束庫(kù)、力庫(kù)，創(chuàng)建完全參數(shù)化的機(jī)械系統(tǒng)幾何模型，其求解器采用多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論中的拉格朗日方程方法，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)虛擬機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，輸出位移、速度、加速度和反作用力曲線。ADAMS軟件的仿真可用于預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)的性能、運(yùn)動(dòng)范圍、碰撞檢測(cè)、峰值載荷以及計(jì)算有限元的輸入載荷等[2]。

本文先在SolidWorks里進(jìn)行建模，選取仿真需要的必要零件，完成各零部件之間的配合后再導(dǎo)入ADAMS中。圖4為導(dǎo)入ADAMS中的簡(jiǎn)易模型[8]。

圖4 ADAMS建模

該簡(jiǎn)易模型包含導(dǎo)軌座，兩根導(dǎo)軌，三個(gè)滑塊，六根連桿和動(dòng)平臺(tái)。通過(guò)驅(qū)動(dòng)三個(gè)滑塊在導(dǎo)軌上平移帶動(dòng)連桿，實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的三自由度移動(dòng)。

2.2 軌跡規(guī)劃的兩種驅(qū)動(dòng)函數(shù)

在ADAMS中，我們首先對(duì)動(dòng)平臺(tái)的期望軌跡進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，將驅(qū)動(dòng)設(shè)置在動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)處上，設(shè)置驅(qū)動(dòng)函數(shù)，動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)的位姿向量O'為[xO'，yO'，zO'，αO'，βO'，γO']，由于構(gòu)型的動(dòng)平臺(tái)為平動(dòng)，沒(méi)有后三個(gè)旋轉(zhuǎn)量。設(shè)計(jì)動(dòng)平臺(tái)20s在xoy平面中畫(huà)出一個(gè)半徑為100mm的圓，平面內(nèi)，該圓形軌跡公式為，將其表示為時(shí)間t的函數(shù)：

設(shè)置虛擬樣機(jī)的仿真時(shí)間為20s，仿真步數(shù)為20步。仿真后可以捕捉測(cè)頭的理論軌跡。

2.2.1 公式法

3-PUU逆解公式中的參數(shù)b，c，d，e，f，h，l1，l2，l3都是已知量，將式(2)分別代入運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解(1)，得出3個(gè)滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，接著將3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的位移數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成ADAMS所能識(shí)別的樣條曲線，生成對(duì)應(yīng)3個(gè)滑塊的位移驅(qū)動(dòng)函數(shù)：

Motion1：AKISPL(time,0,Disp_X1,0)

Motion2：AKISPL(time,0,Disp_X2,0)

Motion3：AKISPL(time,0,Disp_X3,0)

其中，Disp_X1，Disp_X2，Disp_X3分別為測(cè)量模型中B1，B3，B5在x軸方向上的位移曲線。

同樣設(shè)置虛擬樣機(jī)的仿真時(shí)間為20s，仿真步數(shù)為20步。理想軌跡對(duì)比第二次仿真后捕捉到測(cè)頭的軌跡，如圖5所示（粗線為新的仿真軌跡）[4,7,8]。

圖5 公式法仿真曲線

2.2.2 勻速分步法

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，使用三個(gè)步進(jìn)電機(jī)分別驅(qū)動(dòng)三個(gè)滑塊沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，可知步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)子半徑r（mm），細(xì)分倍數(shù)n（步/轉(zhuǎn)），再手動(dòng)設(shè)定脈沖頻率f（Hz）可得步進(jìn)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)速度v=2πrf/n（mm/s）。因此需要捕捉仿真時(shí)的滑塊速度曲線，由于部分步進(jìn)電機(jī)脈沖頻率無(wú)法函數(shù)表示，故實(shí)際操作時(shí)，對(duì)運(yùn)動(dòng)分步進(jìn)行單步控制，控制每一步為勻速運(yùn)動(dòng)。

在理論仿真中，我們將畫(huà)圓的完整運(yùn)動(dòng)劃分為20步，平均速度取每一段速度中點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)時(shí)可以劃分為更多步，延長(zhǎng)每一步運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得出的實(shí)際軌跡會(huì)更接近理論值。

經(jīng)過(guò)處理，將理論軌跡仿真時(shí)3滑塊的速度曲線轉(zhuǎn)變?yōu)殡A躍形式。分別如圖6～圖8所示。

圖6 滑塊一速度階躍函數(shù)

圖7 滑塊二速度階躍函數(shù)

圖8 滑塊三速度階躍函數(shù)

我們以階躍形式的速度為輸入作為3滑塊的驅(qū)動(dòng)，重新獲得仿真軌跡，如圖9（粗線為新的仿真軌跡）所示。

3 仿真結(jié)果驗(yàn)證和對(duì)比分析

為了驗(yàn)證仿真軌跡的精度，需將三次仿真軌跡進(jìn)行對(duì)比。將三次捕捉到的測(cè)頭軌跡在ADAMS PostProcessor Plotting中繪制出X，Y，Z三個(gè)方向上的位移曲線，再將數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)出，整理如表1，表2。表1為理論值與公式法的仿真值1的比對(duì)。表2為理論值與勻速分步的仿真值2的比對(duì)。

圖9 勻速分步法仿真曲線

由數(shù)據(jù)計(jì)算可知，表1中的誤差：x=-9.5mm，3.606mm≤y≤25.863mm，-4.668mm≤z≤0.364mm；表2中的誤差：0mm≤x≤2.395mm，-0.16mm≤y≤2.723mm，-3.97mm≤z≤0mm。

在MATLAB中畫(huà)出三條軌跡，理論軌跡與通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解推導(dǎo)出的函數(shù)驅(qū)動(dòng)的軌跡、與將速度曲線處理成階躍函數(shù)驅(qū)動(dòng)的軌跡的對(duì)比圖分別如圖10、圖11所示。其中“○”為理想軌跡，“*”為仿真軌跡。

圖10 公式法仿真與理論軌跡對(duì)比圖

表1 公式法理論值與仿真值

表2 勻速分步法理論值與仿真值

圖11 分步法仿真與理論軌跡對(duì)比圖

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的驗(yàn)證和對(duì)比，可以得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求得的滑塊驅(qū)動(dòng)函數(shù)的仿真，初步驗(yàn)證了3-PUU并聯(lián)測(cè)量機(jī)逆解公式的正確性。同時(shí)，能看出仿真軌跡和理論軌跡依舊存在不小的偏差，原因主要是由于3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)難以準(zhǔn)確測(cè)量造成的。

2）本文提出了一種可以用于實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)的軌跡規(guī)劃方式。考慮到大多數(shù)步進(jìn)電機(jī)不能提供連續(xù)速度函數(shù)，且數(shù)控機(jī)床中常用的插補(bǔ)發(fā)并不很適用于3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為了在實(shí)驗(yàn)中可靠地控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡，我們對(duì)理論上的仿真速度軌跡進(jìn)行劃分，每一段選取中點(diǎn)值逆合成分段勻速函數(shù)。為了更好地提高精度，今后在實(shí)際運(yùn)用中可以細(xì)分更多步數(shù)，延長(zhǎng)每步時(shí)長(zhǎng)，更合理地選取每段速度值，這樣分步勻速驅(qū)動(dòng)得出的軌跡會(huì)更接近理論軌跡。

3）通過(guò)以上兩種方法，我們只需要在3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)設(shè)計(jì)合理的軌跡表達(dá)式，就可以實(shí)現(xiàn)測(cè)頭在測(cè)量空間內(nèi)x，y，z方向上的任意直線和曲線的平動(dòng)。