田慕晨

摘要：濾波器特性決定了輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的關(guān)系，因此研究濾波器的特性十分必要，尤其是其幅頻響應(yīng)。而零點(diǎn)與極點(diǎn)作為波濾器的重要參量，其數(shù)量、形態(tài)、存在位置與相對(duì)位置對(duì)濾波器特性有著至關(guān)重要的影響。本文將通過(guò)matlab仿真，構(gòu)造簡(jiǎn)單濾波器，并增刪移動(dòng)零點(diǎn)和極點(diǎn)，以探究其對(duì)濾波器特性的影響。

關(guān)鍵詞：濾波器;幅頻特性;零點(diǎn);極點(diǎn)

一、實(shí)驗(yàn)過(guò)程

1.設(shè)置fdatool編輯參數(shù)

1.1Gain：增益，設(shè)置為1。

1.2Coordinates：可選極坐標(biāo)系或直角坐標(biāo)系。

1.3Conjngate：勾選則所畫(huà)零極點(diǎn)成對(duì)。

2.設(shè)置fdatool顯示參數(shù)

1.1脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)

右鍵單擊橫軸名稱可選橫軸為時(shí)間或采樣點(diǎn)數(shù)，右鍵單擊橫軸可設(shè)置觀測(cè)長(zhǎng)度，若缺省則為50個(gè)采樣點(diǎn)。

1.2頻率響應(yīng)

左鍵單擊橫軸名稱可選橫軸為模擬頻率或數(shù)字頻率。右鍵單擊橫軸可設(shè)置縱軸顯示方式（線性增益或?qū)?shù)增益，弧度或角度），和觀測(cè)范圍，本實(shí)驗(yàn)選擇[0，2π）。

二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

1.當(dāng)設(shè)置所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)。單位脈沖響應(yīng)（h[n]）趨于0，階躍響應(yīng)（s[n]）趨于常數(shù)，即系統(tǒng)穩(wěn)定，與零點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。當(dāng)任意極點(diǎn)在單位圓外，h[n]和s[n]都發(fā)散。

2.當(dāng)系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，且極點(diǎn)成對(duì)，極點(diǎn)在單位圓上。h[n]和s[n]均有規(guī)律徘徊在固定幅值上下，既不收斂也不發(fā)散。但若一對(duì)極點(diǎn)重合于（-1，0）或（1，0），則h[n]和s[n]均線性增長(zhǎng)。

3.當(dāng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，極點(diǎn)離單位圓越近，振蕩幅度越大，趨于穩(wěn)定時(shí)間越長(zhǎng)。

4.零點(diǎn)可抵消極點(diǎn)作用，零點(diǎn)離極點(diǎn)越近，抵消作用越明顯，即h[n]振蕩幅度越小，但趨于零所需采樣點(diǎn)數(shù)不變。零極點(diǎn)重合，幅度響應(yīng)為1，輸出等于輸入。

5.當(dāng)極點(diǎn)均位于左半平面，脈沖響應(yīng)大致正負(fù)交替，但不嚴(yán)格。當(dāng)極點(diǎn)全部為于負(fù)實(shí)軸上，脈沖響應(yīng)將嚴(yán)格逐點(diǎn)正負(fù)交替。當(dāng)極點(diǎn)全位于正實(shí)軸，脈沖響應(yīng)趨于零前每個(gè)采樣點(diǎn)值均大于零。

6.當(dāng)極點(diǎn)成對(duì)時(shí)，h[n]和s[n]為純實(shí)數(shù);當(dāng)極點(diǎn)不成對(duì)且為復(fù)數(shù)時(shí)，h[n]和s[n]為復(fù)數(shù)，fdatool顯示中以“·”表示響應(yīng)的實(shí)部，以“*”表示響應(yīng)的虛部。

7.當(dāng)極點(diǎn)成對(duì)，且幅度響應(yīng)關(guān)于對(duì)稱。若極點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則動(dòng)點(diǎn)繞單位圓一周，動(dòng)點(diǎn)與極點(diǎn)距離總關(guān)于對(duì)稱。

8.當(dāng)系統(tǒng)為二階穩(wěn)定系統(tǒng)，且極點(diǎn)成對(duì)時(shí)，將極點(diǎn)從右移到右，則通帶從高頻移動(dòng)到低頻，且極點(diǎn)離單位圓越近，選擇性越好。用幅度響應(yīng)計(jì)算公式可證。

9.當(dāng)編輯的極點(diǎn)個(gè)數(shù)大于零點(diǎn)，fdatool自動(dòng)在原點(diǎn)處補(bǔ)齊相差的零點(diǎn)。而當(dāng)編輯的零點(diǎn)個(gè)數(shù)大于極點(diǎn)，也自動(dòng)補(bǔ)齊相差極點(diǎn)，不同的是，零點(diǎn)個(gè)數(shù)大于極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，必須補(bǔ)齊零點(diǎn)是必須的操作，而極點(diǎn)個(gè)數(shù)大于零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)仍為因果系統(tǒng)。

在原點(diǎn)補(bǔ)零點(diǎn)或極點(diǎn)，相當(dāng)于在H（z）上乘以，幅度相應(yīng)取H（z）的模， 的模為1，因此幅度相應(yīng)不變，h[n]和s[n]發(fā)生時(shí)移。

10.教材中h[n]前三個(gè)采樣點(diǎn)值均為0.01，此規(guī)律說(shuō)明此二階系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)，差分方程為：

而在fdatool中，由于fdatool在只輸入極點(diǎn)時(shí)自動(dòng)補(bǔ)齊零點(diǎn)，所以有兩個(gè)極點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，差分方程為：

結(jié)果中僅第一個(gè)采樣點(diǎn)有規(guī)律，第一個(gè)采樣點(diǎn)的值均為1。

三、結(jié)論

因果系統(tǒng)中，當(dāng)全部極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。極點(diǎn)與零點(diǎn)都影響濾波器的特性。兩者中，極點(diǎn)對(duì)濾波器特性的影響較大，零點(diǎn)的作用主要是調(diào)整由極點(diǎn)所引起的濾波器特性，調(diào)整的大小取決于它與極點(diǎn)的相對(duì)位置。

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