田鴿 岳德權(quán)

摘 要：為了應(yīng)對網(wǎng)購環(huán)境下電商企業(yè)庫存問題的挑戰(zhàn)，在提高服務(wù)水平的基礎(chǔ)上，考慮可退貨和到達率受庫存水平影響條件下的排隊庫存系統(tǒng)。利用擬生滅過程理論給出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡條件。利用矩陣幾何解法獲得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率的矩陣幾何解，進而得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和效益函數(shù)，通過數(shù)值算例研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對性能指標(biāo)以及效益函數(shù)的影響，并數(shù)值求解系統(tǒng)的最優(yōu)庫存控制策略。

關(guān)鍵詞：排隊庫存系統(tǒng)；退貨；非齊次泊松到達過程；庫存策略；矩陣幾何解

中圖分類號：TB 文獻標(biāo)識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.105

1 引言

互聯(lián)網(wǎng)和電子商務(wù)的快速發(fā)展，為網(wǎng)購平臺的發(fā)展擴大帶來重要契機。大數(shù)據(jù)技術(shù)的不斷進步，為用戶提供越來越智能、方便、快捷的購物體驗。新時代的消費者對網(wǎng)購模式越來越認(rèn)可，據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心發(fā)布的統(tǒng)計報告，截至2018年12月，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模達到6.10億，年增長率為14.4%。根據(jù)商務(wù)部發(fā)布的統(tǒng)計報告，2018年全國網(wǎng)上零售額突破9萬億元。

網(wǎng)絡(luò)購物中產(chǎn)品的多樣化和購買信息的公開化使顧客有更多的選擇，為了增加競爭力，電商企業(yè)在庫存管理時既要控制成本，還要考慮到服務(wù)水平。排隊庫存系統(tǒng)是排隊系統(tǒng)與庫存系統(tǒng)的集成系統(tǒng)，既考慮顧客服務(wù)水平對庫存控制的影響又考慮庫存管理對顧客排隊服務(wù)的作用。排隊庫存系統(tǒng)研究始于Sigman和Simich-Levi，他們研究了M/G/1排隊庫存系統(tǒng)模型， 提出了計算系統(tǒng)性能指標(biāo)的輕話務(wù)近似計算方法。此后，陸續(xù)發(fā)表了許多排隊庫存系統(tǒng)的研究工作，詳見綜述文獻[4]。近期有關(guān)排隊庫存系統(tǒng)模型的研究也有很多工作，文獻[5]研究了具有一般補貨時間的M/M/1排隊庫存系統(tǒng)模型，文獻[6]考慮了服務(wù)完的顧客按照一定的比例獲得庫存產(chǎn)品的M/M/1排隊庫存系統(tǒng)模型，文獻[7]研究了售后服務(wù)中心維修能力和維修部件庫存的管理問題。

由于網(wǎng)購的特征和電商平臺關(guān)于退貨的規(guī)定，電商企業(yè)的退貨大幅增加，其庫存控制成為一大難題。在考慮退貨的庫存控制的研究中，樊雙蛟和王旭坪構(gòu)建了退貨再次銷售的單周期庫存模型，以銷售利潤最大化為目標(biāo)，對商品定價和訂貨量進行聯(lián)合決策。Qin和Yue研究了考慮服務(wù)時間和產(chǎn)品退回的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，得到了隊列長度和現(xiàn)有庫存乘積形式的穩(wěn)態(tài)分布，通過數(shù)值分析研究了系統(tǒng)參數(shù)對性能指標(biāo)和費用函數(shù)的影響。

關(guān)于排隊庫存系統(tǒng)的文獻中，多是假設(shè)顧客需求的到達服從指數(shù)分布，但是現(xiàn)實生活中，顧客需求的到達會受到庫存水平的影響。在經(jīng)典的庫存系統(tǒng)中，需求和庫存相依的研究受到很多學(xué)者的關(guān)注。Baker和Urban設(shè)需求率是庫存水平的多項式函數(shù)，采用非線性規(guī)劃算法確定了最優(yōu)訂貨點和訂貨量。劉明等研究了需求率同時依賴于庫存和價格的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，運用最大值原理并根據(jù)模型參數(shù)的不同取值，獲得了三種可能的解，并對其進行了詳細(xì)分析。

本文以降低庫存費用，提高電商企業(yè)效益和服務(wù)水平為目的，研究網(wǎng)購環(huán)境下考慮退貨因素和不同到達率的排隊庫存系統(tǒng)。假設(shè)需求到達是非齊次的泊松過程，考慮產(chǎn)品的退回和維修對庫存管理的影響，建立連續(xù)時間的馬爾可夫過程，利用矩陣幾何解的方法，得到系統(tǒng)的性能指標(biāo)和效益函數(shù)，利用Matlab進行數(shù)值實驗分析系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，得到最優(yōu)庫存控制策略。

2 模型描述

模型的基本假設(shè)如下：

（1）顧客需求到達網(wǎng)店頁面的到達過程是非齊次的泊松過程，參數(shù)為λi，i是現(xiàn)有庫存水平1

，假設(shè)顧客瀏覽網(wǎng)店頁面決定是否下單的時間忽略不計，顧客下單購買的概率為p（0

（2）每個訂單的服務(wù)時間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，每個服務(wù)需要消耗一個單位庫存，系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，采用先到先服務(wù)的服務(wù)規(guī)則。

（3）系統(tǒng)采用（s，S）策略補貨，即當(dāng)系統(tǒng)的庫存水平下降到s時，系統(tǒng)立即發(fā)出補貨信號，經(jīng)過一個隨機的補貨前置時間，庫存水平恢復(fù)至S（s

（4）顧客退貨時間間隔服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布，顧客退貨的商品經(jīng)檢驗不影響二次銷售的概率為a（0

（5）庫存為0時，顧客不進入系統(tǒng)，已進入系統(tǒng)等待的顧客不流失。

3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析

3.1 穩(wěn)態(tài)條件

定義系統(tǒng)狀態(tài)過程X（t）：t≥0=N（t），I（t）：t≥0，N（t）表示t時刻系統(tǒng)中的顧客隊長，I（t）是系統(tǒng)在t時刻的庫存水平。因此，系統(tǒng)的狀態(tài)空間Ω=（n，i）：

過程N（t），I（t）：t≥0正常返當(dāng)且僅當(dāng)φCe<φBe，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)條件是∑Si=1λiφi<μ（1-φ0）。

3.2 穩(wěn)態(tài)分布

定義穩(wěn)態(tài)概率向量πn，i=limt→

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量具有如下矩陣幾何解的形式

其中π0滿足方程組 π0（A0+RB）=0π0（I-R）-1e=1，R是矩陣二次方程R2B+RA+C=0的最小非負(fù)解。

利用循環(huán)簡約算法，得到方程R2B+RA+C=0的最小非負(fù)解R，進而得到具體的穩(wěn)態(tài)概率向量。

3.3 系統(tǒng)性能指標(biāo)

利用3.2節(jié)給出的穩(wěn)態(tài)概率，可求得如下一些重要的系統(tǒng)性能指標(biāo)。

3.4 效益函數(shù)

令C1表示單位時間單位產(chǎn)品的收益，C2表示單位產(chǎn)品在單位時間內(nèi)的庫存費用，C3表示顧客等待引起的損失費用，C4表示單位時間內(nèi)的需求損失，C5表示一次補貨的固定費用，C6表示單位產(chǎn)品的補貨成本，C7表示檢驗單位退貨產(chǎn)品所需的費用，C8表示單位不合格產(chǎn)品打折銷售損失的費用。根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)，得到系統(tǒng)單位時間內(nèi)的效益函數(shù)：

F（s，S）=C1Eor-（C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc）

效益函數(shù)F（s，S）是關(guān)于決策變量s，S的復(fù)雜的非線性函數(shù)，決策變量s，S的取值受到庫存空間和產(chǎn)品進銷策略及成本的限制，假定庫存容量有上限0

4 數(shù)值分析

本章給出數(shù)值例子，分析研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能指標(biāo)以及效益函數(shù)F（s，S）的影響，得到最優(yōu)庫存控制策略。特別地，假設(shè)顧客需求到達網(wǎng)店頁面的平均速率與庫存水平的函數(shù)關(guān)系式為λi=λiβ，0<β<1，其中λ為規(guī)模參數(shù)，β為形狀參數(shù)。

設(shè)庫存成本參數(shù)C1=350，C2=20，C3=5，C4=12，C5=300，C6=200，C7=16，C8=40。

圖1反應(yīng)非齊次泊松到達規(guī)模參數(shù)λ，瀏覽轉(zhuǎn)化率p對平均顧客需求損失率和效益函數(shù)的影響，其他參數(shù)設(shè)置為：μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38，s=8，S=20。

如圖1所示，當(dāng)p取某一定值時，平均顧客需求損失率隨著λ的增大而增大。當(dāng)λ取某一定值時，平均顧客需求損失率隨著p的增大而減小。當(dāng)p取某一定值時，效益函數(shù)隨著λ的增大而增大。當(dāng)λ取某一定值時，效益函數(shù)隨著p的增大而增大。盡管到達率的增加會使平均顧客需求損失率增大，但是效益函數(shù)的變化趨勢是上升的，可以通過加大宣傳等措施吸引顧客到達，提高效益，另外通過增大瀏覽轉(zhuǎn)化率p，降低平均顧客需求損失率，從而獲得更多的效益。

如表1所示，當(dāng)最大庫存限制M為某一定值時，在最優(yōu)庫存控制的情況下，隨著到達參數(shù)λ和λ′的增大，非齊次泊松到達和相對應(yīng)的齊次泊松到達系統(tǒng)的效益函數(shù)均增大，當(dāng)?shù)竭_參數(shù)λ和λ′為定值時，庫存量增大，非齊次泊松到達和相對應(yīng)的齊次泊松到達系統(tǒng)的效益函數(shù)增大，電商企業(yè)可以在合理范圍內(nèi)增大庫存量，并且采取措施提高顧客到達率，改進企業(yè)的經(jīng)營。

當(dāng)λ，λ′和M為某一定值時，非齊次泊松到達系統(tǒng)的效益函數(shù)較大一些，電商企業(yè)可以通過向顧客展示庫存信息刺激顧客購買需求，獲得較大的利潤。相對于齊次泊松到達系統(tǒng)，非齊次泊松到達系統(tǒng)需要設(shè)置更高的安全庫存，以應(yīng)對變化的顧客需求。

表2反應(yīng)退貨比率對與庫存相關(guān)的性能指標(biāo)、系統(tǒng)費用函數(shù)、效益函數(shù)和最優(yōu)庫存控制策略的影響，設(shè)C（s，S）=C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc表示系統(tǒng)費用函數(shù)，退貨比率是系統(tǒng)退貨參數(shù)γ與顧客到達參數(shù)pλ-之比，用ρ=γpλ-表示，其他參數(shù)設(shè)置為：

λ=7.5，p=0.3，μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38

如表2所示，隨著退貨比率ρ的增大，平均庫存水平、 平均退貨率、效益函數(shù)增大，平均補貨率、平均補貨量減小，不合格產(chǎn)品平均修理率略有減小，系統(tǒng)費用函數(shù)減小，最優(yōu)庫存策略減小。當(dāng)退貨比率增大時，在滿足顧客需求的前提下，補貨應(yīng)適當(dāng)減少。

5 結(jié)論

本文研究了網(wǎng)購環(huán)境下可退貨和到達率受庫存水平影響條件下的排隊庫存系統(tǒng)。建立連續(xù)時間的馬爾可夫過程，給出了系統(tǒng)性能指標(biāo)和效益函數(shù)，通過數(shù)值分析得出了系統(tǒng)參數(shù)對性能指標(biāo)和效益函數(shù)的影響，對電商企業(yè)的管理經(jīng)營具有指導(dǎo)借鑒意義。

參考文獻

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