馬一江， 李園園， 陳國平， 趙穎杰

(1. 江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 鎮(zhèn)江 212003; 2. 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院， 南京 210016； 3. 濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 濟(jì)南 250022)

在工程實(shí)際中，像航空航天工業(yè)、船舶工業(yè)以及建筑橋梁等，梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用變得越來越廣泛，包括等截面梁、變截面梁等。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，變截面梁的設(shè)計(jì)與加工工藝更加成熟，為變截面梁的廣泛應(yīng)用提供了可能。與等截面梁相比，變截面梁具有更好地承力性能和振動(dòng)特性。在梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析中，等截面梁的自由振動(dòng)問題較為簡(jiǎn)單，而變截面梁的控制方程為四階變系數(shù)偏微分方程，通常情況下很難得到解析解[1-3]。

關(guān)于變截面梁模態(tài)分析的早期研究中，通常將整個(gè)變截面梁分段離散成多段變截面梁，并將每段變截面梁等效簡(jiǎn)化為等截面梁。階梯梁是變截面梁中最簡(jiǎn)單的一種，也是最早應(yīng)用離散方法進(jìn)行模態(tài)分析的變截面梁[4-6]。對(duì)于普通的變截面梁結(jié)構(gòu)，為了提高計(jì)算精度，通常將變截面梁離散的非常多，使得模態(tài)分析的計(jì)算量成倍增加。在每段變截面梁簡(jiǎn)化為等截面的過程中，學(xué)者們提出了很多等效方法來提高計(jì)算精度[7-8]。同時(shí)學(xué)者們也提出了許多其他方法來研究變截面梁的模態(tài)變化。 Gupta[9]采用有限元方法求解變截面梁結(jié)構(gòu)的各階固有頻率。Alshorbagy等[10]通過數(shù)值有限元方法研究了功能梯度變截面梁的動(dòng)力學(xué)特性。Huang等[11]將軸向梯度非均勻梁的振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，提出了一種研究軸向梯度非均勻梁自由振動(dòng)的分析方法。Ahmad等[12]基于微分變換法提出了一種微分變換單元法來研究錐形變截面梁的自由振動(dòng)和穩(wěn)定性。Mehmet等[13]通過理論方法研究了截面寬度沿指數(shù)變化的矩形變截面梁的振動(dòng)特性。Laura等[14]采用近似數(shù)值方法研究寬度不變-厚度雙線性變化的變截面梁固有頻率和固有模態(tài)的變化。Caruntu[15]研究了寬度不變-厚度拋物線變化變截面梁的非線性振動(dòng)問題。上述文獻(xiàn)研究了不同形式變截面梁的模態(tài)變化，為變截面梁的工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)，但是忽略了結(jié)構(gòu)損傷對(duì)變截面梁的影響。

由于加工和裝配等原因，服役中的梁結(jié)構(gòu)多多少少會(huì)存在初始結(jié)構(gòu)損傷。梁結(jié)構(gòu)上的結(jié)構(gòu)損傷通常以裂紋的形式出現(xiàn)，裂紋的存在會(huì)嚴(yán)重影響梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并且顯著降低梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞壽命。因此，對(duì)含裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析具有非常高的工程應(yīng)用價(jià)值。Ostachowicz等[16-17]將橫向裂紋等效為梁結(jié)構(gòu)的斷點(diǎn)，研究含多條橫向裂紋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)，并通過模態(tài)的變化探測(cè)結(jié)構(gòu)損傷的位置和尺寸。Shifrin等[18]提出一種傳遞矩陣方法來求解含多條裂紋等截面梁的固有頻率，這種傳遞矩陣方法使得含裂紋梁結(jié)構(gòu)傳遞矩陣的階數(shù)始終為4，顯著降低了含多條裂紋梁模態(tài)分析的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。但是這些研究僅限于等截面梁結(jié)構(gòu)，并沒有考慮梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)的影響。隨著變截面梁的廣泛應(yīng)用，含裂紋變截面梁的模態(tài)分析成為工程中亟待解決的問題。

本文提出一種計(jì)算含多條橫向裂紋變截面矩形梁固有頻率的新方法。針對(duì)高度不變-厚度指數(shù)變化的一類變截面梁，將每個(gè)橫向裂紋看作是變截面梁的斷點(diǎn)，則整段變截面梁離散為多段變截面梁?；趥鬟f矩陣法和Euler-Bernoulli梁理論，推導(dǎo)出每段變截面梁的傳遞矩陣；根據(jù)裂紋左右兩面的連續(xù)性條件，推導(dǎo)出每條裂紋的傳遞矩陣；從而得到含多條橫向裂紋變截面梁的傳遞矩陣。結(jié)合簡(jiǎn)支梁的邊界條件，求解含多條裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的固有頻率。

1 模型建立

如圖1所示，本文的研究對(duì)象是一個(gè)含n條橫向裂紋的矩形變截面梁結(jié)構(gòu)，梁的長度為L，每個(gè)橫截面(沿著x軸方向)的厚度和高度分別為b(x)、h(x)。每條橫向裂紋的位置分別為X1,X2,…,Xn，每條橫向裂紋的深度為a1,a2,…,an。

圖1 含多條裂紋變截面梁的模型

根據(jù)Dimaronas等[19]提出的裂紋局部柔度模型，每條橫向裂紋在變截面梁上引起的局部柔度變化可以表示為

(1)

式中：裂紋的編號(hào)i=1,2,…,n；αi為第i條橫向裂紋引起的變截面梁局部柔度；h(x)為第i條橫向裂紋所在的變截面梁橫截面高度；I(x)為第i條橫向裂紋所在的變截面梁橫截面慣性矩；ri=ai/h(x)為第i條橫向裂紋的相對(duì)深度；f(ri)為第i條橫向裂紋的無量綱局部柔度函數(shù)，可以通過應(yīng)變能密度函數(shù)來求解

(2)

式中：ri≤0.6。

將每段橫向裂紋看作是整個(gè)變截面梁的斷點(diǎn)，則整段變截面梁被n條橫向裂紋分為n+1段完整的變截面梁，并且每段變截面梁的長度為Li(i=1,2,…,n+1)。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，每段變截面梁的振動(dòng)微分方程可以表示為

(3)

式中：E為變截面梁結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；A(x)和I(x)為每段變截面梁橫截面的面積和慣性矩；ρ為變截面梁結(jié)構(gòu)材料的密度。

根據(jù)Mehmet等給出的無量綱方法，在圖2所示的坐標(biāo)系中，定義如下的無量綱化變量

(4)

(5)

根據(jù)模態(tài)分析方法，式(5)為四階變系數(shù)線性齊次微分方程，可以通過分離變量法求解。假設(shè)每段完整變截面梁具有如下的橫向振動(dòng)形式

圖2 每段變截面梁的模型

wi(xi,t)=Ui(xi)qi(t)

(6)

將式(6)代入式(5)，可以推導(dǎo)出以下方程組

(7)

(8)

式中：ω為無量綱固有頻率，且ω2=Ω2ρL4/EI1,0;Ω為固有頻率。

經(jīng)過推導(dǎo)，式(8)的解為

qi(t)=Ci1cos(ωt)+Ci2sin(ωt)

(9)

在變截面梁振型函數(shù)的求解過程中，需要變截面梁的變截面參數(shù)。以高度不變-厚度按指數(shù)形式變化的矩形變截面梁為例，即h(x)=h。根據(jù)圖2所示的坐標(biāo)系，假設(shè)該變截面梁每段變截面梁橫截面的面積為Ai(xi)=eδxi+κi、慣性矩為Ii(xi)=eδxi+κi。其中，δ為矩形變截面梁的變截面參數(shù)；κi為該矩形變截面梁的厚度參數(shù)，且κi=δ(L1+L2++Li-1)/L。

對(duì)于橫截面高度不變-厚度按指數(shù)變化的一類變截面梁結(jié)構(gòu)，式(7)可以簡(jiǎn)化為

(10)

則式(10)的解可以表示為

(11)

2 傳遞矩陣推導(dǎo)

根據(jù)材料力學(xué)的理論，梁結(jié)構(gòu)橫截面連續(xù)性參數(shù)如下：撓度U、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M以及剪力Q，每個(gè)連續(xù)參數(shù)的求解公式為

(12)

在每段變截面梁的左端橫截面，4個(gè)連續(xù)性參數(shù)可以表示為

Ui(0)=Bi1+Bi3

將以上方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式為

(13)

式中：

在每段變截面梁的右端橫截面，4個(gè)連續(xù)性參數(shù)可以表示為

將以上方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式

(14)

將式(13)代入式(14)，可以得到每段變截面梁結(jié)構(gòu)左右端橫截面連續(xù)性參數(shù)的關(guān)系式

(15)

在每個(gè)橫向裂紋位置，根據(jù)裂紋左右表面的連續(xù)性條件，可以得到裂紋左右表面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩以及剪力的關(guān)系式

(16)

對(duì)于含有n條橫向裂紋的矩形變截面梁結(jié)構(gòu)，左右兩端撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的關(guān)系式如下

(17)

根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，簡(jiǎn)支梁左右兩端橫截面的撓度和彎矩為零

(18)

detHSS=0

(19)

式(19)可以求解含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率，且每階固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型可以通過式(11)推導(dǎo)出來。

3 結(jié)果與討論

如圖1所示，假設(shè)該含多條橫向裂紋矩形變截面簡(jiǎn)支梁的幾何尺寸為：L=1 m，h=0.06 m，b(x)=0.06eδxm。該變截面梁結(jié)構(gòu)材料為低碳合金鋼AISI 1050，且材料力學(xué)參數(shù)為：E=210 GPa，ρ=7 860 kg/m3。

定義ωi為梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)δ對(duì)應(yīng)的變截面梁第i階固有頻率；當(dāng)梁結(jié)構(gòu)的變截面參數(shù)δ=0時(shí)，定義ωi0為變截面梁的第i階固有頻率；定義變截面梁固有頻率比Γi=ωi/ωi0。假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁不含有橫向裂紋，隨著變截面參數(shù)的變化該變截面簡(jiǎn)支梁各階固有頻率比的變化規(guī)律，如圖3所示。

由圖3可知，變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率比受變截面參數(shù)δ的影響非常大，并且圖3與參考文獻(xiàn)[13]幾乎一樣，因此本文提出的傳遞矩陣方法是正確的。隨著梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)|δ|的逐漸增大，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率比逐漸減小，并且減小的速度逐漸增大。當(dāng)變截面參數(shù)δ=0時(shí)，變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率最大。隨著梁結(jié)構(gòu)變截面參數(shù)|δ|的逐漸增大，其他四階固有頻率比均逐漸增大，并且增大的速度也逐漸增大。當(dāng)變截面參數(shù)δ=0時(shí)，變截面簡(jiǎn)支梁其他四階固有頻率均最小。

圖3 變截面參數(shù)不同時(shí)各階固有頻率比的變化規(guī)律

Fig.3 Each order natural frequency variation of the variable cross-section beam with different variable parameter

假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁上僅含有一條橫向裂紋，且變截面參數(shù)δ=-1；裂紋的相對(duì)位置為L1/L∈[0.11,0.89]，裂紋的相對(duì)深度為a1/h∈[0,0.6]。隨著橫向裂紋相對(duì)位置和相對(duì)深度的變化，該含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 裂紋位置和深度不同時(shí)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的變化規(guī)律

Fig.4 First order natural frequency variation of the variable cross-section beam with different depths and positions of the cracks

從圖4可知，裂紋相對(duì)位置和相對(duì)深度對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的影響非常大。隨著裂紋相對(duì)深度的逐漸增大，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率逐漸減小，并且減小的速度逐漸增大。當(dāng)橫向裂紋處于變截面簡(jiǎn)支梁左右兩端截面時(shí)，裂紋對(duì)第一階固有頻率的影響可以忽略不計(jì)；隨著橫向裂紋逐漸靠近簡(jiǎn)支梁的中間橫截面，變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率也逐漸減小。

假設(shè)該變截面簡(jiǎn)支梁含有以下4種裂紋情況：

(1) 該變截面簡(jiǎn)支梁不含有橫向裂紋。

(2) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有一條橫向裂紋，并且該橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1。

(3) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有兩條橫向裂紋，并且橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1；X2=0.3 m，a2/h=0.1。

(4) 該變截面簡(jiǎn)支梁含有三條橫向裂紋，并且橫向裂紋的幾何尺寸如下：X1=0.11 m，a1/h=0.1；X2=0.3 m，a2/h=0.1；X3=0.5 m，a3/h=0.1。

若該變截面簡(jiǎn)支梁的變截面參數(shù)δ=0.5，則不同的裂紋情況對(duì)應(yīng)的含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁前五階固有頻率，如表1所示。

表1 裂紋條數(shù)不同時(shí)變截面簡(jiǎn)支梁的前五階固有頻率

Tab.1 First five orders natural frequencies of the variable cross-section beam with different number of cracks

rad/s

從表1可知，結(jié)構(gòu)裂紋的存在對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁前五階固有頻率的影響都很大，因此結(jié)構(gòu)裂紋對(duì)變截面梁結(jié)構(gòu)的破壞是不能忽略的。隨著裂紋條數(shù)的逐漸增多，變截面簡(jiǎn)支梁的每一階固有頻率均逐漸減小。

如果僅考慮變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率變化，假設(shè)變截面簡(jiǎn)支梁存在以下三種裂紋情況：

若該變截面簡(jiǎn)支梁的變截面參數(shù)δ=0.5，則不同的裂紋情況對(duì)應(yīng)的含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率，如表2所示。

表2 不同裂紋情況變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率

Tab.2 First order natural frequency of the variable cross-section beam with different cracks

rad/s

從表2可知，第一條橫向裂紋的相對(duì)深度對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁第一階固有頻率的影響很大。隨著第一條橫向裂紋的相對(duì)深度逐漸增大，含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率逐漸減?。浑S著橫向裂紋條數(shù)的逐漸增多，含裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率也逐漸減小。

4 結(jié) 論

(1) 提出了一種求解含多條裂紋變截面簡(jiǎn)支梁固有頻率的理論方法。根據(jù)橫向裂紋條數(shù)，將變截面梁結(jié)構(gòu)離散成多段完整的變截面梁。

(2) 基于傳遞矩陣方法，分別推導(dǎo)出每段完整變截面梁和每段橫向裂紋左右表面的傳遞矩陣，得到含裂紋條數(shù)、裂紋幾何參數(shù)以及變截面參數(shù)的整段變截面梁的傳遞矩陣；根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，推導(dǎo)出變截面簡(jiǎn)支梁的特征傳遞矩陣，并計(jì)算出含多條橫向裂紋變截面簡(jiǎn)支梁的各階固有頻率。

(3) 針對(duì)高度不變-厚度按指數(shù)變化的一類變截面梁結(jié)構(gòu)，本文提出的理論方法能夠準(zhǔn)確、有效地求解含任意條數(shù)橫向裂紋變截面的固有頻率，并且本文的方法還適用于懸臂梁、雙邊固支梁等一系列不同的邊界條件，同時(shí)不需要推導(dǎo)出固有頻率的解析解，大大提高了計(jì)算效率。