湯 偉 王 權(quán)* 劉 嫣 王玲利

1(陜西科技大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 陜西 西安 710021)2(陜西科技大學(xué)工業(yè)自動(dòng)化研究所 陜西 西安 710021)

0 引 言

人體心電信號(hào)屬于生物微弱電信號(hào)，在便攜式心電設(shè)備采集心電信號(hào)的過程中，極易受到各種復(fù)雜環(huán)境的干擾。在設(shè)備采集時(shí)面臨的首要問題便是降低其信號(hào)中含有的噪聲[1]。

在實(shí)際心電采集過程中，心電信號(hào)的噪聲主要有肌電干擾、工頻干擾與基線漂移等[2]，且信號(hào)的長(zhǎng)度都屬于分鐘級(jí)。在心電信號(hào)去噪方法上有傳統(tǒng)的FIR數(shù)字濾波法、自適應(yīng)濾波法、小波濾波方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)濾波方法等[3-5]。傳統(tǒng)的FIR數(shù)字濾波面對(duì)復(fù)雜的噪聲環(huán)境無法有效地去除干擾[6]。小波變換雖然在局部特性上表現(xiàn)出良好的特性，但面對(duì)心電信號(hào)不斷方向變換沒有很好的辨識(shí)能力。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)濾波方法計(jì)算復(fù)雜，需要大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，且實(shí)時(shí)性差。目前稀疏分解用于心電信號(hào)去噪方面的方法有基追蹤算法(Basis Pursuit,BP)、匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、基追蹤算法以及廣義正交匹配追蹤算法GOMP等[7]?；粉櫵惴ㄖ饕m用線性規(guī)劃的凸優(yōu)化問題，算法迭代次數(shù)少，但計(jì)算的復(fù)雜度高，不能滿足心電信號(hào)采集時(shí)的實(shí)時(shí)性要求。相對(duì)于BP算法，OMP算法是一種次優(yōu)的算法，在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。但OMP算法在每次迭代的過程中只能選擇一個(gè)原子，因此需要的迭代次數(shù)依然十分龐大[8]。GOMP解決了每次迭代只能選擇一個(gè)原子的問題，能夠?qū)崿F(xiàn)在一次迭代中選擇多個(gè)原子，有效降低了算法迭代次數(shù)[9]。

對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解前，需要冗余的字典矩陣作為前提。因此在匹配輸入信號(hào)與字典原子時(shí)，GOMP算法對(duì)字典中相似原子辨識(shí)度不高，易出現(xiàn)錯(cuò)選的原子，導(dǎo)致重構(gòu)精度不理想的情況，且面對(duì)心電信號(hào)噪聲的強(qiáng)度與種類不同，算法的重構(gòu)精度也會(huì)受到影響。針對(duì)上述出現(xiàn)的問題，提出了改進(jìn)的GOMP算法，在復(fù)雜噪聲環(huán)境的情況下，通過增加特定閾值的方式實(shí)現(xiàn)迭代次數(shù)依據(jù)信噪比自適應(yīng)匹配，并且在選擇原子時(shí)將把Jaccard系數(shù)引入導(dǎo)原子匹配過程中加以完善，有效地提高了算法重構(gòu)精度。

1 稀疏表示

由于信號(hào)具有良好的稀疏性，稀疏分解在信號(hào)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。它的本質(zhì)分為兩個(gè)步驟：稀疏與重構(gòu)。稀疏表示的目的是用超完備字典中最符合待分解信號(hào)特點(diǎn)的匹配原子稀疏表示待分解信號(hào)。通常情況下分解方法優(yōu)劣取決于選擇字典的種類。在過完備冗余字典中字典的元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過完備字典，因此通過設(shè)計(jì)合適的算法使得字典中原子逼近輸入的心電信號(hào)，更能反映出心電信號(hào)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。假設(shè)y是長(zhǎng)度為N的輸入信號(hào)，對(duì)于任意的輸入信號(hào)y都可以稀疏表示為：

(1)

式中:x為N×1的列向量，即稀疏分解向量(解向量)；Φ為字典矩陣(過完備字典)。系數(shù)分解的求解過程就是尋找非零元最小的系數(shù)向量x，若x中的非零元素個(gè)數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N(K?N)，說明x是可以稀疏分解。其目的是通過最少的原子來達(dá)到最優(yōu)的逼近效果，即信號(hào)可以被描述為：

(2)

在稀疏分解前，字典矩陣Φ采用Gobar函數(shù)[10]來生成，其函數(shù)表達(dá)式為：

(3)

式中:g(t)為高斯窗函數(shù)；γ是由s、u、v、w四種參數(shù)決定的時(shí)頻參數(shù)；s為尺度因子，決定了函數(shù)能量分布率；v為頻率調(diào)制因子，決定了函數(shù)主頻；u為平移因子，決定了函數(shù)波形的位置；w為相位因子，決定了函數(shù)的相位。通過此函數(shù)便可以生成Gabor字典。

因此，關(guān)注的主要問題是怎樣通過字典Φ來重構(gòu)輸入信號(hào)y。本文主要通過在固定的冗余字典基礎(chǔ)上，進(jìn)而通過利用改進(jìn)GOMP算法來對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行稀疏分解與重構(gòu)。

2 OMP算法

(4)

(5)

雖然OMP算法能夠?qū)π盘?hào)做到較高精度的重構(gòu)，但隨著輸入信號(hào)以及字典矩陣的不斷復(fù)雜，算法在迭代方面每次只能選擇一個(gè)原子，導(dǎo)致其運(yùn)算時(shí)效性變差且重構(gòu)精度降低，使得信號(hào)出現(xiàn)失真現(xiàn)象。因此，在求解非線性簡(jiǎn)單信號(hào)并且在稀疏度K較小的情況下，OMP是一種高效的算法[12-13]。在實(shí)際的心電信號(hào)去噪過程中，由于數(shù)據(jù)的龐大，導(dǎo)致OMP算法在其應(yīng)用上極大地制約了它的發(fā)展。

3 GOMP算法

GOMP算法在每次迭代時(shí)選擇與殘差乘積最大的少數(shù)幾個(gè)原子。相對(duì)于OMP算法，GOMP算法減少了其迭代次數(shù)并提高重構(gòu)精度[14]。GOMP算法首先計(jì)算字典矩陣中原子與輸入信號(hào)的內(nèi)積，即：

C={ci|ci=yTφi,i=1,2,…,N}

迭代過程中,OMP算法在其選擇最優(yōu)原子時(shí)以C中最大系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。而GOMP算法會(huì)在C中選擇S個(gè)最優(yōu)原子(ci1,ci2,…,cin)。再利用最小二乘方法獲得輸入信號(hào)y的近似值，并更新殘差：

(6)

式中:ΦA(chǔ)為選自于Φ的原子所組成的子矩陣。

GOMP算法的具體步驟如下：

輸入:M的輸入信號(hào)y，M×N的字典矩陣Φ，稀疏度K。

輸出：信號(hào)的矢量估計(jì)X。

1) 進(jìn)行初始化：殘差矢量r0=y,索引集合：H=?；迭代計(jì)數(shù)：t=0；集合Q=?。

2)t=t+1。求取相關(guān)系數(shù)：

Ct=ΦTrt-1

從相關(guān)系數(shù)Ct中選擇最大的S個(gè)原子，將這些原子添加到集合Q中。

3) 更新索引集合：H=H∪Q。

4) 稀疏信號(hào)估計(jì)：

6) 如果迭代次數(shù)大于設(shè)定值或殘差小于某設(shè)定值時(shí)，算法結(jié)束。

由此可以看出，廣義正交匹配算法是在每一次迭代時(shí)選擇殘差內(nèi)積最大的幾個(gè)最優(yōu)原子，在收斂速度上比OMP算法更快，重構(gòu)效果也得到有效提升[15]。而采集到的實(shí)際心電信號(hào)與字典矩陣中原子之間存在一定的相似性導(dǎo)致算法重構(gòu)精度下降。且在輸入信號(hào)含有大量的噪聲情況下，容易出現(xiàn)更多的稀疏信號(hào)估計(jì)錯(cuò)誤，從而降低算法的準(zhǔn)確性。因此，本文在復(fù)雜環(huán)境下重構(gòu)完整信號(hào)與提高算法對(duì)相似原子的辨識(shí)程度這兩方面對(duì)GOMP加以改進(jìn)。

4 改進(jìn)的GOMP算法

針對(duì)心電信號(hào)的噪聲種類與強(qiáng)度，GOMP算法在去噪方面無法廣泛適用問題。算法在匹配Gabor字典矩陣中原子與輸入信號(hào)時(shí)字典矩陣會(huì)出現(xiàn)原子之間的相關(guān)性高以及相似原子的存在，進(jìn)而導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)對(duì)原子的辨識(shí)度不高的問題，提出了改進(jìn)GOMP算法。改進(jìn)之處如下：

1) 在算法迭代中設(shè)置閾值，可以實(shí)現(xiàn)該閾值隨信噪比的變化而變化。設(shè)置為：

(7)

式中：a、b為常數(shù)。

2) 在傳統(tǒng)GOMP算法中，在匹配原子和待分解信號(hào)時(shí)都是采用向量?jī)?nèi)積的方法。其本質(zhì)是計(jì)算向量?jī)?nèi)積夾角的余弦值，即：

(8)

當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的原子出現(xiàn)相同方向時(shí)即向量夾角都為零時(shí)，傳統(tǒng)的OMP與GOMP算法都無法識(shí)別區(qū)分。因此引入Jaccard系數(shù)替換原有的內(nèi)積余弦值。Jaccard系數(shù)定義如下：

(9)

向量余弦值主要求取兩個(gè)向量平方和的幾何均值，而Jaccard系數(shù)則是求算術(shù)平方。針對(duì)兩個(gè)或多個(gè)向量方向相同的情況下，算術(shù)平方在由模值引起的結(jié)果上具有更明顯的效果。因此利用Jaccard系數(shù)能夠讓算法在匹配原子時(shí)具有更好的辨識(shí)能力。

改進(jìn)GOMP算法步驟如下：

輸入：M×1的輸入信號(hào)y，M×N的字典矩陣Φ，稀疏度K。

輸出：信號(hào)的估計(jì)矢量X。

1) 初始化殘差r0=y索引集H=?,迭代次數(shù)t=0，集合Q=φ。

2)t=t+1。計(jì)算相關(guān)系數(shù)：Ct=ΦTrt-1，在此引入Jaccard系數(shù)來替代向量余弦值計(jì)算。即將〈rt-1,φi〉內(nèi)積中的余弦替換為J(α,β)，選取C中最大的S個(gè)值，將這些值的索引組成新的集合Q。

3) 更新索引集：H=H∪Q。

4) 稀疏信號(hào)矩陣估計(jì)：

7) 輸出信號(hào)的估計(jì)矢量X。

改進(jìn)GOMP算法通過設(shè)定閾值來實(shí)現(xiàn)算法迭代次數(shù)根據(jù)待分解信號(hào)的信噪比而改變，有效提高了算法的時(shí)效性，與通過替換內(nèi)積向量的余弦值使得算法的重構(gòu)精度得到有效提升。

5 實(shí)驗(yàn)仿真

為了驗(yàn)證算法在心電信號(hào)去噪上的性能，本文通過以下的仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比論述。實(shí)驗(yàn)硬件為Intel(R) Core(TM)i5-7300HQ CPU,主頻為2.6 GHz，內(nèi)存為8 GB，Windows 10操作系統(tǒng)，仿真軟件平臺(tái)為MATLAB 2018a。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于MIT-BIH心率失常數(shù)據(jù)庫(kù)，其數(shù)據(jù)的采用頻率為360 Hz。圖1為MIT-BIH數(shù)據(jù)庫(kù)中103.dat的原始心電信號(hào)波形圖，其中包含1 200個(gè)采樣點(diǎn)，時(shí)長(zhǎng)約為3分22秒。利用信噪比公式：

(10)

式中:x(n)為原始含有噪聲信號(hào)；y(n)為去噪后信號(hào)。通過重復(fù)30次計(jì)算取其均值得到原始心電信號(hào)信噪比(SNR)為28 dB。將此心電信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)的輸入信號(hào)，利用改進(jìn)的GOMP算法來實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的去噪，如圖2所示，結(jié)果經(jīng)過30次計(jì)算求取均值得到其信噪比為53 dB。

圖1 103.dat文件心電數(shù)據(jù)圖

圖2 改進(jìn)GOMP算法去噪后的心電圖

在不同信噪比的高斯白噪聲中，本文的改進(jìn)算法對(duì)信號(hào)的降噪效果優(yōu)于其他兩種算法。且在噪聲嚴(yán)重干擾的情況下，本文的算法依然表現(xiàn)出良好的適用性，如圖3所示。

(a) 信噪為10 dB的心電信號(hào)

(b) OMP算法的去噪效果

(c) GOMP算法的去噪效果

(d) 本文改進(jìn)算法的去噪效果圖3 心電信號(hào)效果圖

對(duì)原始信號(hào)分別加入不同程度的噪聲形成新的輸入信號(hào)，此時(shí)信號(hào)的信噪比分別為10、20、30、40、50 dB。以同樣的方式求取信噪比，對(duì)每種信號(hào)分別采用三種算法對(duì)進(jìn)行去噪，進(jìn)而得到去噪后的信噪比，如表1所示。

表1 不同信噪比下信號(hào)去噪后的信噪比

由表1可知，隨著信噪比的增加，三種算法對(duì)信號(hào)的去噪效果都呈現(xiàn)逐漸增加的趨勢(shì)，而本文改進(jìn)算法對(duì)不同信噪比情況的去噪效果都表現(xiàn)出很好的穩(wěn)定性。

為了驗(yàn)證算法在去噪效果上，采用誤差測(cè)量方法為歸一化均方根誤差(RMSE)來反映幾種算法的估計(jì)性能。RMSE的定義為：

(11)

為了驗(yàn)證不同噪聲強(qiáng)度下對(duì)于算法的重構(gòu)精度的影響，進(jìn)行了不同信噪比情況下的仿真實(shí)驗(yàn)，如表2所示。選擇信噪比分別為10、20、30、40、50 dB。每種信噪比下，三種算法分別運(yùn)行200次并取其均方根誤差進(jìn)而取其均值。易看出，隨著信噪比的增加，三種算法的RMSE數(shù)值都呈現(xiàn)穩(wěn)定下降的趨勢(shì)。與其他兩種算法相比，無論是在稀疏度K為78還是40時(shí)，改進(jìn)的GOMP算法的RMSE數(shù)值更小，且在信噪比為10 dB時(shí)其數(shù)值下降了16%。隨著信噪比的增加，均方根誤差值的下降比值會(huì)略微縮減，當(dāng)信噪比為50 dB時(shí)均方根誤差值下降13.3%，驗(yàn)證了算法良好的重構(gòu)精度。這是由于本文改進(jìn)算法采用Jaccard系數(shù)替換了GOMP算法中原子內(nèi)積求余弦值的標(biāo)準(zhǔn)，在面對(duì)相似原子時(shí)具有更好的辨識(shí)度。

表2 不同信噪比情況下的重構(gòu)估計(jì)誤差

續(xù)表2

由于本文改進(jìn)算法在迭代次數(shù)上設(shè)置了閾值，因此在面對(duì)不同噪聲干擾程度的輸入信號(hào)時(shí)，其迭代次數(shù)會(huì)發(fā)生一定的變化,直接影響到算法的時(shí)效性。為了驗(yàn)證其對(duì)算法的影響，仿真實(shí)驗(yàn)：稀疏度設(shè)置為78，信噪比分別為10、20、30、40、50 dB。在相同稀疏的情況下，對(duì)比三種算法的運(yùn)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同信噪比下運(yùn)算時(shí)間對(duì)比

可以看出，隨著信噪比不斷增加，其運(yùn)算時(shí)間逐漸降低。改進(jìn)算法與GOMP算法相比于OMP算法，運(yùn)算時(shí)間提高了5%。對(duì)于信噪比的變化，本文改進(jìn)算法的運(yùn)算靈活性更強(qiáng)。與OMP算法相比，GOMP與本文提出的改進(jìn)算法都具有優(yōu)良的時(shí)間性能?？紤]到輸入信號(hào)長(zhǎng)度的不同會(huì)影響算法的重構(gòu)進(jìn)度問題，實(shí)驗(yàn)對(duì)比了不同輸入信號(hào)長(zhǎng)度下的均方根，易得出本文算法的重構(gòu)效果優(yōu)于其他兩種算法。

圖5、圖6是信噪比為10、30 dB時(shí)，不同信號(hào)長(zhǎng)度下的均方根誤差。

圖5 信噪比為10 dB時(shí)不同信號(hào)長(zhǎng)度下的均方根誤差

圖6 信噪比為30 dB時(shí)不同信號(hào)長(zhǎng)度下的均方根誤差

由圖5可知，信噪比為10 dB時(shí)信號(hào)被明顯干擾，改進(jìn)算法的均方根誤差相對(duì)于OMP算法降低了36%，相對(duì)于GOMP算法降低了7%。由圖6可知，信噪比為30 dB時(shí)，改進(jìn)算法相比于其他兩種算法降低了4%。信號(hào)的長(zhǎng)度不同會(huì)產(chǎn)生一定影響，改進(jìn)算法在噪聲變化上設(shè)置閾值會(huì)使算法更具適用性，在均方根誤差上具有更大的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié) 語

本文針對(duì)在心電信號(hào)采集傳輸過程中出現(xiàn)的噪聲問題，分析了OMP、GOMP算法在原子選取上的非最優(yōu)化以及輸入信號(hào)過長(zhǎng)而導(dǎo)致重構(gòu)進(jìn)度不理想的問題，提出了一種改進(jìn)的GOMP算法。通過以自適應(yīng)閾值的方式為終止條件的改進(jìn)GOMP方法進(jìn)行迭代，得到信號(hào)的稀疏表示結(jié)果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的完整重構(gòu)。與OMP、GOMP相比，改進(jìn)GOMP算法可以實(shí)現(xiàn)根據(jù)噪聲情況自適應(yīng)判斷迭代次數(shù)，并在原子選取方面進(jìn)行了優(yōu)化提高了算法重構(gòu)精度。由仿真實(shí)驗(yàn)可以得出，本文的算法在提高重構(gòu)進(jìn)度和效率方面取得一定優(yōu)化，使得算法能夠更好地適應(yīng)不同噪聲環(huán)境下的心電采集信號(hào)。

在實(shí)際采集得到的心電信號(hào)中，信號(hào)的稀疏性是未知的，且固定的冗余字典中原子相似性發(fā)生的概率是未知的，因此下一步將進(jìn)一步研究算法如何自主獲取信號(hào)的稀疏度以及字典矩陣設(shè)計(jì)，以提高算法在不同強(qiáng)度噪聲下的適用性與準(zhǔn)確性。