馬蕓 夏錦紅 桂超

摘要：為了研究土中水相變（潛熱）熱傳導(dǎo)過程中凍結(jié)溫度場演變規(guī)律，構(gòu)建了穩(wěn)定線性冷源作用下單管凍結(jié)相變溫度場模型，由變量替換法求得凍結(jié)溫度場隨凍結(jié)時(shí)間演變規(guī)律近似解析解，同時(shí)利用指數(shù)積分函數(shù)解析式表達(dá)了凍結(jié)區(qū)和未凍結(jié)區(qū)的溫度場分布，并將理論解析解與凍結(jié)槽試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。研究表明：理論與試驗(yàn)結(jié)果誤差在合理范圍內(nèi)，驗(yàn)證了瞬態(tài)凍結(jié)溫度場分布近似解析解的有效可靠性;單管凍結(jié)鋒面半徑和凍結(jié)時(shí)間有著平方根關(guān)系;凍結(jié)溫度場在時(shí)空維度上服從對(duì)數(shù)分布，且曲線曲率隨凍結(jié)時(shí)間的增加而逐漸減小。研究成果對(duì)認(rèn)識(shí)穩(wěn)定線性冷源作用下凍結(jié)管周圍不良地基土溫度場演變規(guī)律和指導(dǎo)凍結(jié)法施工技術(shù)有重要意義。

關(guān)鍵詞：凍結(jié)溫度場; 相變; 凍結(jié)鋒面半徑; 理論解析; 凍結(jié)槽試驗(yàn)

中圖法分類號(hào)： TD265.34文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.02.030

目前，限于對(duì)凍融過程、凍土參數(shù)、凍結(jié)區(qū)域的有限認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致在施工過程中為了所謂“絕對(duì)安全”而采取過大的凍結(jié)區(qū)和過低的凍結(jié)溫度，從而引起凍結(jié)區(qū)土體過大的凍脹和融沉，最終導(dǎo)致過長的工期和能源浪費(fèi)。因此，在保障凍結(jié)法施工安全的前提下，合理確定凍結(jié)區(qū)域和凍結(jié)溫度就顯得非常重要[1]。

目前，人工凍結(jié)溫度場演變規(guī)律研究主要有理論解析、現(xiàn)場實(shí)測（凍結(jié)試驗(yàn)）和數(shù)值模擬3種方法。其中，在理論解析方面，不少學(xué)者[2-6]針對(duì)凍結(jié)溫度場演變規(guī)律進(jìn)行了研究。另外，文獻(xiàn)[7-10]基于現(xiàn)場實(shí)測資料（凍結(jié)試驗(yàn)）方法及文獻(xiàn)[11-14]基于數(shù)值模擬計(jì)算方法研究凍結(jié)溫度場變化結(jié)果對(duì)于凍結(jié)溫度場演變規(guī)律的理解、分析和解釋也較為重要。然而，單管凍結(jié)溫度場演變規(guī)律的準(zhǔn)確解析表達(dá)是研究多凍結(jié)管溫度場的基礎(chǔ)前提。目前，考慮土中水相變（潛熱）熱傳導(dǎo)過程的凍結(jié)溫度場演變規(guī)律研究還不成熟，且已有研究結(jié)果大多未得到有效可靠驗(yàn)證。

由此，將單根凍結(jié)管簡化為軸對(duì)稱平面熱傳導(dǎo)問題，結(jié)合凍結(jié)鋒面將受影響的土體溫度范圍劃分為凍結(jié)區(qū)和降溫區(qū)，采用變量代換法求解相變熱傳導(dǎo)方程，同時(shí)基于指數(shù)積分函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式得到土體凍結(jié)區(qū)及降溫區(qū)的溫度分布表達(dá)式。結(jié)合天津地鐵2號(hào)線機(jī)場延長線1號(hào)聯(lián)絡(luò)通道凍結(jié)工程現(xiàn)場資料，進(jìn)行了單根凍結(jié)管凍結(jié)槽試驗(yàn)。最后將單根凍結(jié)管凍結(jié)溫度場近似解析解與凍結(jié)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證了理論分析的有效可靠性。

1軸對(duì)稱熱源溫度場方程的解析解

1.1基本假定

本文主要對(duì)凍結(jié)區(qū)和降溫區(qū)（凍結(jié)管引起的周圍傳熱介質(zhì)凍結(jié)區(qū)和降溫區(qū)如圖1所示）采用圓管穩(wěn)定導(dǎo)熱方程進(jìn)行計(jì)算。為便于理論推導(dǎo)作如下假定：① 將研究問題簡化為單管軸對(duì)稱平面熱傳導(dǎo)問題;② 凍結(jié)管周圍土體為均質(zhì)連續(xù)體;③ 凍結(jié)管所吸收熱量不隨時(shí)間變化;④ 忽略凍結(jié)管徑影響（為冷源點(diǎn)）;⑤ 遠(yuǎn)場土體溫度為恒值。

1.2相變溫度場控制方程

凍結(jié)區(qū)溫度場如下

T1t=a1（?2T1r?2+1r?2T1r?2）（ξ≤r<∞）（1）

降溫區(qū)溫度場如下

T2t=a2（?2T2r?2+1r?2T2r?2）（r0≤r<ξ）（2）

邊界條件

T1（r，0）=T0（3）

T1（∞，t）=T0（4）

1.3相變熱傳導(dǎo)方程

T1（ξ，t）=T2（ξ，t）=Td（5）

T2（R0，t）=Tc（6）

λ2T2（ξ，t）r-λ1T1（ξ，t）r=ψt（7）

式中，T1（r， t），T2（r， t）分別為凍結(jié)區(qū)、降溫區(qū)的溫度，℃;r是以凍結(jié)管中心為原點(diǎn)的圓柱坐標(biāo)，m;t為凍結(jié)時(shí)間，d;T0為土體的初始溫度，℃;Td，Tc分別為土體的凍結(jié)溫度和凍結(jié)管外壁溫度，℃;λ1，λ2分別為降溫區(qū)、凍結(jié)區(qū)的導(dǎo)熱系數(shù)，kJ/（m·d·℃），其中λn=an·cn;an為導(dǎo)溫系數(shù)，m?2/d;cn為容積比熱，kJ/（m?2·℃）;R0為凍結(jié)管布置圈半徑，m;R為凍結(jié)影響半徑，m;ξN為凍結(jié)鋒面在N區(qū)域內(nèi)的坐標(biāo)，m，當(dāng)N=1時(shí)，表示0≤ξ1≤R0，當(dāng)N=2時(shí)，表示R0≤ξ1≤R;ξ=ξ（t）為凍結(jié)鋒面半徑，m;ψ為單位體積傳熱介質(zhì)的結(jié)冰潛熱，kJ/m?3，ψ=（W-WH）·Ω·ρs，W為土中總含水量，%;WH為凍土中未凍水含量，%;ρs為土體密度，kg/m?3;Ω為水的相變潛熱，通常取336 kJ/kg。

引入替換變量x1，x2，即

x1=r?24a1tx2=r?24a2t（8）

由式（1）～（6），相變熱傳導(dǎo)方程解可表示為

T1=T0+Td-T0E1（β）E1（r?24a1t）（ξ≤r<∞）（9）

T2=Tc+Td-Tcg（aβ）g（r?24a2t）（R0≤r<ξ）（10）

式中，a=a1a2;β為待求參數(shù)，E1（x）=∫?∞xe-xxdx，E1（x）為指數(shù)積分函數(shù)，用級(jí)數(shù)可表示為

E1（x）=-0.577216-lnx-∞i=1（-1）?ix?ii·i?。?1）

為更容易求得函數(shù)值，E1（x）還用多項(xiàng)式表示為

E1（x）=-lnx-5i=0bix?i+ε（x）|ε（x）|<2.0×10-70

式中，b0=-0.577 215 66，b1=0.999 991 93，b2=-0.249 910 55，b3=0.055 199 68，b4=-0.009 760 04，b5=0.001 078 57。

xe?xE1（x）=x?2+d1x+d2x?2+d3x+d4+ε（x）|ε（x）|<5.0×10-51≤x≤∞（13）

式中，d1=2.334 733，d2=0.250 621，d3=3.330 657，d4=1.681 534。

β=ξ?24a1t（14）

將式（9）、（10）代入式（7），得

a1ψβ-λ1（Td-T0）E1（β）e-β-λ2（Td-Tc）e-aβg（aβ）=0（15）

進(jìn)而有

ξ=2a1βt（16）

凍結(jié)能力Q為

Q=2πR0λ2T2（R0，t）r（17）

將式（10）代入式（17），則有

Q=4πλ2Td-Tc（R0，t）g（aβ）e-R?20a2（18）

由式（18）可知，對(duì)Q影響最大的是λ2和（Td-Tc），其呈現(xiàn)出正比例關(guān)系?；谟?jì)算誤差不超過

1%，有

Q=4πλ2Td-Tcg（aβ）（t>25R?20a2）（19）

2解適用條件及無量綱表達(dá)

作變量替換如下

Tn=Td+（T0-Td）θnn=1，2t=R?20a1τR=R0rξ=R0bq=Qλ2（T0-Td）（20）

式中，θ1，θ2分別為未凍土和凍結(jié)土無量綱溫度;τ為無量綱時(shí)間;r，b分別為無量綱徑向坐標(biāo)和凍結(jié)鋒面半徑;q為凍結(jié)管壁無量綱熱流密度。

將式（20）分別代入式（9）和式（10）得

θ（r，τ）=1-f（r?24τ）f（β）（b≤r<∞）（21）

θ2（r，τ）=θc[1-g（ar?2/4τ）g（aβ）]（0

式中，θc=（Tc-Td）/（T0-Td）。

參數(shù)β為

β=b?24τ（23）

此時(shí)，確定參數(shù)β的超越方程式（15）為

Kβ+e-βf（β）-λθce-aβg（aβ）=0（24）

式中，K=ψ/[c1（T0-Td）];λ=λ1/λ2。

由超越方程（24），得參數(shù)β，將其再代入式（23）可得凍結(jié)鋒面的無量綱半徑b為

b=2βτ（25）

由此，無量綱熱流密度為

q=-4πθcg（aβ）e-a4τ（26）

q=-4πθcg（aβ）（τ>25a）（27）

3溫度場凍結(jié)槽試驗(yàn)

為驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，在凍結(jié)模型槽內(nèi)進(jìn)行穩(wěn)定冷源作用下單根凍結(jié)管溫度場演變?cè)囼?yàn)。凍結(jié)試驗(yàn)土樣取自天津地鐵2號(hào)線機(jī)場延長線工程項(xiàng)目。聯(lián)絡(luò)通道底板以上位于含黏性土粉砂層中，通過對(duì)不同地層土樣進(jìn)行熱物理力學(xué)參數(shù)試驗(yàn)[15]，所得凍土熱物理參數(shù)如表1所列。

單根凍結(jié)管溫度場試驗(yàn)槽如圖2（a）所示，槽內(nèi)加墊石棉纖維毯（厚度25 mm），如圖2（b）所示。試驗(yàn)槽內(nèi)部尺寸為1.1 m×0.25 m×0.8 m。在試驗(yàn)槽中央插入Φ42 mm×0.8 m的凍結(jié)管，沿試驗(yàn)槽長度方向0.4 m土層深度處每隔0.1m布置一個(gè)測溫點(diǎn)，由凍結(jié)管徑向邊界測點(diǎn)編號(hào)分別為C1～C5。凍結(jié)試驗(yàn)中，室溫為10℃，空氣濕度為40%。使用鹽水作為低溫冷媒劑。凍結(jié)孔單孔流量為5 m?3/h，7d的積極凍結(jié)使鹽水溫度降至-20℃以下，去、回路的鹽水溫差控制在2℃以內(nèi)，保證提供穩(wěn)定冷源溫度為-20℃，積極凍結(jié)時(shí)間為60 d。

4結(jié)果分析與討論

據(jù)凍結(jié)資料及凍土和未凍土的熱物理性質(zhì)，計(jì)算參數(shù)取值如下：R0=0.08 m，T0=10℃，Td=0℃，Tc=-20℃，λ1=100 kJ/（m·d·℃），λ2=135 kJ/（m·d·℃），c1=2 900 kJ/（m?3·℃），c2=2 100kJ/（m?3·℃），ψ=2.0×10?5 kJ/m?3，ρs=1 600 kg/m?3，W=32%，WH=5.0%。由式（15）或（24）迭代計(jì)算求得β=0.2。由式（16）得ξ=0.058t。當(dāng)t>3 d后，凍結(jié)管壁熱流密度Q即處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)Q=1.12×10?4 kJ/（m·d）。

圖3為與凍結(jié)管間距為0.3 m的測溫孔C3凍結(jié)溫度隨凍結(jié)時(shí)間變化曲線。由圖3可知，測溫孔凍結(jié)溫度與凍結(jié)時(shí)間關(guān)系為瞬態(tài)溫度演變，降溫區(qū)和凍結(jié)區(qū)溫度演變均符合對(duì)數(shù)變化規(guī)律，且在凍結(jié)初期，理論解析封閉解大于凍結(jié)試驗(yàn)實(shí)測值。

圖4為凍結(jié)過程中分別為20，40 d和60 d時(shí)刻的凍土圓柱面內(nèi)各測溫點(diǎn)凍結(jié)溫度分布情況。凍結(jié)瞬時(shí)凍土柱面內(nèi)各測溫點(diǎn)凍結(jié)溫度為穩(wěn)態(tài)的，凍結(jié)初期理論計(jì)算值下降較快，凍結(jié)后期其與凍結(jié)試驗(yàn)實(shí)測溫度值接近。

圖5位凍結(jié)鋒面半徑隨凍結(jié)時(shí)間由凍結(jié)管徑向向外邊界擴(kuò)展曲線。凍結(jié)鋒面半徑隨凍結(jié)時(shí)間增長呈現(xiàn)出冪指數(shù)關(guān)系，凍結(jié)初期理論計(jì)算值大于試驗(yàn)結(jié)果，而凍結(jié)后期，凍結(jié)試驗(yàn)得出的凍結(jié)鋒面半徑略大于理論解析計(jì)算結(jié)果。

試驗(yàn)過程中土樣的初始溫度、凍結(jié)溫度、土水耦合傳熱介質(zhì)的相變潛熱及鹽水溫度等因素的變化對(duì)凍結(jié)鋒面均有顯著影響，但理論解析解與試驗(yàn)結(jié)果總體變化規(guī)律和趨勢基本一致。理論計(jì)算與凍結(jié)試驗(yàn)所得凍結(jié)鋒面半徑結(jié)果誤差為10%以內(nèi)，為可接受范圍。由此可知，所推導(dǎo)理論計(jì)算結(jié)果是有效可靠的。由于凍結(jié)試驗(yàn)過程耗時(shí)較長，時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本均較高，可采用經(jīng)由試驗(yàn)有效可靠性檢驗(yàn)的理論解析解分析更多凍結(jié)溫度場演變過程。

5結(jié) 論

（1） 針對(duì)穩(wěn)定線性冷源作用下土體凍結(jié)過程中的瞬態(tài)溫度場進(jìn)行了解析表達(dá)，其中，單管凍結(jié)鋒面半徑和凍結(jié)時(shí)間有著平方根關(guān)系，并由凍結(jié)槽試驗(yàn)驗(yàn)證了理論解析解的有效可靠性。

（2） 由指數(shù)積分函數(shù)近似級(jí)數(shù)形式求得了距離凍結(jié)管不同測點(diǎn)的溫度。凍結(jié)溫度場在時(shí)間和空間上呈對(duì)數(shù)型函數(shù)分布，且曲率隨凍結(jié)時(shí)間的增加而逐漸減小。

（3） 由凍結(jié)相變過程分析得出了凍結(jié)鋒面半徑與時(shí)間之間的理論解析表達(dá)式?；趦鼋Y(jié)鋒面半徑隨凍結(jié)時(shí)間變化規(guī)律參數(shù)化的敏感性分析，優(yōu)化凍結(jié)參數(shù)，有效地評(píng)估凍結(jié)法對(duì)周圍環(huán)境的影響。在保證滿足凍結(jié)法施工要求的前提下，施工可做到節(jié)約能源、縮短工期。

今后研究應(yīng)考慮多根凍結(jié)管不同布置方式（并行、交叉等），研究凍結(jié)溫度場交圈、凍結(jié)管間距、凍結(jié)管排數(shù)等更為復(fù)雜因素引起的傳熱介質(zhì)凍結(jié)溫度場隨凍結(jié)時(shí)間的變化規(guī)律。研究成果對(duì)認(rèn)識(shí)不良地基土體凍結(jié)溫度場分布瞬態(tài)演變規(guī)律和進(jìn)一步指導(dǎo)凍結(jié)法施工設(shè)計(jì)等具有重要的工程意義。

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（編輯：鄭 毅）

引用本文：馬蕓，夏錦紅，桂超.單管凍結(jié)溫度場演變規(guī)律分析及試驗(yàn)驗(yàn)證[J].人民長江，2019，50（2）：169-173.

Development law of soil temperature field caused by freezing pipe and its freezing test verification

MA Yun?， XIA Jinhong1，2， GUI Chao1，3

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Xinxiang University， Xinxiang 453003， China;2.School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China;3.School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： A phase-transition temperature field model for artificial single pipe freezing with a stable linear cold source was established and approximate analytical solution for freezing temperature development with time was obtained by variable substitution method. The temperature distributions in the frozen and non-frozen fields were expressed by an exponential integral function， and the theoretical results were compared with the freezing model test. The research results show that the error between theoretical calculation and test result is within a reasonable range， which verified the effectiveness and reliability of the approximate analytical solution for transient freezing temperature field distribution; the relation between the freezing-front radius and freezing time follows square root equation; the temperature field for a single freezing pipe obeys a logarithmic function in time and space and its curvature decreases with time. The research results have an important engineering significance to understanding the temperature field evolution law of poor foundation soil surrounding a freezing pipe under a stable linear cold source and guiding the freezing construction technology.

Key words：freezing temperature field; phase change; frozen front radius; theoretical analysis; freezing tank test