楊冬冬

【摘 要】本文對多目標(biāo)粒子群算法的原理和數(shù)學(xué)模型做了基礎(chǔ)記述，然后對多目標(biāo)粒子群算法做了仿真測試，并使用加速因子對其線性變化進(jìn)行了優(yōu)化，這不僅保證了粒子群算法初步搜索時(shí)能在比較大的范圍內(nèi)迅速找到自身最優(yōu)位置（pbest），而且利用加速因子的權(quán)重變比變化促使后期粒子群進(jìn)行嚴(yán)格的局部搜索以便于去找到gbest位置也就是全局最優(yōu)位置，使其集中向Pareto最優(yōu)前沿聚集。使得在仿真結(jié)果中使用擁擠距離刪除后得到的圖形的最優(yōu)前沿更加均勻平滑。

最后利用前面所介紹的粒子群算法去解決環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化問題，介紹環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度原理以及其數(shù)學(xué)模型，在其多個(gè)不等式和等式約束下做了仿真測試，得到的數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)做了詳細(xì)對比，表明粒子群算法在解決環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的問題中具有很大的可行性和有效性。

【關(guān)鍵詞】環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度；粒子群算法；加速因子

1多目標(biāo)粒子群算法及其仿真

1.1多目標(biāo)粒子群算法概述

1.1.1多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)概括

多目標(biāo)優(yōu)化問題既是多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化問題，具有很強(qiáng)的普遍性，對其的研究也在不斷更近。其他研究表明一個(gè)具有n個(gè)決策變量和多個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問題可以用下面公式表示：

Subject to （1-2）

上式中X、x、Y、y分別代表參數(shù)空間、決策向量、目標(biāo)空間以及目標(biāo)向量。在所有目標(biāo)中，不可能繼續(xù)優(yōu)化其中一個(gè)或者幾個(gè)而促使其他目標(biāo)不發(fā)生劣變的所有解集，稱這些解為最優(yōu)非劣解或叫做pareto解集，最優(yōu)非劣解的優(yōu)化用下面公式描述：在常規(guī)情況下，將極小化問題考慮在內(nèi)，則有），a，b分別表示兩個(gè)決策向量。

首先假設(shè)：

則稱b劣于a。在所有區(qū)域內(nèi)沒有占優(yōu)的決策向量稱之為pareto最優(yōu)解。而所有決策向量集合便是最優(yōu)非劣解集，既是在環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度時(shí)非劣解的求取非常重要。

1.1.2多種方法解決多目標(biāo)優(yōu)化問題

1、在以往的優(yōu)化方法中，其核心都是將多個(gè)目標(biāo)經(jīng)過不同的手段轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行求解計(jì)算優(yōu)化，主要的方法有線性規(guī)劃法、價(jià)格因子法、加權(quán)法等。

2、隨著技術(shù)發(fā)展和人類發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今社會解決多目標(biāo)問題的方法更是層出不窮，不僅比較貼近實(shí)際情況而且比較柔性化，主要算法有進(jìn)化算法（EvolutionaryAlgorithm，簡稱EA）、粒子群算法（ParticleSwarmOptimization，PSO）等。

1.2多目標(biāo)粒子群算法仿真

1.2.1仿真測試函數(shù)

表1-1測試函數(shù)

這里采用上面面測試函數(shù)進(jìn)行仿真，多目標(biāo)粒子群算法（IMOPSO）的操作步驟如下：

給多目標(biāo)粒子群算法的迭代次數(shù)、控制參數(shù)、以及群體規(guī)模進(jìn)行初始化；

仿真出各個(gè)粒子所表示的最佳適應(yīng)位置；

根據(jù)最優(yōu)非劣解集最優(yōu)概念尋找出各個(gè)粒子的自身極值；

挑選種群中所有的非劣解集存入外部檔案庫，刪減線密度最小的所有非劣解；

迭代下一次，將粒子的速度和位置進(jìn)行下一次迭代；

判斷是否達(dá)到設(shè)置的最大迭代要求的次數(shù)？是，那么輸出檔案庫所有負(fù)荷算法的解集；否，轉(zhuǎn)到步驟2。

1.3改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法

使用修剪算子的外部截?cái)嘈阅軐αＷ尤旱姆橇咏饧耐獠拷饧財(cái)?，修剪算子的外部截?cái)嘈阅芎芎帽ＷC粒子群算法外部解集的均勻性和平滑性。目前擁擠距離策略是當(dāng)今應(yīng)用比較廣泛，比較實(shí)用的外部解集保持策略。

令粒子i的擁擠距離為：

（1-6）

上式中f1，f2表示兩個(gè)子目標(biāo)，P[i]disdance表示粒子i的聚集距離，P[i].m表示粒子i的函數(shù)值。

用下面方法保證擁擠距離策略可以截?cái)嗔Ｗ尤和獠拷饧?/p>

令p[i]disdans=0，既是將每個(gè)粒子的初始擁擠距離設(shè)置為0，然后對所有目標(biāo)列出序號排序，采用（1-1）式對所有粒子的擁擠距離進(jìn)行計(jì)算；

將邊界的值設(shè)置為最大值保證粒子能進(jìn)行下一次迭代，搜索并淘汰所有解集中擁擠距離最小的粒子，

獲取新一次迭代的粒子的擁擠距離；（在迭代時(shí)，將每個(gè)目標(biāo)的最近距離進(jìn)行標(biāo)記）

當(dāng)淘汰的粒子滿足預(yù)定要求后終止該算法。

因?yàn)槭褂昧藙?dòng)態(tài)更新算子對粒子群算法進(jìn)行了改進(jìn)，當(dāng)淘汰每個(gè)粒子時(shí)都會進(jìn)行一次相鄰粒子的擁擠距離的新計(jì)算，進(jìn)而有力的保證擁擠距離能正確細(xì)致的表現(xiàn)每個(gè)粒子間的親密度。擁擠距離圖形如下圖1-1[2]：

1.3多目標(biāo)粒子群算法的結(jié)果和分析

1.3.1多目標(biāo)粒子群算法結(jié)果

這個(gè)程序仿真的是上面表3-1所說的測試函數(shù)，選取了粒子數(shù)為20，c1，c2均為2，粒子速度范圍是[0，1000]，位置的范圍是[-1000，1000]，迭代次數(shù)是2000次。并擁擠距離進(jìn)行刪除，使得其歸檔集的解得個(gè)數(shù)為100。

所得到的非劣解得圖形如下，下圖表示的解集圖形并未進(jìn)行過優(yōu)化。

1.4多目標(biāo)算法存在的問題與修正

由以上的圖形來看，這個(gè)測試函數(shù)的最優(yōu)前沿還存在一些問題，就均勻性來說，這個(gè)程序還可以繼續(xù)進(jìn)一步優(yōu)化。這種改進(jìn)可以從每次迭代所得到的全局最優(yōu)開始，全局最優(yōu)的選取在本文中選擇的是從所得到的非劣解集中任意選擇一個(gè)，而作為改進(jìn)可以選擇在計(jì)算過擁擠距離后，把每次迭代后得到擁擠距離最大的那個(gè)組解當(dāng)做全局最優(yōu)。把擁擠距離最大的那個(gè)解當(dāng)成是全局最優(yōu)可以使其搜索時(shí)從局部最稀疏的地方再開始更新。使該全局最優(yōu)曲線更加均勻。

2 利用粒子群算法解決環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題

2.1環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度數(shù)學(xué)模型分析

2.1.1目標(biāo)函數(shù)

不僅考慮經(jīng)濟(jì)指標(biāo)而且也要將電力系統(tǒng)污染思考在內(nèi)，在此處采用發(fā)電機(jī)有功出力的二階多項(xiàng)式來描述電力系統(tǒng)消費(fèi)的總的費(fèi)用或者燃料消耗，既是：

（$/h）（2-1）

上式中ai表示第i臺發(fā)電機(jī)組耗量特性的常數(shù)項(xiàng)，bi和ci表示第i臺發(fā)電機(jī)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)。PGi代表發(fā)電機(jī)的有功出力，n代表發(fā)電機(jī)組總數(shù)。

（2）相關(guān)法規(guī)規(guī)定電廠的污染排放量如硫氧化物和氮氧化物以及其他其他污染物必須達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)，減小對大氣和環(huán)境的污染。其次，個(gè)別國家也要求熱輻射必須達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)，在一般情況下，氮氧化物排放必須達(dá)標(biāo)。氮氧化物的排放量我們可以采用各發(fā)電機(jī)出力的二階多項(xiàng)式與指數(shù)方程的和來表示：

式子中的所有拉丁字母表示第i臺機(jī)組的特征方程系數(shù)。

2.1.2經(jīng)濟(jì)調(diào)度約束條件

在電力系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)的功率必須保持在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，既系統(tǒng)的總負(fù)荷加上網(wǎng)損要等于電力系統(tǒng)的輸出功率，數(shù)學(xué)表示如下：

（4-4）中PGi，PD，PLOSS各代表系統(tǒng)的輸出功率，系統(tǒng)接的總負(fù)荷以及網(wǎng)絡(luò)損耗。網(wǎng)絡(luò)損耗用B系數(shù)法求得：

在電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)不但要滿足功率平衡，機(jī)組間的發(fā)電容量也必須保持在特定的范圍之內(nèi)，可以用下面不等式表示：

在環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的目標(biāo)函數(shù)和兩個(gè)約束條件都已經(jīng)確定的情況下，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，可以解釋為一個(gè)含有等式和不等式雙重約束下的非線性的多目標(biāo)優(yōu)化案例。既是：

上式中，g與h分別表示上節(jié)提到的等式和不等式約束。

2.2電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化

在上面表述的環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化問題中分析得出其經(jīng)濟(jì)調(diào)度既要在滿足負(fù)荷需求下電力系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行，又要保證獲取最小的經(jīng)濟(jì)成本和對環(huán)境污染達(dá)到最小，從上面式子（2-1）（2-2）可以看出，在多個(gè)條件約束下，兩個(gè)式子表述的是并不一致的量綱的函數(shù)，所以需要轉(zhuǎn)化到同一個(gè)量綱今次那個(gè)問題求解。

2.2.1環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的模型仿真

在文獻(xiàn)[3]中，文獻(xiàn)采用的算法所使用的機(jī)組一共有六臺發(fā)電機(jī)組，需要生產(chǎn)的總電量為283.4MW。下表表示的是所有機(jī)組需要滿足的燃料花費(fèi)系數(shù)以及最高的發(fā)電量和最低的發(fā)電量：后面本文數(shù)據(jù)將會與此文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

2.2.2環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化仿真

針對具有多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題可以先從簡單的基礎(chǔ)思考，先考慮氣體污染物的排放對環(huán)境污染的問題。我們可以把氣體排放等效于資金花費(fèi)，如此在解決多目標(biāo)問題的時(shí)后就可以將燃料花費(fèi)和污染花費(fèi)兩個(gè)加權(quán)相加。但是這種方法在計(jì)算權(quán)值時(shí)不能得到燃料花費(fèi)和污染氣體排放量的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化權(quán)值比，所以我采用利用多目標(biāo)粒子群算法對其進(jìn)行優(yōu)化。作為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，加上上面多目標(biāo)粒子群算法的仿真測試表明。這里有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，一個(gè)是燃料花費(fèi)，一個(gè)是污染氣體的排放。而等式約束和不等式約束也應(yīng)該加入到程序當(dāng)中去對所更新的粒子進(jìn)行約束。在全局最優(yōu)和自身最優(yōu)的選取上采用同樣的方法，由于多目標(biāo)問題不存在絕對唯一的最優(yōu)解，所以先求出它的非劣解集。并對這些解利用擁擠距離進(jìn)行刪除，這些解所組成的歸檔集可以找到燃料花費(fèi)的最小值或者氣體排放量的最小值。

通過實(shí)際問題與測試函數(shù)的之間的比對，簡要概括粒子群算法在環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的基本原理。這是個(gè)六維的問題，六臺發(fā)電機(jī)考慮產(chǎn)生總的花費(fèi)做為一個(gè)粒子，這個(gè)粒子有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)即燃料花費(fèi)目標(biāo)函數(shù)和污染氣體排放目標(biāo)函數(shù)，分別采用公式（2-1）和（2-2）進(jìn)行計(jì)算，也就是說有兩個(gè)適應(yīng)值。因?yàn)橥瑫r(shí)有不等式和等式約束兩個(gè)條件，所以在初始化的時(shí)候要對每個(gè)粒子進(jìn)行限制。每次隨機(jī)產(chǎn)生的粒子需要做這個(gè)工作六臺發(fā)電機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生的功率要滿足條件（2-5），也就是不等式約束，而其總共要產(chǎn)生283.4MV的電量也就是等式約束，而在等式約束也要把網(wǎng)絡(luò)損耗考慮進(jìn)來。

詳細(xì)操作步驟如下：

在系統(tǒng)中制定系統(tǒng)參數(shù)，并給定每一個(gè)變量的上限和下限；

給系統(tǒng)中的每個(gè)微粒隨機(jī)給予一個(gè)原始的位置以及速度；

用B系數(shù)法迭代求取種群中所有粒子的網(wǎng)損；

對每個(gè)微粒的自身的最佳位置按照目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行測試看是否滿足函數(shù)值要求；

將所有的滿足函數(shù)值要求的非劣解集放進(jìn)一個(gè)數(shù)據(jù)集合A中；

對粒子進(jìn)行初始化迭代得到找到粒子自身最優(yōu)值和局部的最優(yōu)值；

反復(fù)進(jìn)行迭代獲取新一代的粒子

產(chǎn)生的粒子判斷是否滿足條件約束，滿足約束的粒子記錄該粒子并計(jì)算其網(wǎng)絡(luò)損耗；

將粒子迭代出的新的自身最優(yōu)值（適應(yīng)值）粒子自身作比較的到的所有非劣解集放入集合B中；

把集合B中的非劣解集與上一代中的非劣解集作比較，得到的新的非劣解集放進(jìn)集合C中，并將集合C中數(shù)據(jù)放進(jìn)A中以方便比較；

實(shí)用擁擠距離刪除策略對得到的所有解集進(jìn)行刪除；

判斷迭代次數(shù)是否滿足設(shè)置值，如果達(dá)到最大值，則集合A中的所有非劣解集；否則，轉(zhuǎn)到步驟二繼續(xù)循環(huán)。

2.2.3多目標(biāo)粒子群算法解決電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)問題

在具有多個(gè)目標(biāo)的環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的問題優(yōu)化中比較常用的優(yōu)化方法是采用加速因子的方法和利用慣性權(quán)重對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)。用這些方法來確定多個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化比重。

慣性權(quán)重法（ω）的特點(diǎn)在于能加快粒子群算法的收斂速度。ω表示比例因子，與迭代的前一次速度相關(guān)，隨著ω的變化粒子群的搜索速度也跟著變化，粒子群進(jìn)行全局搜索時(shí)ω的值相對較大，需要迭代的次數(shù)越來越少時(shí)，ω值越來越小，這就保證了粒子群能進(jìn)行快速的局部搜索。由于ω值的變化促使粒子群的搜索能力能根據(jù)自身情況進(jìn)行調(diào)節(jié)，者不僅加快了粒子群算法（PSO）的收斂速度，保證算法產(chǎn)生早熟現(xiàn)象陷入局部極值。該算法越來越收到廣大學(xué)者的青睞和應(yīng)用，是一個(gè)隨著時(shí)間變化調(diào)整搜索速度的多目標(biāo)粒子群算法（時(shí)變多目標(biāo)粒子群算法）（TV-MOPSO）[3]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

在式（3-8）中：ωmin表示慣性權(quán)重的最小值，ωmax表示慣性權(quán)重的最大值；Tmax表示最大迭代次數(shù)。T表示當(dāng)前迭代次數(shù)，

在許多實(shí)驗(yàn)中不斷地測試中證明參數(shù)C1，C2的變化范圍是0.5-2.5，ω的最優(yōu)的取值范圍是0.4-0.9。

2.2.3算法結(jié)果和分析

在文獻(xiàn)中，算法所選取的粒子總數(shù)為50個(gè)，粒子的迭代總次數(shù)為8000次歸檔集為50，慣性權(quán)重在0.4-0.9之間線性變化，加速因子的取值為1.5。這里我選用了與文獻(xiàn)相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真以便于和文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對。在仿真數(shù)據(jù)中所有相互折中的目標(biāo)函數(shù)生成的最佳位置的集合便是所求的非劣解集。在這里與文獻(xiàn)的對比了一下兩種情況：

圖2-2沒有網(wǎng)絡(luò)損耗的算法仿真

上圖2-2描述了總共8000次迭代產(chǎn)生的污染氣體排放量和燃料花費(fèi)相互折中的所有pareto解集?？v坐標(biāo)和橫坐標(biāo)分別代表污染氣體總排放量和燃料總花費(fèi)。圖形為初始化模型還需要修整改進(jìn)，2-3數(shù)據(jù)和2-4數(shù)據(jù)表明仿真結(jié)果中污染氣體排放比文獻(xiàn)的數(shù)據(jù)好但是卻沒有比文獻(xiàn)的數(shù)據(jù)更經(jīng)濟(jì)性，既是燃料花費(fèi)比文獻(xiàn)的要高。下面表格數(shù)據(jù)

2.2.4存在的問題和改進(jìn)

從圖形描述中得到的結(jié)果表明圖形的最優(yōu)前沿不平滑，也不夠均勻，就這個(gè)問題分析，還有很多的不足，不管是從實(shí)際問題還是從粒子群算法的仿真來說，都可以從下面三個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

考慮到實(shí)際問題時(shí)在燃料花費(fèi)的目標(biāo)函數(shù)中應(yīng)該考慮發(fā)電機(jī)發(fā)電時(shí)的閥點(diǎn)效應(yīng)

在全局最優(yōu)的選取時(shí)應(yīng)該選取擁擠距離最大的點(diǎn)，這樣有利于最優(yōu)前沿的均勻性[4]。

對于這樣的實(shí)際問題，可以看到粒子群算法容易陷入局部收斂，也就是常說的早熟現(xiàn)象，所以可以采用一些混合算法對粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化[5]。

2.3電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的展望

此文中我只對電力系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)做了極其小的部分分析，我只把成本的最低和對環(huán)境的污染最小作為目標(biāo)函數(shù)，但是在實(shí)際問題中還需要關(guān)注更多的其他因素制約。

電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度的問題存在多種多樣的復(fù)雜性。在電力系統(tǒng)正常工作是，我們可以把有功網(wǎng)損最小，對環(huán)境污染最小，或者煤耗最小等作為我們的優(yōu)化目標(biāo)。而假設(shè)在電力系統(tǒng)發(fā)生故障后，怎樣減少故障所帶來的損失、怎樣預(yù)防故障可能帶來的災(zāi)害，以及怎樣減小節(jié)點(diǎn)電壓或者如何保證負(fù)荷能繼續(xù)正常工作更具有探討的意義。

參考文獻(xiàn)：

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[2]蘇鵬，劉天琪，趙國波.基于改進(jìn)粒子群算法的節(jié)能調(diào)度下多目標(biāo)負(fù)荷最優(yōu)分配電網(wǎng)技術(shù)學(xué)報(bào)，2009.

[3]李彩華，郭志忠.電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度概述（I）一經(jīng)濟(jì)調(diào)度與最優(yōu)潮流.電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)第14卷第2期2002年4月.

（作者單位：貴州省貴陽市貴州大學(xué)）