(河南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

分?jǐn)?shù)階微積分是研究分?jǐn)?shù)階次的微積分算子特性以及分?jǐn)?shù)階微分方程的理論，已經(jīng)有逾300年的歷史。隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分研究的不斷深入，研究者普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的自然推廣[1]，極大地?cái)U(kuò)展了人們所了解的整數(shù)階微積分的描述能力?，F(xiàn)今，混沌現(xiàn)象不僅是物理界研究的熱點(diǎn)，也受到了工程技術(shù)界的廣泛關(guān)注。近年來，混沌系統(tǒng)的控制與同步已成為控制理論與控制工程領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。

自1990年P(guān)ecora和Carroll提出混沌同步的思想以來，混沌系統(tǒng)的同步問題研究得到了蓬勃的發(fā)展[2-5]，隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展以及混沌系統(tǒng)研究的深入，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步及其應(yīng)用已經(jīng)成為非線性科學(xué)中的一個(gè)重要研究課題[6-14]，提出了很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，如模糊控制[9]、變結(jié)構(gòu)控制[10]、非線性控制[11]、自適應(yīng)控制[12]、耗散控制和反演控制[13]等等。其中反演方法是最常用的方法之一。該方法在遞推過程中，巧妙的構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)并且設(shè)計(jì)虛擬控制輸入[15-16]，而真實(shí)控制輸入根據(jù)反饋設(shè)計(jì)，在遞推終端得到，最終基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得到系統(tǒng)受控穩(wěn)定的充分條件。針對(duì)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了反演控制器，使得分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi主從混沌系統(tǒng)達(dá)到同步。文獻(xiàn)[17]討論了帶有未知參數(shù)的分?jǐn)?shù)階Coullet混沌系統(tǒng)的同步問題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反演控制器。

另一方面，滑模變結(jié)構(gòu)控制已經(jīng)形成了一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究分支，適用于線性與非線性系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)等，在實(shí)際工程中逐漸得到推廣應(yīng)用。滑?？刂圃诨煦缦到y(tǒng)的同步研究中也得到了應(yīng)用，文獻(xiàn)[18]針對(duì)一類帶有外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，研究了自適應(yīng)滑模同步問題；文獻(xiàn)[19]采用主動(dòng)滑?？刂铺接懥朔?jǐn)?shù)階主從結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步問題。針對(duì)帶有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[20]基于自適應(yīng)模糊滑?？刂蒲芯苛藘蓚€(gè)不同的帶有不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯混沌系統(tǒng)的同步問題。

自整數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)在1992年提出以來[21]，分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)也得到了眾多學(xué)者的重視。文獻(xiàn)[22]利用一個(gè)標(biāo)量驅(qū)動(dòng)信號(hào)，使得分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)達(dá)到同步；文獻(xiàn)[23]基于主動(dòng)控制和滑?？刂苾煞N方法，研究了分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的混沌動(dòng)態(tài)及其同步問題。雖然針對(duì)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步已有一些研究成果，但是基于反演滑?？刂萍夹g(shù)，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)同步的研究仍然是一個(gè)空白。

本研究分析帶有參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用反演設(shè)計(jì)方法在遞推過程中對(duì)Lyapunov子函數(shù)和虛擬控制輸入進(jìn)行設(shè)計(jì)，并在反演終端加入滑?？刂坡桑瓿闪四軌蚴箮в袇?shù)不確定和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)漸近同步的反演滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)。最后利用數(shù)值仿真驗(yàn)證提出的分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)反演滑模同步算法的有效性。

1 分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)

由于Genesio-Tesi系統(tǒng)具備混沌系統(tǒng)的很多特征，因此成為混沌系統(tǒng)的代表之一。該系統(tǒng)包含了一個(gè)平方項(xiàng)和三個(gè)簡單的微分方程且微分方程取決于三個(gè)正實(shí)參數(shù)，其系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

(1)

式中：x1,x2,x3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實(shí)數(shù)且滿足ab

為了觀測(cè)Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象，設(shè)定系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，作為系統(tǒng)(1)的響應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

(2)

式中：y1,y2,y3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實(shí)數(shù)且滿足ab

需要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器u(t)來控制響應(yīng)系統(tǒng)，使響應(yīng)系統(tǒng)(2)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)漸近同步?？紤]到實(shí)際情況中不可避免地存在不確定項(xiàng)與外部擾動(dòng)項(xiàng)，設(shè)計(jì)受控的響應(yīng)系統(tǒng)：

(3)

式中：y1,y2,y3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實(shí)數(shù)且滿足ab

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3)之間的誤差信號(hào)e(t)的數(shù)學(xué)模型如下：

(4)

在控制器u(t)作用下，系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)漸近同步，也就是說誤差信號(hào)e(t)收斂至零。其誤差信號(hào)e(t)的動(dòng)態(tài)模型如下：

(5)

將分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的模型描述為

(6)

式中：α為分?jǐn)?shù)階且0<α≤1；x1,x2,x3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實(shí)數(shù)且滿足ab

同理，由系統(tǒng)(2)可以得到系統(tǒng)(6)的響應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

(7)

其受控的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)模型為

(8)

分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)與受控的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(8)之間的誤差信號(hào)動(dòng)態(tài)方程為

(9)

2 分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的反演滑模同步

分?jǐn)?shù)階微分有三種最典型的定義，即Riemann-Liouvile定義、Grünwald-Letnikov定義和Caputo定義。由于在初始條件下，整數(shù)階微分方程沿用了相同的形式，所以Caputo定義已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于工程實(shí)踐。本文也采用Caputo定義來對(duì)特定的方程進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分。

定義1[1]對(duì)于一個(gè)連續(xù)的函數(shù)f，對(duì)其進(jìn)行關(guān)于α階次的分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)定義如下

式中，Γ是伽馬函數(shù)并且滿足

引理1[24]如果x(t)∈Rn是微分函數(shù)的一個(gè)向量，則在時(shí)間t≥t0的任意時(shí)間里，下列關(guān)系恒成立。

式中，P∈Rn×n是一個(gè)常數(shù)對(duì)稱且正定的矩陣。

定理1帶有不確定參數(shù)和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(8)和分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)能夠達(dá)到漸近同步的條件是控制器u(t)設(shè)計(jì)如下：

u(t)=ueq+uc

=-[(3-a+x1+y1)e1+(5-b)e2+(3-c)e3

+Δf(y1,y2,y3)+d+k4s+k5sgn(s)]，

式中，

ueq=-[(3-a+x1+y1)e1+(5-b)e2+(3-c)e3+Δf(y1,y2,y3)+d]，

uc=-k4s-k5sgn(s)。

證明：首先定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)，形式如下

，

(10)

式中，z1=e1。

根據(jù)引理1，對(duì)式(10)進(jìn)行階次為α關(guān)于時(shí)間的分?jǐn)?shù)階微分求導(dǎo)，得到

(11)

接著，選取第二個(gè)Lyapunov函數(shù)，形式如下

(12)

式中，z2作為虛擬輸入且滿足z2=e1+e2。

根據(jù)引理1，對(duì)式(12)進(jìn)行階次為α關(guān)于時(shí)間的分?jǐn)?shù)階微分求導(dǎo)，得到

(13)

最后，選取第三個(gè)Lyapunov函數(shù)，形式如下

(14)

定義切換函數(shù)為

s=k1e1+k2e2+k3e3，

(15)

式中，選取k1=2,k2=2,k3=1

根據(jù)引理1，對(duì)式(13)進(jìn)行階次為α關(guān)于時(shí)間的分?jǐn)?shù)階微分求導(dǎo)，得到

DαV3≤DαV2+sDαs

(16)

將u(t)代入式(16)，可得DαV3<0，則定理得證。

圖1 系統(tǒng)(6)的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of system (6)

圖2 加入?yún)?shù)不確定與外部擾動(dòng)的系統(tǒng)(6)的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of the system (6)with uncertain parameters and external disturbance

3 仿真算例

本節(jié)通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證上述所設(shè)計(jì)的反演滑?？刂破鞯挠行?。

令α=0.97,a=1.2,b=2.92,c=6,

k1=2,k2=2,k3=1,k4=2,k5=5，

d=cos2t,Δf(y1,y2,y3)=0.2sin(2πy1)。

取初值為(x1(0),x2(0),x3(0))=(3,3,3),(y1(0),y2(0),y3(0))=(-3,-3,-5)，圖1表示系統(tǒng)(6)的相軌跡圖，圖2表示考慮不確定性和外部擾動(dòng)的系統(tǒng)(6)的相軌跡圖，圖3代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌跡圖，圖4是同步誤差信號(hào)e(t)的響應(yīng)圖，圖5～6分別表示滑模平面s(t)和控制輸入u(t)。可以看出，所設(shè)計(jì)的反演滑?？刂破髂軌虮ＷC驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(8)的漸近同步。

圖3 受控的分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of the controlled fractional drive system and response system

圖4 同步誤差信號(hào)e1,e2,e3關(guān)于時(shí)間t的響應(yīng)圖Fig.4 Synchronization errors e1,e2,e3 with time t

圖5 滑模平面s(t)關(guān)于時(shí)間t的響應(yīng)Fig.5 Response of sliding surface s(t)with time t

圖6 分?jǐn)?shù)階控制器u(t)狀態(tài)響應(yīng)Fig.6 Response of controller u(t)with time t

4 結(jié)論

研究了帶有參數(shù)不確定分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的反演滑模同步問題，基于反演控制策略設(shè)計(jì)所給系統(tǒng)的李雅普諾夫子函數(shù)與虛擬控制輸入；然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)滑模面，得到了能夠使帶有參數(shù)不確定與外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)漸近同步的反演滑?？刂破?。最后，通過仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。在后續(xù)的研究中，將針對(duì)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)模糊或自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與同步方面的研究。