杜永峰，王亞龍，李 虎，方登甲，時(shí) 晨

(1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050)

Keywords:average frequency;modal frequency;spectral characteristics;damage index;frequency matching degree of Fourier spectral intensity；magnification factor of pseudo-resonance

地震動(dòng)具有很大的隨機(jī)性，而且每條地震動(dòng)記錄都有其獨(dú)特性，其中，地震動(dòng)的頻譜特性就是其重要的特性之一，它反映了地震動(dòng)各頻率成份對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)組成方式的不同，與結(jié)構(gòu)的破壞方式及破壞程度直接相關(guān)。如1962年的墨西哥地震，在離震中距200～300 km的墨西哥市，記錄地震動(dòng)峰值加速度僅為0.05g，卻造成了非常嚴(yán)重的震害[1]。

地震動(dòng)頻譜特性按照定義方式可以分為基于反應(yīng)譜定義的頻譜特性參數(shù)和基于地震動(dòng)本身定義的頻譜特性參數(shù)[2-6]。目前，常以5%阻尼比加速度反應(yīng)譜卓越頻率反映地震動(dòng)頻譜特性。對(duì)于傅里葉幅值譜許多學(xué)者做了研究，雖能體現(xiàn)地震動(dòng)時(shí)程中所有頻率特征，但還沒(méi)有從中提取能準(zhǔn)確代表地震動(dòng)頻率成份的穩(wěn)定值[7-9]。Sucuoglu等[10]認(rèn)為地震動(dòng)峰值加速度與地震動(dòng)速度峰值的比值(Peak Ground Velocity/Peak Ground Acceleration,PGA/PGV)可代表一定的頻譜特性。潘毅等[11]基于PGA/PGV值的變化分析了頻譜特性對(duì)基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。Rathje等[12]定義了地震動(dòng)的平均周期，并用306條強(qiáng)震記錄進(jìn)行了驗(yàn)證。沈紹建等[13]用加速度反應(yīng)譜平均周期表征頻譜特性，分析了頻譜特性對(duì)結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)的影響。徐菁菁[14]將具有復(fù)雜頻譜特性的真實(shí)地震動(dòng)簡(jiǎn)化成激勵(lì)周期各異的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，分析了結(jié)構(gòu)的損傷演化規(guī)律。

應(yīng)當(dāng)指出的是，目前關(guān)于地震動(dòng)頻譜特性的描述尚不統(tǒng)一，不同描述得到的地震動(dòng)頻譜特性與結(jié)構(gòu)損傷的相關(guān)性不同，解決地震動(dòng)頻譜特性與結(jié)構(gòu)損傷的相關(guān)性問(wèn)題，將有助于研究隔震結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力魯棒性問(wèn)題。因此，本文根據(jù)筆者團(tuán)隊(duì)在所做幅頻相關(guān)性規(guī)律研究的基礎(chǔ)上[15]，提出了一種體現(xiàn)地震動(dòng)頻譜特性的Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度指標(biāo)，綜合考慮該指標(biāo)和結(jié)構(gòu)振型影響提出了類共振放大系數(shù)，運(yùn)用Perform-3D進(jìn)行建模分析，探討了結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)與類共振放大系數(shù)的相關(guān)性。

1 Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度概念及公式

1.1 地震動(dòng)平均頻率

參考Rathje等的研究對(duì)平均周期的定義方式，考慮地震動(dòng)整體頻譜特征頻率參數(shù)，定義平均頻率為

(1)

式中：f*為地震動(dòng)平均頻率；fi為0.25～20 Hz的離散頻率點(diǎn)；Ci為頻率點(diǎn)fi對(duì)應(yīng)的離散傅里葉變換幅值。

1.2 Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度的概念

對(duì)任意一條地震動(dòng)，其可以看作是無(wú)限多個(gè)離散頻率的傅里葉級(jí)數(shù)分量的疊加，且每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)不同的傅里葉幅值。對(duì)任意一個(gè)結(jié)構(gòu)，其有一階、二階、三階等不同階的振型頻率。根據(jù)共振原理，當(dāng)激勵(lì)頻率近似等于結(jié)構(gòu)某一階固有頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)都將以更大的振幅做振動(dòng)[16]。傅里葉幅值較大的一批頻率點(diǎn)的激勵(lì)值對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)起主導(dǎo)作用，且這些頻率點(diǎn)與結(jié)構(gòu)固有頻率點(diǎn)越接近，對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的放大作用越強(qiáng)，傅里葉幅值越大，相應(yīng)的動(dòng)力響應(yīng)越大。據(jù)此，本文同時(shí)考慮了地震動(dòng)傅里葉幅值、傅里葉頻率和結(jié)構(gòu)各階振型頻率的貼近程度，提出了Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度的概念，其表達(dá)式為

(2)

1.3 Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度的典型表達(dá)式

本文考慮傅里葉幅值譜中最大的三個(gè)頻率點(diǎn)和介于0.25～20 Hz的頻率點(diǎn)定義了三大峰值頻率和平均頻率，地震動(dòng)各頻率點(diǎn)和傅里葉幅值的取值如圖1所示。Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度的三種典型表達(dá)式分別為：

圖1 頻率和傅里葉幅值示意圖Fig.1 Schematic diagram of frequency and Fourier amplitude

(1)Fourier譜強(qiáng)度卓越頻率匹配度

(3)

式中：fp為地震動(dòng)卓越頻率；Cp為fp對(duì)應(yīng)的傅里葉幅值；C1,C2,C3為傅里葉譜中三個(gè)最大傅里葉幅值；Cmin為C1,C2,C3的最小值；f1,f2,f3分別為結(jié)構(gòu)一階、二階、三階振型頻率；c=max{|fp-fj|}。

(2)Fourier譜強(qiáng)度三大峰值頻率匹配度

(4)

(3)Fourier譜強(qiáng)度平均頻率匹配度

(5)

式中；f*為地震動(dòng)平均頻率；C*為f*對(duì)應(yīng)的傅里葉幅值；Cmax為C1,C2,C3中的最大值；e=max{|f*-fj|}。

1.4 單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)

地震動(dòng)頻率成分非常復(fù)雜，為了研究地震動(dòng)各頻率組分對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的作用，根據(jù)徐菁菁的研究對(duì)單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)函數(shù)的定義，給出生成單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)的公式為

(6)

Y(t)=0.4A(t)sin(2πft)

(7)

式中：t為時(shí)間，間隔取0.01 s；Y(t)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)在t時(shí)刻的加速度值；f為生成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率。

2 結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)概念及公式

2.1 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)損傷模型

本文采用累積損傷極限狀態(tài)法，采用Park等[17]提出的地震彈塑性變形與累計(jì)滯回耗能線性組合地震損傷模型，該模型能夠較好地反映結(jié)構(gòu)在罕遇地震時(shí)的損傷情況。上部結(jié)構(gòu)的地震損傷模型為

(8)

式中：δi max為第i層最大位移；δui為單調(diào)加載下第i層極限變形；Qyi為第i層屈服強(qiáng)度；ΣEi為第i層累計(jì)滯回耗能；β為非負(fù)常數(shù)，本文取0.2[18]。

對(duì)隔震層而言，該模型無(wú)法反映其壓剪相關(guān)性對(duì)隔震層損傷的影響及隔震支座拉壓特性差異及支座的受拉損傷，而此兩方面均為影響隔震層損傷必須考慮的。根據(jù)杜東升等[19]在Park-Ang損傷模型基礎(chǔ)上綜合彈塑性變形與累計(jì)滯回耗能，提出隔震層損傷模型為

(9)

2.2 結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)

結(jié)構(gòu)有多階振型頻率，而且各階振型頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷時(shí)的影響也不相同。本文以結(jié)構(gòu)損傷模型為基礎(chǔ)，考慮了結(jié)構(gòu)各階振型頻率的影響，借鑒振型參與系數(shù)的定義[20]，提出了結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)的概念，其表達(dá)式為

(10)

式中：ηj為結(jié)構(gòu)前j階振型頻率影響系數(shù)矩陣；Dj為前j階振型頻率對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)結(jié)構(gòu)的損傷指數(shù)；a=max{D1,D2,…,Dj}。

3 類共振放大系數(shù)概念及公式

根據(jù)類共振的原理[21]，綜合考慮Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度和結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)兩者對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的影響，提出類共振放大系數(shù)的概念。卓越頻率類共振放大系數(shù)、三大峰值頻率類共振放大系數(shù)和平均頻率類共振放大系數(shù)的表達(dá)式分別如下：

(1)卓越頻率類共振放大系數(shù)

(11)

(2)三大峰值頻率類共振放大系數(shù)

(12)

(3)平均頻率類共振放大系數(shù)

(13)

4 有限元模型建立

4.1 地震動(dòng)選取

地震動(dòng)有幅值、頻譜和持時(shí)三個(gè)特性，為了分析頻譜特性與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的關(guān)系，且在分析時(shí)避免地震動(dòng)三要素中的幅值和持時(shí)對(duì)二者關(guān)系的影響，在選取地震動(dòng)時(shí)，選取持時(shí)都在一定范圍內(nèi)的地震動(dòng)，加速度調(diào)幅至相同。地震動(dòng)信息見(jiàn)表1。

表1 地震動(dòng)信息Tab.1 The information of earthquake records

4.2 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)模型建立

利用Perform-3D建立一個(gè)6層鋼筋混凝土基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，其隔震層平面布置及梁柱配筋如圖2所示。結(jié)構(gòu)總高度19.8 m，各層層高均為3.3 m。抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計(jì)地震分組為第二組，Ⅱ類場(chǎng)地，建筑類別為乙類?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為C30，縱筋為HRB400級(jí)，箍筋為HPB300級(jí)。板厚為150 mm，板面恒荷載為5 kN/m2(包括樓板自重)，活荷載為2 kN/m2。隔震支座采用LRB500，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)振型頻率見(jiàn)表2，隔震支座參數(shù)見(jiàn)表3和表4。

圖2 隔震層平面布置及梁柱配筋圖Fig.2 Plan layout of isolation layer and reinforcement details

混凝土本構(gòu)考慮約束區(qū)和非約束區(qū)兩種，約束區(qū)混凝土本構(gòu)采用Mander理論，非約束區(qū)混凝土本構(gòu)采用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范：GB 50010—2010》附錄C.2.4中單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。鋼筋本構(gòu)采用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范：GB 50010—2010》附錄C.1.2中有屈服點(diǎn)鋼筋本構(gòu)關(guān)系。

表2 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)振型頻率Tab.2 The modal frequency of based-isolated structure

表3 隔震支座尺寸參數(shù)Tab.3 The size parameters of the seismic isolator

表4 隔震支座性能參數(shù)Tab.4 The performance parameters of the seismic isolator

4.3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)生成

根據(jù)本文建立的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)前三階振型頻率的大小，首先用式(6)、式(7)生成三條單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)，計(jì)算結(jié)構(gòu)在各階振型頻率時(shí)的損傷指數(shù)，然后用式(10)計(jì)算結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)。簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)程如圖3所示。

圖3 單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)加速度時(shí)程Fig.3 Acceleration history curves of harmonic excitation of single frequency

5 結(jié)果與分析

5.1 振型頻率影響系數(shù)

將圖3中的三條單頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)加速度時(shí)程分別作用到已建立的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)上，并通過(guò)式(10)計(jì)算前三階振型頻率影響系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 振型頻率影響系數(shù)Fig.4 Influence coefficient of modal frequency

從圖4可知，對(duì)于本文建立的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，采用振型頻率影響系數(shù)的計(jì)算方法求得結(jié)構(gòu)前三階振型頻率影響系數(shù)之比為1∶0.117∶0.025，第一階振型頻率影響占前三階的87.6%，第二階振型頻率影響占前三階的10.2%，第三階振型頻率影響占前三階的2.2%。各階振型頻率對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷都有影響，且第一階振型頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷影響最大。

5.2 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)

基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)損傷分為隔震層損傷和上部結(jié)構(gòu)損傷兩部分，各構(gòu)件的損傷同時(shí)考慮變形和耗能雙參數(shù)指標(biāo)，利用式(8)、式(9)分別計(jì)算上部結(jié)構(gòu)和隔震層的損傷指數(shù)。地震動(dòng)平均頻率與損傷指數(shù)的關(guān)系如圖5所示。

從圖5可知，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)平均頻率越接近基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)第一振型頻率時(shí)，隔震層和上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)就越大，對(duì)隔震層和上部結(jié)構(gòu)造成的破壞也就越嚴(yán)重；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)平均頻率越遠(yuǎn)離基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)第一振型頻率時(shí)，隔震層和上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)就越小，對(duì)隔震層和上部結(jié)構(gòu)造成的破壞也就越輕微。所以，地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷與其平均頻率和結(jié)構(gòu)振型頻率有關(guān)。比較圖5(a)和圖5(b)可知，隔震層損傷指數(shù)最大值為1.854，平均損傷指數(shù)為0.461，上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)最大值為1.408，平均損傷指數(shù)為0.166，隔震層損傷指數(shù)整體大于上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)，所以可以用隔震層的損傷表示基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的損傷。

圖5 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)與地震動(dòng)平均頻率的關(guān)系Fig.5 The relationship between damage index of base-isolated structure and f*

5.3 類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)性

根據(jù)相關(guān)性原理[22]，采用皮爾森相關(guān)性系數(shù)反映類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，計(jì)算公式為

(14)

式中：r為相關(guān)系數(shù)；X為類共振放大系數(shù)；Y為與類共振放大系數(shù)對(duì)應(yīng)的損傷指數(shù)；N為離散點(diǎn)的數(shù)量。

對(duì)于確定的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，振型頻率影響系數(shù)即可確定，每一條地震動(dòng)可以計(jì)算出一個(gè)損傷指數(shù)，每一條地震動(dòng)與振型頻率影響系數(shù)可以分別計(jì)算出一個(gè)卓越頻率類共振放大系數(shù)、一個(gè)三大峰值頻率類共振放大系數(shù)和一個(gè)平均頻率類共振放大系數(shù)。類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)性如圖6所示。

圖6 類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)性Fig.6 The correlativity between damage index and magnification factor of pseudo-resonance

從圖6可知，隨著類共振放大系數(shù)的增大，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)也逐漸增大，損傷指數(shù)最小值為0.040，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于基本完好狀態(tài)，最大值為1.854，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于倒塌狀態(tài)，所以類共振放大系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷影響很大。在一定類共振放大系數(shù)區(qū)域內(nèi)，損傷指數(shù)存在離散性，結(jié)構(gòu)不僅會(huì)出現(xiàn)較大損傷，也會(huì)出現(xiàn)較小損傷，這是由地震動(dòng)本身的復(fù)雜性造成的。

從圖6(a)可知，卓越頻率類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)系數(shù)為0.441，說(shuō)明相關(guān)性很差，離散性較大，用卓越頻率不能代表地震動(dòng)頻譜特性；從圖6(b)可知，三大峰值類共振頻率放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)系數(shù)為0.649，說(shuō)明相關(guān)性較好，離散性較小，用三大峰值頻率能夠代表地震動(dòng)頻譜特性；從圖6(c)可知，平均頻率類共振放大系數(shù)與損傷指數(shù)相關(guān)系數(shù)為0.750，說(shuō)明相關(guān)性很好，離散性很小，用平均頻率能較好地代表地震動(dòng)頻譜特性。

6 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)地震動(dòng)頻譜特性及頻譜特性與隔震結(jié)構(gòu)損傷相關(guān)性的研究，得到以下結(jié)論：

(1)結(jié)構(gòu)振型頻率影響系數(shù)反映了各階振型頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的影響程度，通過(guò)模型算例得到基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)前三階振型頻率影響系數(shù)之比為1 ∶0.117 ∶0.025，第一階振型頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的影響最大。

(2)Fourier譜強(qiáng)度頻率匹配度反映了地震動(dòng)傅里葉各離散頻率和結(jié)構(gòu)各階振型頻率的契合程度，F(xiàn)ourier譜強(qiáng)度頻率匹配度越大，即契合程度越高，說(shuō)明結(jié)構(gòu)發(fā)生類共振的概率越大，由于發(fā)生類共振而導(dǎo)致的隔震層損傷指數(shù)及上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)就越大，而且隔震層損傷指數(shù)整體大于上部結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)。

(3)類共振放大系數(shù)反映了地震動(dòng)頻譜特性對(duì)結(jié)構(gòu)造成損傷的程度，隨類共振放大系數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)也增大，且卓越頻率、三大峰值頻率和平均頻率放大系數(shù)均有此相似規(guī)律。相比于卓越頻率類共振放大系數(shù)和三大峰值頻率類共振放大系數(shù)，平均頻率類共振放大系數(shù)與結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)相關(guān)性最好，用平均頻率能夠較好地描述地震動(dòng)頻譜特性。