運俠倫，梅雪松，姜歌東，胡振邦，張尊浩

(1.西安交通大學(xué) 陜西省智能機(jī)器人重點實驗室，西安 710049；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造與系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049；3.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049)

高端數(shù)控機(jī)床是一個國家工業(yè)制造水平的重要體現(xiàn)，高速高精密的電主軸單元是高端數(shù)控機(jī)床的核心功能部件。電主軸單元的動態(tài)特性會直接影響機(jī)床的加工精度和加工效率，但是由于制造材料質(zhì)量分布不均、裝配因素以及加工過程中的自動換刀等問題都會造成主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在質(zhì)量偏心，在高速運轉(zhuǎn)的過程中，產(chǎn)生的離心力作用會使得主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動過大，不僅會降低加工質(zhì)量和加工效率，還會造成噪聲過大，甚至?xí){主軸的使用壽命。如何更加快速、高效的抑制主軸振動將是主軸加工技術(shù)的關(guān)鍵問題。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的動平衡方法研究由來已久，20世紀(jì)20年代，Jeffcott就論證了對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動平衡的必要性。Thearle[1]于1934年首次提出了影響系數(shù)法，這是一種試驗方法，通過多次加試重的方式得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的加重影響系數(shù)，從而實現(xiàn)不平衡量的辨識，這種方法由于簡單有效引起了廣泛的關(guān)注，20世紀(jì)中葉，Goodman等[2-3]對這一方法都做了詳細(xì)的論述和研究。隨著影響系數(shù)法在旋轉(zhuǎn)機(jī)械平衡測試中的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)很多學(xué)者對其進(jìn)行了研究和改進(jìn)，章璟旋等[4]對最小二乘影響系數(shù)法進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，雷文平等[5]采用基于雙傳感器的信息融合技術(shù)對傳統(tǒng)的影響系數(shù)法進(jìn)行了改進(jìn)，克服了傳統(tǒng)影響系數(shù)法受傳感器安裝弊端的影響。王星星等[6]基于遺傳交叉因子的粒子群優(yōu)化算法改進(jìn)了影響系數(shù)法，并進(jìn)行了理論和實驗研究。但是，這種方法需要多次停機(jī)，而且頻繁試重也會對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)造成不良影響，所以Bishop[7]對以模態(tài)理論為基礎(chǔ)的模態(tài)平衡法進(jìn)行了研究，這種方法停機(jī)次數(shù)少，但是各階模態(tài)振型獲取不易，對平衡技術(shù)人員素質(zhì)要求極高。之后，無試重動平衡方法被提出，這種方法不需要通過試重就可以辨識不平衡量的大小和相位，保證了自動化加工過程，可以有效提高加工效率。Gasch對單跨轉(zhuǎn)子無試重動平衡方法進(jìn)行了深入的研究，通過將不平衡量作為模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識別實現(xiàn)了不平衡參數(shù)辨識。賓光富等[8]基于動力學(xué)模型對多跨轉(zhuǎn)子軸系的無試重動平衡方法進(jìn)行了研究，并且采用最小二乘法求取了平衡配重。張西寧等[9]基于粒子群平衡配重優(yōu)化技術(shù)提出了軸系全息平衡方法。章云等[10-11]基于動力學(xué)模型和模態(tài)分析理論也提出了無試重動平衡方法，對轉(zhuǎn)子質(zhì)量連續(xù)分布的機(jī)床主軸的不平衡識別做了研究。

上述方法有些需要多次啟停試重，有些過程繁瑣，計算量大，實用性不強(qiáng)。本文通過建立試驗轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元動力學(xué)模型，通過動力學(xué)模型與模態(tài)試驗快速辨識主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量傳遞特性，通過能量傳遞系數(shù)計算出不平衡矢量，利用矢量合成原理對配重質(zhì)量和配重方位進(jìn)行尋優(yōu)匹配，可以快速、高效的實現(xiàn)主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平衡，對于實現(xiàn)智能化、自動化加工過程具有重要的意義。

1 主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳遞特性辨識原理

主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以離散為多自由度系統(tǒng)，由于存在不平衡激勵，轉(zhuǎn)子在高速轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生慣性離心力，從而持續(xù)強(qiáng)迫轉(zhuǎn)子振動。如式(1)所示為主軸系統(tǒng)動力學(xué)微分方程

(1)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；G為陀螺矩陣；K為剛度矩陣；S為廣義坐標(biāo)矢量，此處為系統(tǒng)的位移向量；F為作用在轉(zhuǎn)子上的廣義力，此處為由不平衡激勵引起的離心力。假設(shè)轉(zhuǎn)速為ω，那么不平衡激振力可以表示為

F=u·ejω·t

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，易得不平衡振動響應(yīng)S為

S=r·e[j(ω·t+φ)]

(3)

式中：r和u分別為不平衡響應(yīng)和不平衡量；φ為滯后角。聯(lián)立式(1)～式(3)可得

α-1·r=u

(4)

α=[K-ω2M+Gω+iωC]-1·e(-jφ)

(5)

式中：α為加重影響系數(shù)矩陣。

由式(5)可知，轉(zhuǎn)子軸系的加重影響系數(shù)是由質(zhì)量、剛度、滯后角以及轉(zhuǎn)速共同決定的，也就是說轉(zhuǎn)子軸系的加重影響系數(shù)是由轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的，是反映轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能量傳遞特性的固有參數(shù)。因此，通過建立準(zhǔn)確的動力學(xué)模型獲取轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)，則可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)子傳遞特性的準(zhǔn)確辨識，從而根據(jù)求得的加重影響系數(shù)矩陣則可以計算平衡矢量為

Q=-α-1·A

(6)

式中：Q為平衡矢量；A為特定轉(zhuǎn)速下拾取的不平衡振動響應(yīng)矢量，負(fù)號為平衡矢量Q與不平衡矢量之間的相位相差180°。由于配重盤上的配重孔方位固定，同時配重螺釘質(zhì)量有限，所以在獲得轉(zhuǎn)子軸系的動力學(xué)能量傳遞系數(shù)后，應(yīng)用矢量合成原理對配重質(zhì)量和配重方位進(jìn)行尋優(yōu)匹配，能夠非?？焖俚墨@取準(zhǔn)確、有效的配重方案。計算流程圖如圖1所示。

圖1 矢量匹配平衡方法流程圖Fig.1 Schematic diagram of vector matching balance method

2 主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元建模

轉(zhuǎn)子軸系是電主軸的核心部分，軸系主要有轉(zhuǎn)子和軸承組成，但是由于電主軸內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以軸系通常進(jìn)行階梯式設(shè)計來滿足主軸內(nèi)部的結(jié)構(gòu)設(shè)計。本課題組設(shè)計的實驗電主軸180SD35Q15的物理模型，如圖2所示。

圖2 電主軸180SD35Q15的模型Fig.2 180SD35Q15 model

電主軸轉(zhuǎn)子部分進(jìn)行離散化處理，可以將其沿軸線方向劃分為圓盤、軸段和軸承座等單元，圓盤質(zhì)量單元的運動廣義坐標(biāo)為其與軸段配合處，軸段單元處的節(jié)點的位移向量{u1d}=[x,qy]T和{u2d}=[y,-qx]T。則圓盤運動微分方程為

(7)

式中：[Md]為圓盤質(zhì)量矩陣；[J]為陀螺矩陣；{Q1d}，{Q2d}為相應(yīng)的廣義力，包括兩端彈性軸所作用的力和力矩。彈性軸段單元的廣義坐標(biāo)是兩端節(jié)點的位移，即

(8)

軸段單元的運動微分方程為[12]

(9)

式中：[Ms]為軸段質(zhì)量單元矩陣，[Ms]=[MsT]+[MsR]；[Js]為軸段回轉(zhuǎn)矩陣；[Ks]為軸段單元剛度矩陣；{Q1s}，{Q2s}為廣義力向量，它包括相鄰軸段的作用力和力矩。當(dāng)軸段單元有連續(xù)分布的偏心距ex(s)和eh(s)時，則還包括不平衡廣義力。

建立軸承的擬靜力學(xué)分析模型，通過牛頓-拉夫遜法求得主軸軸承參數(shù)初值[13]，通過模態(tài)測試實驗和頻率方程對初值進(jìn)行修正，為主軸傳遞特性的精確辨識提供準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。對于主軸坐標(biāo)系而言，在x-z平面內(nèi)，軸承作用于軸頸節(jié)點處的廣義力是

(10)

如不考慮軸承座的等效質(zhì)量，則系統(tǒng)的位移向量為

(11)

綜合圓盤及軸段單元的運動微分方程，可得到主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程

(12)

對于質(zhì)量矩陣[M]、回轉(zhuǎn)矩陣W[J]和剛度矩陣[Kx]，[Ky]，其組裝時按節(jié)點自由度順序組裝。利用上述的方法對圖2所示的實驗室主軸進(jìn)行有限元建模，可以將轉(zhuǎn)子劃分為70個節(jié)點，形成69個單元，以轉(zhuǎn)子軸心為軸建立相應(yīng)坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，如圖3所示。

圖3 主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型Fig.3 Finite element model of spindle rotor system

3 實驗分析與驗證

3.1 主軸模態(tài)測試

應(yīng)用同側(cè)激勵同側(cè)拾取響應(yīng)的錘擊法對主軸動力學(xué)模型進(jìn)行實驗驗證[14]，如圖4(a)所示為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率測試實驗示意圖，頻響函數(shù)計算采用功率譜函數(shù)進(jìn)行計算，計算原理為

(13)

式中：H(ω)為頻響函數(shù)；S(ω)為輸入信號；F(ω)為輸出信號；*為共軛；GSF=S(ω)F*(ω)為對應(yīng)時間信號的互功率譜函數(shù)；GFF=F(ω)F*(ω)為對應(yīng)時間信號的自功率譜函數(shù)。

圖4 主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率測試Fig.4 Natural frequency test

如圖4(b)所示為實驗測試結(jié)果，與計算結(jié)果的對比分析見表1，從表1可知，計算結(jié)果和實驗結(jié)果非常接近，證明仿真效果良好，從而說明動力學(xué)仿真參數(shù)具有可信度，可以用來計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量傳遞系數(shù)。

表1 固有頻率的仿真和試驗對比分析Tab.1 Comparison between simulation and experiment of natural frequency

3.2 主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動平衡實驗

根據(jù)本文提出的動平衡方法在前文提到的主軸動平衡實驗臺上進(jìn)行實驗驗證，測試示意圖如圖5所示。主軸型號為180SD35Q15，主軸前端伸出端設(shè)置有配重盤，沿圓周方向均勻分布12個配重螺紋孔，用來實現(xiàn)主軸轉(zhuǎn)子的平衡配重,實驗轉(zhuǎn)速為18 000 r/min。

圖5 主軸系統(tǒng)動平衡實驗Fig.5 Dynamic balance experiment

首先通過有限元建模獲取主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并代入式(5)，得到主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)能量傳遞系數(shù)為K=-4.323 6+0.159 3i,利用矢量合成原理對配重方位和配重質(zhì)量尋優(yōu)搜索，就可以快速得到配重為7 g·mm∠240°，10.5 g·mm∠0°，在對應(yīng)的配重孔上添加配重。不平衡特征主要表現(xiàn)在工頻上，如圖6(a)所示為采集的原始信號。由圖6(a)可知，原始信號中混疊了很多其他成分，必須對原始信號進(jìn)行濾波降噪處理，本文采用諧波小波對原始信號進(jìn)行濾波降噪處理，濾波后的工頻時域原始信號如圖6(b)所示。

如圖7所示為原始時域信號、無試重方法配重后時域信號以及兩次影響系數(shù)法平衡后的時域信號對比圖，從圖中可以看出，兩次影響系數(shù)法和矢量匹配法都顯著的降低了振動，顯然，矢量匹配法的效果更好。

圖6 信號濾波前后對比Fig.6 Signal filtering

圖7 平衡前后時域信號對比Fig.7 Comparison time domain signal balancing before and after

如圖8所示為濾波后原始信號、影響系數(shù)法以及無試重方法的工頻幅值對比。從圖8可知，第一次采用影響系數(shù)法進(jìn)行配重，振動幅值由原始的1.566 μm下降到1.459 μm，下降幅度為6.83%，抑振效果不明顯，重新調(diào)整試重后進(jìn)行第二次影響系數(shù)法配重，振動幅值由原始的1.566 μm下降到0.945 3 μm，下降幅度為39.64%。而采用本文所述的矢量匹配平衡方法振動幅值從1.566 μm下降到0.789 8 μm，下降幅度達(dá)到49.57%，抑振效果相較于影響系數(shù)法更好，而且無需試重，一次配重成功，有效的縮短了平衡時間。

圖8 兩種方法平衡前后工頻幅值對比Fig.8 Comparison of two methods before and after balance

如圖9所示為提取原始信號、無試重方法配重后以及兩次影響系數(shù)法配重后軸心軌跡對比圖。從圖9可知，無試重方法在X，Y兩個方向上都顯著降低了工頻振動幅值，相較于影響系數(shù)法，無試重方法在兩個方向上的效果都非常明顯。

圖9 工頻軸心軌跡對比Fig.9 Comparison of axis orbit

此外，分別在15 000 r/min和21 000 r/min時進(jìn)行了矢量匹配平衡方法和影響系數(shù)法的對比實驗研究，實驗結(jié)果歸納如表2所示。

表2 矢量匹配平衡法和影響系數(shù)法對比實驗Tab.2 Comparison experiment of vector matching balance method and influence coefficient method

從表2可知，在15 000 r/min和21 000 r/min時，采用矢量匹配平衡方法可以有效的抑制振動，振幅下降比例分別達(dá)到64.85%和60.59%，無需試重且只需一次配重，效率非常高；與之相對應(yīng)的影響系數(shù)法振幅下降比例分別為43.05%和84.93%，雖然影響系數(shù)法在21 000 r/min時平衡精度較好，但是由于試重的限制，需要分別進(jìn)行2次和3次試重配重，平衡效率低下。

4 結(jié) 論

抑制主軸振動可以有效改善加工質(zhì)量，完善自動化加工環(huán)節(jié)，提高加工效率，動平衡方法的研究對提高旋轉(zhuǎn)機(jī)械的運轉(zhuǎn)特性具有重要的意義。本文通過推導(dǎo)證明了加重影響系數(shù)其實是由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)所決定的，能夠反映系統(tǒng)能量傳遞特性的參數(shù)，因此提出了利用動力學(xué)模型辨識轉(zhuǎn)子傳遞特性的矢量匹配平衡方法，結(jié)論如下：

(1)轉(zhuǎn)子加重影響系數(shù)是由轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)特性參數(shù)所決定，是能夠反映轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量傳遞特性的參數(shù)。應(yīng)用轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)精確辨識轉(zhuǎn)子傳遞特性，聯(lián)立采集的初始振動就可以計算得到不平衡量，并且利用矢量合成原理尋優(yōu)匹配，可以快速獲取有效的配重方案。

(2)針對180SD35Q15高速磨削主軸建立了有限元模型，并且利用模態(tài)測試試驗修正了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型。

(3)分別在15 000 r/min，18 000 r/min以及21 000 r/min時進(jìn)行了影響系數(shù)法和矢量匹配平衡方法的對比實驗，發(fā)現(xiàn)相較于影響系數(shù)法，矢量匹配平衡法優(yōu)勢盡顯，不僅平衡精度很好，而且不需要試重，只需一次配重就可以實現(xiàn)主軸振動抑制，平衡效率很高。

此外，這種方法可以在不停機(jī)的情況下進(jìn)行多次平衡，逐步降低不平衡振動，因此其非常適用于噴液式等加重式的在線動平衡系統(tǒng)，可以大大的提高在線平衡時的效率和精度，這也是我們課題組下一步的研究工作。