崔建國，楊天智,2，陳立群,3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300072；3.上海大學(xué) 理學(xué)院，上海 200444)

電子二極管的出現(xiàn)揭開了電器時代的序幕。如今，電子二極管已經(jīng)成為我們生活中不可或缺的一部分。受其啟發(fā)，對其它載體的單向操控研究開始受到重視。光二極管和熱二極管的研究應(yīng)運而生[1-4]。聲波在自然界和生活中是非常常見的能量載體。因而，研究聲波的單向操控將具有重要的意義和價值。例如，利用聲單向傳遞的特點可以減少兩個方向聲波之間的干擾，實現(xiàn)更清晰的聲波信號。這種整流效果，對提高聲波的無損探測，醫(yī)學(xué)高精度成像等具有很大的應(yīng)用前景[5]。

在線性聲學(xué)領(lǐng)域中，聲波在同一介質(zhì)中的傳遞具有互易性，即聲波在兩個相反方向傳播具有相同的傳播特征。因此，如果設(shè)計一個具備聲單向傳遞特點的系統(tǒng)，該系統(tǒng)必然是不對稱的。為實現(xiàn)聲波的單向傳遞，研究者們進行了很多的設(shè)計研究[6-10]。南京大學(xué)程建春課題組將聲子晶體與非線性聲學(xué)媒介組合，設(shè)計了具備聲波單向傳遞特征的系統(tǒng)。Narisetti等[11]利用攝動法預(yù)測了一維非線性周期結(jié)構(gòu)中波的傳遞特性。此外，Boechler等[12-16]對聲波在顆粒周期結(jié)構(gòu)的傳播進行了大量的研究。Geniet等[17]研究了非線性鏈中能量的傳遞，并發(fā)現(xiàn)在能量-聲波幅值圖中隨著幅值的增大能量發(fā)生了突變的現(xiàn)象，他們將其命名為非線性超傳遞現(xiàn)象(Nonlinear Supratransmission)。之后，研究者又對這種現(xiàn)象進行了進一步地研究[18-21]。通過對非線性超傳遞現(xiàn)象的研究，我們意識到可以配置系統(tǒng)左右兩端不同的激勵幅值來實現(xiàn)聲波的單向傳遞現(xiàn)象。

本文將球顆粒鏈作為研究載體，對非線性超傳遞現(xiàn)象進行了研究，并發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)了不同的條件下存在不同的動力學(xué)特性。實現(xiàn)了顆粒材料中響應(yīng)可調(diào)控單向傳遞。

1 模型與運動方程

為研究振動幅值對聲波單向傳遞的影響，我們建立了一個一維的球顆粒鏈模型。其中，球顆粒間的接觸方式為Hertz接觸[22]，它是一種完全彈性接觸模式，能很好地描述實際接觸時的情形。模型圖如圖1所示。

圖1 球顆粒鏈模型圖Fig.1 Schematic of the granular chains

為方便描述，我們給每個小球進行編號(見圖1)，球顆粒從左向右對應(yīng)的編號分別為1～N。對第i個球顆粒運用哈密頓原理，我們可以得到一個二階微分方程為

(1)

式中：ηi為第i個球顆粒的形變量。當ηi>0時，ηi-1=δ+ui-1-ui；當ηi≤0時，ηi=0。另外，式(1)中i的取值范圍為2～N-1。ui為球顆粒偏離初始平衡位置的位移?？紤]首尾球顆粒特殊的邊界條件，在起始端施加一個聲波激勵，在末端施加一個定常力F0。因而，首尾的方程分別為

(2)

式中：當ηi>0時，η0=δact+Bcos(2πft)-u1；反之ηi=0。本文采用諧波激勵的方式模擬振動形態(tài)，Bcos(2πft)為激勵項，B為激勵幅值，f為激勵頻率。在式(1)和式(2)中

(3)

式中：p和pact分別為球-球Hertz接觸和球-面Hertz接觸中的系數(shù)。文中E為球顆粒的彈性模量；R為半徑；υ為泊松比；m為質(zhì)量；δact和δ為球顆粒的初始形變，可以用式(4)中的Hertz接觸法則計算。

δ=(F0/p)2/3

(4)

2 數(shù)值計算

2.1 計算方法及參數(shù)選定

運用Runge-Kutta法對顆粒鏈系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬，并對顆粒鏈的非線性超傳遞現(xiàn)象進行了研究。在數(shù)值模擬中我們選用鉛球作為模擬材料，因其固有頻率較低可以降低計算中的頻率大小，故而可以適當增大步長，節(jié)約計算時間。鉛球的參數(shù)為，球顆粒數(shù)目N=50，彈性模量E=17×109Pa，泊松比υ=0.42，半徑R=0.02 m，密度ρ=11.34×103kg/m3。另外，定常力F0=8 N。則，球顆粒的初變形δ0=3.23×10-6m。

2.2 計算結(jié)果與分析

2.2.1 顆粒鏈超傳遞研究

圖2 顆粒鏈頻譜圖Fig.2 Frequency spectrum of granular chains

從圖2可知，頻率自然分割成三個區(qū)域，對比電學(xué)領(lǐng)域中超傳遞現(xiàn)象的研究[24]，我們將其定義為下禁帶(Lower Forbidden Band)，通帶(Pass Band)和上禁帶(Upper Forbidden Band)。簡而言之，超傳遞的產(chǎn)生與激勵頻率有關(guān)，處于下禁帶和上禁帶的頻率發(fā)生超傳遞較為困難，處于通帶內(nèi)的頻率具有良好的超傳遞現(xiàn)象產(chǎn)生。

我們在這三個不同區(qū)域內(nèi)分別選取了三個頻率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)對聲波在顆粒材料中的超傳遞現(xiàn)象做進一步研究。首先，我們數(shù)值模擬計算出三個頻率下平均動能(速度均方值)-激勵幅值-球顆粒編號的三維關(guān)系圖，如圖3(100 Hz)、圖4(990 Hz)和圖5(1 800 Hz)所示。

頻率處于下禁帶區(qū)域(見圖3)時，我們發(fā)現(xiàn)，能量在周期鏈中呈周期分布的特點，并且每個球顆粒的響應(yīng)隨激勵幅值的變化沒有發(fā)生突變現(xiàn)象，即沒有發(fā)生非線性超傳遞現(xiàn)象。頻率處于通帶(見圖4)時，在小激勵幅值(小于0.04δ0)下系統(tǒng)能量在周期鏈中有周期分布的特點，但當激勵幅值增大到一定值(0.05δ0)后，能量在顆粒鏈中近似均勻分布，并且系統(tǒng)能量發(fā)生突變，產(chǎn)生了超傳遞現(xiàn)象。對圖5進行分析，我們可以發(fā)現(xiàn)頻率處于上禁帶時，在小激勵幅值(小于0.09δ0)下周期顆粒鏈兩端的能量較小，而隨著激勵幅值繼續(xù)增大，除起始端的球顆粒外，其余顆粒的能量響應(yīng)極小，能量在周期鏈中被耗散。

圖3 下禁帶(100 Hz)三維圖Fig.3 3D plot for the lower forbidden band (100 Hz)

圖4 通帶(990 Hz)三維圖Fig.4 3D plot for the pass band (990 Hz)

圖5 上禁帶(1 800 Hz)三維圖Fig.5 3D plot for the upper forbidden band (1 800 Hz)

我們選取三個不同頻率下球顆粒鏈首尾兩端球顆粒的響應(yīng)，將其放置在同一個坐標系下，得到如圖6所示的能量-激勵幅值圖。從圖6可知，當頻率處于下禁帶時，顆粒鏈首尾兩端小球(編號1和50)的能量響應(yīng)基本一致，且沒有發(fā)生超傳遞現(xiàn)象；當頻率處于通帶時，顆粒鏈首尾兩端小球均有超傳遞現(xiàn)象發(fā)生；當頻率處于上禁帶時，顆粒鏈起始端能量響應(yīng)與下禁帶相似，但末端小球的能量響應(yīng)隨著激勵幅值的增大出現(xiàn)一個急劇下降的趨勢，能量在顆粒鏈中發(fā)生被耗散的現(xiàn)象，與超傳遞現(xiàn)象恰好相反。

圖6 不同頻率下的能量-激勵幅值圖Fig.6 Energy level as a function of the driving amplitude

2.2.2 聲波的非對稱傳遞

通過對周期顆粒鏈的研究，我們發(fā)現(xiàn)當聲波頻率處于某些頻率范圍內(nèi)時，顆粒鏈系統(tǒng)會產(chǎn)生超傳遞現(xiàn)象。因其對聲波幅值的敏感性，我們又進一步研究了聲波振動在周期顆粒鏈中的非對稱傳遞，探討運用改變聲波振動幅值的方式，實現(xiàn)聲波的非對稱傳遞。我們知道頻率的改變會使聲波信號發(fā)生改變甚至丟失，因此通過改變幅值實現(xiàn)聲的非對稱傳遞能更好地使信號保真。

前述可知系統(tǒng)對三個不同頻帶內(nèi)激勵聲波的響應(yīng)表現(xiàn)出不同的動力學(xué)行為。因而，我們分別選擇了三個激勵頻率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)，對顆粒鏈進行時域響應(yīng)分析。并且，分別選取0.05δ0(L)和0.02δ0(R)(幅值分別在超傳遞臨界幅值前后)作為正向激勵和反向激勵的幅值，得到三個不同的位移和速度響應(yīng)時域圖，如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 下禁帶(100 Hz)時域圖Fig.7 The time response for the lower forbidden band (100 Hz)

圖8 通帶(990 Hz)時域圖Fig.8 The time response for the pass band (990 Hz)

圖9 上禁帶(1 800 Hz)時域圖Fig.9 The time response for the upper forbidden band (1 800 Hz)

圖7為激勵聲波頻率為100 Hz(下禁帶Lower Forbidden Band)時聲波激勵從左側(cè)傳遞至右側(cè)末端小球(L，編號50)和從右側(cè)傳遞至左側(cè)末端小球(R，編號1)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)圖。從圖7可知，在正向激勵幅值為反向激勵幅值2.5倍的情況下，小球(編號50和編號1)的位移響應(yīng)也處于同一倍數(shù)下，而速度響應(yīng)基本一致，因而沒有表現(xiàn)出不對稱傳遞的現(xiàn)象。圖8為激勵聲波頻率990 Hz(通帶Pass Band)時的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。從圖8可知，正向傳遞的位移和速度響應(yīng)均遠遠大于反向傳遞的響應(yīng)，產(chǎn)生了明顯的不對稱現(xiàn)象。圖9為激勵聲波頻率1 800 Hz(上禁帶Upper Forbidden Band)時的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。顯然，此時的正向傳遞和反向傳遞的位移和速度響應(yīng)基本一致，沒有表現(xiàn)出不對稱傳遞的現(xiàn)象。

另外，我們又分別對聲波在三個頻率下的非對稱傳遞現(xiàn)象，做能量響應(yīng)分析，如圖10所示。從圖10可知，忽略掉激勵幅值原有大小的差異，聲波頻率在100 Hz和1 800 Hz時正向傳遞和反向傳遞的能量響應(yīng)基本處于同一水平，而頻率在990 Hz時正向傳遞的能量經(jīng)過一段時間后有一個突然增大的過程，系統(tǒng)表現(xiàn)出單向傳遞的特點。對比不同頻率下的能量響應(yīng)大小，易知聲波頻率在通帶(990 Hz)時系統(tǒng)的響應(yīng)遠遠大于下禁帶(100 Hz)和上禁帶(1 800 Hz)時的響應(yīng)。這表明聲波在顆粒材料中傳播時，處于不同頻帶范圍內(nèi)的頻率表現(xiàn)出了截然不同的特征。進一步地說明了我們將頻率分為下禁帶，通帶和上禁帶的合理性。

圖10 不同頻率下的能量變化時域圖Fig.10 Energy response of the chain at different frequencies

3 結(jié) 論

本文運用數(shù)值計算的方法對含50個球顆粒的周期鏈進行了超傳遞方面的研究，并發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。

(1)對顆粒鏈進行頻譜分析時，發(fā)現(xiàn)頻率自然分割成下禁帶，通帶和上禁帶三個部分。激勵聲波頻率在下禁帶時振動能量在顆粒鏈中呈現(xiàn)周期分布的特點；激勵聲波頻率在上禁帶時振動能量在顆粒鏈中被耗散；而激勵聲波頻率在通帶內(nèi)時系統(tǒng)響應(yīng)在顆粒鏈中表現(xiàn)出超傳遞現(xiàn)象的特點。

(2)我們研究了激勵聲波在不同頻帶范圍內(nèi)時，不同激勵幅值下，聲波在顆粒鏈中的傳遞特點，得到了三種不同的傳遞特征；并且頻率處于通帶范圍內(nèi)時，聲波在顆粒鏈中發(fā)生了單向傳遞的現(xiàn)象。