孫 鳳，夏鵬澎，孫興偉，金俊杰，趙文輝，竇汝桐，于慎波

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)具有無(wú)發(fā)熱、結(jié)構(gòu)緊湊、磁力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，主要用于無(wú)塵傳送場(chǎng)合，避免傳送裝置的金屬粉塵和油污對(duì)工作環(huán)境的污染[1]。系統(tǒng)由直流伺服電機(jī)、盤狀徑向磁化永磁鐵、導(dǎo)磁體和導(dǎo)磁鐵棒組成；其中，永磁鐵提供磁力，電機(jī)驅(qū)動(dòng)盤狀永磁鐵旋轉(zhuǎn)，改變通過(guò)導(dǎo)磁體與導(dǎo)磁鐵棒的磁通量，實(shí)現(xiàn)懸浮力大小的控制[2]，與其他類型的磁懸浮裝置相比，由于該系統(tǒng)的特點(diǎn)，導(dǎo)致在控制方面的難度系數(shù)有所增加。

在控制方法方面，磁懸浮系統(tǒng)的控制方案主要分為線性控制和非線性控制[3]。線性控制以懸浮系統(tǒng)在工作點(diǎn)處的線性化模型為基礎(chǔ)，以PID(Proportion Integration Differentiation)控制[4-5]和狀態(tài)反饋控制[6]為代表，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、調(diào)節(jié)參數(shù)方便、參數(shù)易于整定，一定程度上可以使磁懸浮系統(tǒng)的控制精度達(dá)到要求，但適用性差，抗外擾力較弱。非線性控制主要包括模糊控制[7]、滑?？刂芠8]、自適應(yīng)控制[9]等控制方案，提高了系統(tǒng)的魯棒性，但穩(wěn)定性較差。其不能很好應(yīng)用到磁懸浮系統(tǒng)工程實(shí)踐中的主要原因是理論設(shè)計(jì)的方法通常不考慮實(shí)際系統(tǒng)中的延時(shí)問(wèn)題，試圖以實(shí)際系統(tǒng)緩慢的輸出來(lái)跟蹤理論上跳變的設(shè)計(jì)值，而實(shí)際的控制器有時(shí)無(wú)法做到算法要求的實(shí)時(shí)性[10]，這在永磁懸浮系統(tǒng)的控制結(jié)果上表現(xiàn)的更加明顯。

考慮到該系統(tǒng)具有存在非線性、負(fù)載沖擊擾動(dòng)的特點(diǎn)，為了實(shí)現(xiàn)其跟蹤位移輸入、抑制沖擊擾動(dòng)，增加控制器的魯棒性，穩(wěn)定性，以及簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)的目標(biāo)。結(jié)合傳統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的設(shè)計(jì)方法，基于LMI(Linear Matrix Inequality)的H∞魯棒控制理論，設(shè)計(jì)了針對(duì)性較強(qiáng)的狀態(tài)反饋γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器，并對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行基于MATLAB的懸浮仿真分析[11-12]以及試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明該控制器可使系統(tǒng)盡快消除外界和自身因素產(chǎn)生的擾動(dòng)以及對(duì)輸入信號(hào)的準(zhǔn)確快速跟蹤，具有很好的魯棒穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)懸浮原理及可行性分析

1.1 系統(tǒng)懸浮原理

可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)的模型，如圖1所示，該系統(tǒng)主要由徑向磁化的盤狀永磁體、驅(qū)動(dòng)該盤狀永磁體的導(dǎo)磁體直流伺服電機(jī)、一對(duì)“F”型導(dǎo)磁體以及導(dǎo)磁懸浮物組成。其中，盤狀永磁體選擇順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颉Ｍㄟ^(guò)改變盤狀永磁體的旋轉(zhuǎn)角度，改變系統(tǒng)的磁路，達(dá)到改變導(dǎo)磁體和導(dǎo)磁懸浮物之間的吸引力(懸浮力)的目的。

1.2 系統(tǒng)懸浮可行性分析

圖2為該系統(tǒng)基于有限元分析軟件的2D分析結(jié)果。其中，圖2(a)所示為盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)角θ=0°時(shí)，系統(tǒng)磁感線分布情況，從N極出發(fā)的磁感線沒(méi)有通過(guò)磁性懸浮物，大部分磁感線通過(guò)導(dǎo)磁體直接回到S極，少量的磁感線通過(guò)空氣回到S極，該部分通過(guò)空氣的磁感線是由系統(tǒng)的漏磁所產(chǎn)生；圖2(b)為盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)角θ=30°時(shí)，系統(tǒng)磁感線分布情況，從N極出發(fā)的磁感線一部分通過(guò)磁性懸浮物回到S極，一部分直接通過(guò)導(dǎo)磁體直接回到S極，少量的磁感線通過(guò)空氣回到S極；圖2(c)為盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)角θ=90°時(shí)，系統(tǒng)磁感線分布情況，從N極出發(fā)的磁感線全部通過(guò)磁性懸浮物回到S極，空氣中基本上沒(méi)有漏磁。

隨著盤狀永磁鐵轉(zhuǎn)角的增大，通過(guò)導(dǎo)磁懸浮物磁通量增大，導(dǎo)磁體與導(dǎo)磁鐵棒之間的吸引力也隨之增大，即二者之間懸浮力可以通過(guò)改變盤狀永磁鐵的轉(zhuǎn)角的大小來(lái)控制。此外，該系統(tǒng)中永磁鐵不直接提供懸浮力，驅(qū)動(dòng)盤狀永磁體直流電機(jī)的輸入電流對(duì)懸浮物重量的變化不敏感，系統(tǒng)的功耗比較低。

圖1 系統(tǒng)原理圖Fig.1 The principle diagram of the system

圖2 有限元分析結(jié)果Fig.2 The finite element analysis results

2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

系統(tǒng)模型圖示及符號(hào)定義如圖3所示，fm為導(dǎo)磁體與懸浮物之間的懸浮力；d為導(dǎo)磁體和懸浮物之間空氣氣隙；d0為在平衡狀態(tài)時(shí)的空氣氣隙；z為在平衡狀態(tài)時(shí)，懸浮物偏離選定的平衡位置的位移，方向向上，d=d0-z；θ為盤狀永磁鐵沿順時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)轉(zhuǎn)角；D為盤狀永磁體與導(dǎo)磁體之間的氣隙長(zhǎng)度。

通過(guò)前期試驗(yàn)可得到系統(tǒng)懸浮力以及盤狀永磁鐵轉(zhuǎn)矩的數(shù)學(xué)模型分別如式(1)和式(2)所示

(1)

圖3 模型符號(hào)定義Fig.3 Model symbol definition

(2)

式中:km為懸浮力系數(shù);Δdf為懸浮力在盤狀永磁體和導(dǎo)磁體氣隙處的漏磁補(bǔ)償系數(shù)；kτ為盤狀永磁鐵的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，選取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?Δdτ為轉(zhuǎn)矩在盤狀永磁體和導(dǎo)磁體氣隙處的漏磁補(bǔ)償系數(shù)。

根據(jù)(1)和式(2)，當(dāng)系統(tǒng)受到外力時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表達(dá)為

(3)

(4)

式中：J為電機(jī)和盤狀磁鐵的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，選取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?；kt為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù);i為驅(qū)動(dòng)盤狀永磁體旋轉(zhuǎn)的伺服電機(jī)輸入電流；m為懸浮物的質(zhì)量；f為系統(tǒng)所受的外力擾動(dòng)。

3 懸浮系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)

被控對(duì)象處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，當(dāng)吸引力隨著盤狀永磁鐵轉(zhuǎn)角增大而變大時(shí)，導(dǎo)磁體和鐵棒之間的距離會(huì)減小。假設(shè)系統(tǒng)微小位移z的正方向向上，則在該平衡位置對(duì)吸引力和盤狀永磁體的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行線性化，可分別表示如式(5)和式(6)

(5)

(6)

式中:z，Δθ為偏離懸浮平衡位置的微小量；d0和θ0為平衡位置的值。

根據(jù)式(1)～式(6)可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(7)

其中，

在選定的平衡位置處，狀態(tài)空間方程中的各變量具體數(shù)值如表1所示。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 The parameters of suspension system

系統(tǒng)的廣義狀態(tài)模型如圖4所示，其中Δi=Kx，K為所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器

該系統(tǒng)要求對(duì)于任意干擾信號(hào)f∈L2,L2∈[0,+∞]均可以保持閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，即

(8)

式中:qi≥0，ρ>0 為加權(quán)系數(shù)。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)圖Fig.4 The system state space structural diagram

定義評(píng)價(jià)信號(hào)為

(9)

則式(9)等價(jià)于‖z1‖2<γ‖f‖2。因此，設(shè)計(jì)系統(tǒng)γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器的問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定且‖TZ1f(s)‖2<γ控制器的問(wèn)題。其中，TZ1f(s)為從f～z1的最小傳遞函數(shù)。

根據(jù)式(7)和式(9)可得到廣義系統(tǒng)的狀態(tài)空間為

(10)

式中:A,B1,B2,C1,C2,D12為系統(tǒng)的輸出矩陣；Δi為控制電流矩陣。

對(duì)于上述系統(tǒng)，若存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制器H∞魯棒控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱矩陣X和W使其滿足以下線性矩陣不等式(LMI)，

(11)

且線性矩陣不等式存在一個(gè)可行解X*和W*，則K=W*(X*)-1即為所求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器，其可以使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定且具有一定的擾動(dòng)抑制能力。在Matlab環(huán)境下建立式(11)的求解程序，選取不同的加權(quán)系數(shù)和迭代次數(shù)即可求得該狀態(tài)反饋γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器。

4 系統(tǒng)懸浮原理及可行性分析

4.1 位移跟蹤仿真

采用表1中數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，分別對(duì)懸浮物偏離平衡位置的位移z、盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度θ、輸入電流i進(jìn)行跟蹤，得到結(jié)果如圖5所示。懸浮物首先處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，0.4 s時(shí)，在位移參考輸入端加載0.07 mm的階躍位移信號(hào)。此時(shí)，位移z將增大直至懸浮物達(dá)到新的平衡位置(穩(wěn)定氣隙減小)；角度θ先增大然后減小直至達(dá)到新的穩(wěn)定值，該值將小于初始值；電流i先減小然后增大直至達(dá)到新的穩(wěn)定值。

圖5 位移階躍信號(hào)的跟蹤仿真結(jié)果Fig.5 The simulation result of system with step signal track

仿真分析結(jié)果表明該控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行且可以快速響應(yīng)參考輸入。

4.2 外擾仿真

其他數(shù)據(jù)不變，在0.4 s時(shí)，將幅值為0.127 N、時(shí)間為0.1 s的脈沖力作用在懸浮物上，采用同樣的控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，得到結(jié)果如圖6所示。在施加力時(shí)，位移z減小(穩(wěn)定氣隙增大)，外力消失后，位移z開始增大直至回到平衡位置；角度θ先增大后減小直至回到平衡位置；電流i先減小然后逐漸增大直至回到穩(wěn)定狀態(tài)。

仿真分析結(jié)果表明該控制器具有很強(qiáng)的抑制外擾能力，可以使閉環(huán)系統(tǒng)在受到外擾的情況下保持穩(wěn)定。

圖6 系統(tǒng)受外力擾動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果Fig.6 The simulation result of system with disturbance force

5 懸浮試驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 試驗(yàn)平臺(tái)

圖7為單自由度磁懸浮控制系統(tǒng)，系統(tǒng)主要由上位機(jī)、dSPACE控制器、電渦流位移傳感器、直流伺服電機(jī)和伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器組成。其中，單自由度磁懸浮試驗(yàn)平臺(tái)，如圖8所示(該圖中懸浮物處于懸浮狀態(tài))。其中，“F”型導(dǎo)磁體位于盤狀永磁體兩側(cè)；盤狀永磁體通過(guò)聯(lián)軸器與直流伺服電機(jī)相聯(lián)接,直流伺服電機(jī)位于盤狀永磁體背面；為了方便調(diào)節(jié)重量，懸浮物由多塊導(dǎo)磁體組成，其與限位滑塊通過(guò)螺栓連接在一起；滑塊與直線導(dǎo)軌組成直線導(dǎo)軌副，用于平衡兩個(gè)導(dǎo)磁體對(duì)懸浮物產(chǎn)生的不平衡轉(zhuǎn)矩；電渦流位移傳感器位于懸浮物正下方，用以測(cè)量懸浮物偏離平衡位置的位移，靈敏度為1 V/mm;懸浮物的平衡點(diǎn)氣隙為6 mm；采用dSPACE為系統(tǒng)控制部件。此外，這里采用對(duì)位移信號(hào)和角度信號(hào)微分的方式，來(lái)間接獲得另外兩個(gè)狀態(tài)量。

圖7 單自由度磁懸浮控制系統(tǒng)Fig.7 Single degree freedom suspension control system

圖8 單自由度磁懸浮試驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 Single degree freedom magnetic suspension experimental facility

單自由度磁懸浮控制系統(tǒng)工作原理，如圖9所示，直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)盤狀永磁鐵旋轉(zhuǎn)，從而改變系統(tǒng)中通過(guò)懸浮物的磁通量，改變磁力；電渦流位移傳感器采集的位移信號(hào)經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換傳遞到dSPACE控制器中，直流伺服電機(jī)編碼器采集的角度信號(hào)也同樣傳遞到dSPACE控制器中，通過(guò)運(yùn)算輸出伺服電機(jī)的控制信號(hào)，經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換以及驅(qū)動(dòng)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)伺服電機(jī)的控制。通過(guò)以上閉環(huán)控制，懸浮物則可達(dá)到穩(wěn)定懸浮的狀態(tài)。

圖9 單自由度磁懸浮控制系統(tǒng)工作原理Fig.9 Single degree freedom magnetic suspension control system working principle diagram

5.2 位移跟蹤試驗(yàn)

采用與仿真分析相同的初始條件，對(duì)懸浮物偏離平衡位置的位移z(與仿真不同，試驗(yàn)中采用位移傳感器實(shí)際測(cè)量值)、盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度θ、電機(jī)輸入電流i進(jìn)行跟蹤，結(jié)果如圖10所示。試驗(yàn)系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果與仿真分析基本一致；由于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的不夠精確，所得的控制器在實(shí)際控制過(guò)程中，懸浮物的位移、角度和電機(jī)輸入電流i在響應(yīng)過(guò)程中產(chǎn)生了超調(diào)量。穩(wěn)態(tài)時(shí)的位移、角度、電流均在平衡位置附近小幅震蕩。

圖10 系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 The experiment result of system with step signal

試驗(yàn)結(jié)果表明該控制器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且快速的跟蹤位移輸入信號(hào),超調(diào)量為15%；當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)具有一定的魯棒穩(wěn)定性。此外，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，懸浮物的位置在1.086～1.094 mm，位置誤差在±0.005 mm左右，系統(tǒng)沒(méi)有較大的波動(dòng)現(xiàn)象，穩(wěn)定性較好。伺服電機(jī)的輸入電流i基本不變(平衡位置時(shí)，電流很小)，保持在0.04～0.06 A，系統(tǒng)的總功耗基本保持在很低的水平。

5.3 外擾試驗(yàn)

采用與仿真分析相同的初始條件，在0.4 s時(shí)，將質(zhì)量為3 g的物體從2 cm高處對(duì)懸浮物進(jìn)行沖擊試驗(yàn)，并對(duì)懸浮物的位移z(與仿真不同，試驗(yàn)中采用位移傳感器實(shí)際測(cè)量值)、盤狀永磁鐵的旋轉(zhuǎn)角度θ、電機(jī)輸入電流i進(jìn)行跟蹤，結(jié)果如圖11所示。試驗(yàn)開始時(shí)，懸浮物的位移減小(懸浮氣隙增大)，在重物從懸浮物上掉落之后時(shí)，懸浮物又回到平衡位置，位移幅值的最大變化量為0.05 mm；角度θ先迅速增大，然后又回到平衡位置，角度幅值的最大變化量為1.8°；電流i的變化過(guò)程和角度θ的變化過(guò)程基本一致，其幅值的最大變化量為0.05 A。

試驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)有外力沖擊擾動(dòng)時(shí)，該可以使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，系統(tǒng)可以抑制外部擾動(dòng)。

圖11 系統(tǒng)受外力擾動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.11 The experiment result of system with disturbance force

6 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種可以實(shí)現(xiàn)低功耗運(yùn)行的可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)，并基于有限元軟件分析了該系統(tǒng)的可行性，得到了系統(tǒng)力學(xué)模型，并針對(duì)該可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)的非線性、強(qiáng)耦合，設(shè)計(jì)了滿足系統(tǒng)性能要求的狀態(tài)反饋γ-次優(yōu)H∞魯棒控制器。仿真和試驗(yàn)的結(jié)果表明，該控制器可以使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，對(duì)參考信號(hào)做出快速響應(yīng)，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)不確定引起的擾動(dòng)以及直接外力擾動(dòng)具有很強(qiáng)的抑制能力，系統(tǒng)的魯棒性較好。控制器滿足可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)的性能要求。