劉 萍 王龍飛

(上海電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 上海 200090)

0 引 言

隨著微電子技術(shù)、通信技術(shù)和超精密加工等技術(shù)的飛速發(fā)展，研究領(lǐng)域?qū)芏ㄎ患夹g(shù)的要求越來越高。壓電精密定位平臺具有功耗小、響應(yīng)快、驅(qū)動(dòng)力大、位移分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，因此，該定位技術(shù)已經(jīng)被應(yīng)用于各領(lǐng)域。但由于壓電陶瓷具有遲滯非線性特性，操作系統(tǒng)的精度與穩(wěn)定性會(huì)受到不同程度的影響，國內(nèi)外專家學(xué)者提出了相應(yīng)的模型描述遲滯現(xiàn)象。德國物理學(xué)家Preisach提出通過并聯(lián)多個(gè)獨(dú)立的遲滯算子建立遲滯模型[1]，但是該模型多用于描述靜態(tài)遲滯現(xiàn)象，其準(zhǔn)確性多依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與算法。德國物理學(xué)家Prandtl和蘇聯(lián)物理學(xué)家Ishlinskii作出改進(jìn)，提出PI模型[2]，但精度較差且上升與下降曲線必須對稱。除了算子模型，微分方程模型亦可表征遲滯現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，其中，Bouc-Wen模型[3]簡潔高效，且由于該模型具有多樣性和可跟蹤性，其應(yīng)用范圍正在不斷拓寬。近年來，眾多學(xué)者相繼提出了支持向量機(jī)模型、多項(xiàng)式和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)象遲滯模型。在智能結(jié)構(gòu)精密控制領(lǐng)域，Hammerstein模型、模糊樹模型也已被證明能夠解決率相關(guān)遲滯現(xiàn)象。

Bouc-Wen模型是一種動(dòng)態(tài)模型，能較好反映壓電陶瓷的動(dòng)態(tài)遲滯性。隨著智能算法的興起與發(fā)展，各類新興算法尤其是群智能算法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識。文獻(xiàn)[4]將訓(xùn)練后的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于Bouc-Wen模型辨識，并在鋼絲繩隔振系統(tǒng)中得以驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5]采用基于多項(xiàng)式的Bouc-Wen模型建立不對稱遲滯模型，并用改良的差分進(jìn)化算法辨識模型，得到了比傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法、粒子群算法更精確的擬合效果。甘楊俊杰[6]以Bouc-Wen模型為基礎(chǔ)，使用遺傳算法(GA)對阻尼器示功曲線進(jìn)行參數(shù)辨識。文獻(xiàn)[7]改進(jìn)了螢火蟲算法(MFA)，該算法相比于普通算法更適用于Bouc-Wen模型參數(shù)辨識。文獻(xiàn)[8]將混沌算子引入傳統(tǒng)PSO算法以改善局部收斂的問題，在壓電陶瓷執(zhí)行器Bouc-Wen建模與辨識中達(dá)到較好的效果。文獻(xiàn)[9]采用一種GSO群智能搜索算法對改進(jìn)Bouc-Wen模型參數(shù)優(yōu)化識別，得到良好的吻合結(jié)果。但是，隨著對群智能算法研究的深入，上述算法的缺點(diǎn)逐漸暴露出來，如算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜、初值依賴度高、早熟收斂等。

傳統(tǒng)PSO算法具有易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，量子粒子群算法大大改善了這一缺點(diǎn)，但其在高維問題優(yōu)化中收斂速度和收斂效果方面不佳，因此，混沌量子群算法(CQPSO)逐漸發(fā)展起來。其中，Logistic映射是一種最為常用的混沌映射。文獻(xiàn)[10]采用全同粒子系更新粒子位置，并將空間混沌思想運(yùn)用于新算法以優(yōu)化三維姿態(tài)參數(shù)，取得了較好效果。文獻(xiàn)[11]以混沌序列初始化粒子位置并引入適應(yīng)度多樣性反應(yīng)種群多樣性判斷早熟，同樣地，文獻(xiàn)[12]運(yùn)用正弦混沌序列提高初始化粒子位置的遍歷性及種群多樣性。文獻(xiàn)[13]則在量子更新參數(shù)基礎(chǔ)上引入混沌優(yōu)化算法，提出了基于混沌量子粒子群算法的FHN神經(jīng)元UWB-IR信號檢測方法。文獻(xiàn)[14]從混沌思想初始化種群、自適應(yīng)激活機(jī)制和精英粒子混沌局部搜索策略3個(gè)方面進(jìn)行優(yōu)化，并引入多核并行計(jì)算技術(shù)以降低計(jì)算時(shí)間，提出了并行混沌量子粒子群算法。文獻(xiàn)[15]提出一種基于量子粒子群和Logistic混沌映射相結(jié)合的優(yōu)化算法CQPSO，以計(jì)算精英個(gè)體適應(yīng)值方差的方式提高了搜索效率。上述文獻(xiàn)在提高種群多樣性方面均做出一定貢獻(xiàn)，但尚不具備完善的早熟判斷機(jī)制，且在提高算法效率和精度上的改進(jìn)都較少。

本文選取Bouc-Wen模型對壓電陶瓷精密定位平臺進(jìn)行建模，提出“早熟系數(shù)”的概念判斷QPSO算法收斂情況，并引入Logistic混沌算子結(jié)合變尺度法空間搜索(Mutative Scale Space Search， MSSS)促進(jìn)算法全局收斂，同時(shí)可以提高算法高維問題尋優(yōu)效率。

1 Bouc-Wen模型

1967年，Bouc[3]首次提出Bouc模型，后又針對此模型進(jìn)行改進(jìn)，將其應(yīng)用于更一般的遲滯系統(tǒng)，而后Wen[16]于1976年又對模型進(jìn)行了擴(kuò)充。Bouc-Wen模型作為一種半物理微分方程模型，最早用于描述遲滯現(xiàn)象，此模型經(jīng)驗(yàn)證可以應(yīng)用于更一般的情況。此后，更多學(xué)者相繼提出多種擴(kuò)展Bouc-Wen模型。Low等學(xué)者證明，Bouc-Wen模型具有表征壓電陶瓷遲滯現(xiàn)象的良好特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

式中:h(t)為遲滯變量，kv為靜態(tài)增益，v(t)、(t)表示遲滯系統(tǒng)的輸入電壓及其導(dǎo)數(shù)，y(t)表示系統(tǒng)的輸出位移，系數(shù)α、β、γ影響遲滯環(huán)的大小和形狀，系數(shù)n決定從彈性到塑性過渡過程中的光滑程度。

2 量子粒子群算法與混沌映射

2.1 量子粒子群算法

PSO算法最早由美國學(xué)者Kennedy和Eberhart提出[17]，該算法模擬鳥類覓食在解空間搜索最優(yōu)解。隨后，諸多專家學(xué)者將PSO算法廣泛應(yīng)用于優(yōu)化領(lǐng)域，相繼發(fā)現(xiàn)其早熟收斂的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[18-19]很快證明了其早熟特性。因此，由于量子巨大的計(jì)算能力及隨機(jī)狀態(tài)，QPSO算法很快被提出，該算法優(yōu)化能力顯著，具有較高的研究價(jià)值。

QPSO算法在迭代過程中引入了平均最好位置C作為評價(jià)，而用C點(diǎn)作為參考點(diǎn)時(shí)，粒子不能獨(dú)立地向當(dāng)前全局最優(yōu)位置gbest聚攏，粒子間必須相互等待，這也相應(yīng)地提高了算法的尋優(yōu)能力[20]，其作用原理如圖1所示。

圖1 QPSO的等待效應(yīng)

2.2 Logistic映射

1838年，Verhulst首次提出了生物種群的繁衍模型[21]，即Logistic映射，該模型實(shí)際是一個(gè)差分方程，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

xn+1=μxn(1-xn)
μ∈[0,4]x∈(0,1)

(2)

式中:μ是Logistic參數(shù)。該式也被稱為蟲口模型，從物理意義上來看，線性項(xiàng)μxn表示種群的平均增長率，而非線性項(xiàng)-μxn2表示環(huán)境資源對種群的制約。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)μ在[0, 3)、[3, 3.571 448)、[3.571 448,4]取值時(shí)，混沌系統(tǒng)分別表現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)、周期循環(huán)、混沌及逃逸四種態(tài)性。當(dāng)μ∈[3.571 448,4]時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性，進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)。

在眾多隨機(jī)搜索算法中，雖然隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器(RNGs)已被各領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，然而其收斂速度慢，且具有產(chǎn)生固定序列的特性。為了解決這個(gè)問題，Caponetto等提出以混沌序列產(chǎn)生器替代RNGs[22]?；煦鐑?yōu)化算法(COA)是一種直接搜索算法，采用混沌變量在解空間內(nèi)進(jìn)行搜索?；煦缱兞吭趯?yōu)過程中具有遍歷性、隨機(jī)性、規(guī)律性的特性，因此，混沌優(yōu)化算法能夠?qū)崿F(xiàn)全局漸近收斂。

3 改進(jìn)混沌量子粒子群算法

盡管QPSO算法優(yōu)點(diǎn)顯著，但是在處理高維復(fù)雜問題時(shí)收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)。為了進(jìn)一步提高QPSO算法的尋優(yōu)能力，本文將一種混沌算子融入QPSO算法以提高全局收斂能力。Logistic映射作為一種常見的映射，被用以產(chǎn)生混沌變量對算法進(jìn)行補(bǔ)償。在大空間、多變量的優(yōu)化問題中，大多數(shù)搜索策略耗時(shí)長、局部優(yōu)化效果不夠理想，針對該問題，本文提出一種改進(jìn)混沌量子粒子群算法。

3.1 早熟判斷機(jī)制

盡管粒子暫時(shí)找到局部最優(yōu)解時(shí)，其他粒子通過局部吸引子迅速向其靠攏，導(dǎo)致整個(gè)算法陷入局部最優(yōu)，該現(xiàn)象即“早熟”收斂現(xiàn)象。在群智能算法中，通常需要相應(yīng)的早熟判斷機(jī)制以避免算法陷入局部收斂[11，23]。目前常用的方式是通過計(jì)算適應(yīng)度方差判斷算法是否陷入局部收斂，該方法可判斷出適應(yīng)度值的離散分布情況，但不能簡單將適應(yīng)度值聚集等價(jià)于算法早熟?，F(xiàn)采用一種數(shù)學(xué)方法判斷優(yōu)化對象的當(dāng)前值是否陷入局部收斂，定義早熟系數(shù)pm為：

(3)

式中:fgbest是全局最優(yōu)適應(yīng)度值，mfit是粒子平均位置的適應(yīng)度值。

當(dāng)早熟系數(shù)連續(xù)多次大于某個(gè)常值，算法搜索設(shè)置早熟計(jì)數(shù)器counter進(jìn)行計(jì)數(shù)，當(dāng)counter達(dá)到設(shè)定上限，判斷算法進(jìn)入局部收斂。一旦激活早熟判斷機(jī)制，采用Logistic映射產(chǎn)生混沌序列，啟用混沌搜索策略，跳出局部收斂。

3.2 變尺度法空間搜索

變尺度法作為一種多元函數(shù)無約束優(yōu)化的擬Newton法，是無約束最優(yōu)化方法中最有效的方法之一，該法克服了收斂速度慢、計(jì)算量和儲(chǔ)存量大的缺點(diǎn)[24]，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際優(yōu)化中，因此，本文將該搜索應(yīng)用于改進(jìn)算法中。

變尺度法利用迭代過程中的已知信息構(gòu)造一個(gè)與Hesse矩陣近似的新矩陣，降低了計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)保持了牛頓法較快的收斂速度。這種方法以一次搜索的最優(yōu)解為中心，通過不斷縮小優(yōu)化變量的搜索范圍，實(shí)現(xiàn)局部精細(xì)搜索，同時(shí)改變二次搜索的調(diào)節(jié)系數(shù)，加快和提高收斂速度和收斂精度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(4)

式中:i=1,2,…,n，n為優(yōu)化變量的維數(shù);r為精細(xì)搜索次數(shù);xi*為當(dāng)前最優(yōu)解;ti(r)、bi(r)和ti(r+1)、bi(r+1)分別為第r次、第r+1次搜索的上下限；λ為尺度變換系數(shù)，其中，λ∈(0, 0.5)，在迭代過程中需動(dòng)態(tài)設(shè)置λ的值，初始λ不宜太大以免錯(cuò)過全局最優(yōu)解的鄰域，在后期搜索過程中，逐步增大其值以加快收斂速度。

設(shè)粒子個(gè)數(shù)為M個(gè)，優(yōu)化空間為D維，迭代次數(shù)為N次，則ICQPSO算法的迭代步驟如下：

(1) 初始化解空間內(nèi)每個(gè)粒子i(1≤i≤M)的當(dāng)前位置Xi(0)，并置個(gè)體最優(yōu)位置Pi(0)為初始位置。

(2) 根據(jù)下式計(jì)算粒子平均個(gè)體最好位置：

(5)

式中:j(1≤j≤D)表示當(dāng)前維數(shù)，t(1≤t≤N)表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Cj(t)是粒子平均個(gè)體最好位置。

(3) 對每個(gè)粒子i執(zhí)行步驟4-步驟7。

(4) 計(jì)算粒子i當(dāng)前位置Xi(t)的適應(yīng)度值，比較Xi(t)與個(gè)體最優(yōu)位置Pi(t-1)適應(yīng)度值并更新Pi(t)。

(5) 比較Pi(t)與全局最優(yōu)位置G(t-1)適應(yīng)度值，并更新G(t)。

(6) 對于粒子i的每一維，根據(jù)下式得到一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)位置：

pi,j(t)=φj(t)·Pi,j(t)+[1-φj(t)]·Gj(t)
φj(t)～U(0,1)

(6)

式中:pi,j(t)為粒子i第j維的吸引子。

(7) 根據(jù)下式更新粒子位置：

Xi,j(t+1)=pi,j(t)±α|Cj(t)-Xi,j(t)|·ln[1/ui,j(t)]

ui,j(t)～U(0,1)

(7)

式中:α是收縮-擴(kuò)張系數(shù)，ui,j(t)在區(qū)間(0, 1)均勻分布。

(8) 根據(jù)式(3)，在每次迭代中計(jì)算早熟系數(shù)pm，若pm>constant，counter+1，若pm≤constant，counter=0。

(9) 若counter>5，算法進(jìn)入早熟收斂，根據(jù)式(4)變換尺度，得到新的搜索范圍并實(shí)行混沌搜索，本文選擇μ=4進(jìn)行映射，直到找到新的全局最優(yōu)位置G(t)。

(10) 若達(dá)到迭代中止條件，算法結(jié)束；否則，置t=t+1，并跳轉(zhuǎn)步驟2。

4 實(shí) 驗(yàn)

本文采用哈爾濱溶智納芯科技實(shí)驗(yàn)設(shè)備，具體如圖2(a)、(b)所示，包括：分體三維納米平臺，最大輸出電壓150 V，理論最大輸出位移20 μm；HAV系列模擬閉環(huán)控制器，輸出直流電壓-20～150 V。

模擬閉環(huán)控制器通過RS232串口與PC機(jī)連接建立通信，輸入信號采用多頻正弦信號，采樣1 000組數(shù)據(jù)以驗(yàn)證模型與算法的有效性，實(shí)驗(yàn)的硬件連接如圖2(c)所示。下式是對壓電陶瓷輸入的擬合與泛化電壓信號，得到兩組遲滯數(shù)據(jù)。

v(t)=3sin(2π·5t)+3sin(2π·3t)

(8)

v(t)=3.1sin(2π·5.1t)+3.1sin(2π·2.9t)

(9)

文獻(xiàn)[6-7]分別采用GA算法與MFA算法以Bouc-Wen數(shù)學(xué)模型對壓電精密定位平臺進(jìn)行建模，取得了較為理想的辨識結(jié)果，其中MFA對算法參數(shù)α、β、λ作出動(dòng)態(tài)調(diào)整，但其遲滯模型均采用單一頻率的電壓輸入，實(shí)現(xiàn)了較為簡單的單環(huán)辨識。為了說明本文提出的改進(jìn)算法的優(yōu)越性，現(xiàn)將ICQPSO算法與這兩種算法對多頻動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)進(jìn)行辨識與泛化效果的比較，將早熟系數(shù)pm設(shè)置為0.7，尺度變換系數(shù)λ根據(jù)當(dāng)前迭代次數(shù)成比例動(dòng)態(tài)設(shè)置，各算法種群規(guī)模設(shè)置為200，迭代次數(shù)設(shè)置為150次。

算法選取的適應(yīng)度函數(shù)，即均方根誤差指標(biāo)(RMSE)如下式所示，該誤差的數(shù)值越小表示觀測值與真值的偏差越小。

(10)

圖3是3種算法迭代150次的收斂過程，由收斂過程可以看出，GA算法初期收斂快速，具有一定的全局收斂能力，但在后期局部搜索中性能不佳；MFA算法初期收斂速度較慢，但隨著迭代次數(shù)增加，逐步有效收斂至精確值；ICQPSO算法具有最強(qiáng)的全局收斂能力，并不斷跳出局部收斂，迭代后期實(shí)現(xiàn)快速局部收斂。表1是ICQPSO與GA、MFA的參數(shù)辨識結(jié)果，表2是3種算法辨識的均方根誤差、平均絕對誤差(MRMSE與GRMSE、MMAD與GMAD)，ICQPSO算法擬合與泛化的結(jié)果均優(yōu)于其他算法，而各算法MRMSE與GRMSE指標(biāo)均十分接近，因此，采用Bouc-Wen模型建模的方法有效。

圖3 迭代過程比較

算法αβγnkvGA7.0490.4310.1711.0000.987MFA5.9210.3900.0011.0981.001ICQPSO6.0040.4880.0101.0021.012

表2 擬合與泛化RMSE與MAD

圖4與圖5是上述3種算法擬合與泛化的結(jié)果對比。GA算法對動(dòng)態(tài)遲滯環(huán)實(shí)現(xiàn)了基本擬合，但擬合全程誤差稍大；MFA算法的擬合精確度進(jìn)一步提高，但在主次環(huán)極值附近的擬合度不高；ICQPSO算法在全辨識過程中均表現(xiàn)出顯著的擬合度。由于頻率與幅值發(fā)生了變化，這一結(jié)果在泛化效果對比中體現(xiàn)得更加明顯。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與指標(biāo)RMSE結(jié)果相符，證明適應(yīng)度函數(shù)選擇恰當(dāng)。

圖4 擬合效果對比

圖5 泛化效果對比

圖6與圖7是擬合與泛化的時(shí)間-誤差對比曲線，分別顯示了3種算法的辨識精度。在擬合階段，GA、MFA、ICQPSO算法的平均絕對誤差分別為0.450 9 μm、0.348 0 μm、0.300 9 μm，在泛化階段，平均絕對誤差分別為0.454 2 μm、0.349 0 μm、0.303 7 μm。該結(jié)果與前述結(jié)論相符，ICQPSO算法的辨識效果優(yōu)于其他算法。

圖6 擬合誤差對比

圖7 泛化誤差對比

5 結(jié) 語

由于Bouc-Wen微分方程模型參數(shù)較多，利用該模型辨識遲滯曲線屬于高維優(yōu)化問題。本文在傳統(tǒng)QPSO算法的基礎(chǔ)上引入混沌映射，提高了算法的收斂能力，并結(jié)合變尺度法進(jìn)一步提高收斂速度。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，ICQPSO算法在Bouc-Wen模型遲滯參數(shù)的辨識中跟蹤精度優(yōu)于GA、MFA算法，利用ICQPSO算法與Bouc-Wen模型對壓電定位系統(tǒng)進(jìn)行建模是有效的。