章勤瓊

【摘? ?要】小數(shù)可以看成是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的特殊形式，在認(rèn)識(shí)小數(shù)的時(shí)候要加強(qiáng)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，但這并不意味著一定要通過(guò)分母為10的分?jǐn)?shù)來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)。通過(guò)分?jǐn)?shù)來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)存在困難，此階段學(xué)生所學(xué)的分?jǐn)?shù)僅表示“部分與整體關(guān)系”的意義，學(xué)生認(rèn)識(shí)的只是分?jǐn)?shù)的形式，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中并沒(méi)有作為“數(shù)”存在的分?jǐn)?shù)，因此無(wú)法真正建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)聯(lián)。在形式上建立的這種聯(lián)系可能導(dǎo)致兩種對(duì)小數(shù)認(rèn)識(shí)的迷思：一是認(rèn)為只要取到幾份就是零點(diǎn)幾，并不關(guān)注是否分成10份;二是認(rèn)為平均分成幾份就是零點(diǎn)幾。為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)小數(shù)并理解小數(shù)的意義，在教學(xué)中需要做到以下兩點(diǎn)：第一，淡化通過(guò)形式上的分?jǐn)?shù)來(lái)理解小數(shù)，強(qiáng)調(diào)從“數(shù)”的產(chǎn)生的角度來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù);第二，通過(guò)多種表征讓學(xué)生積累“十分”產(chǎn)生小數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)對(duì)小數(shù)意義的理解。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)的認(rèn)識(shí);十進(jìn)分?jǐn)?shù);位值制;數(shù)的產(chǎn)生

小數(shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是數(shù)系統(tǒng)的一次擴(kuò)充，更是對(duì)十進(jìn)制系統(tǒng)的完善。一般認(rèn)為，小數(shù)是分?jǐn)?shù)的特殊形式——十進(jìn)分?jǐn)?shù)。因此，在很多教學(xué)安排中都是通過(guò)分?jǐn)?shù)來(lái)學(xué)習(xí)小數(shù)。然而，張奠宙指出，他在讀小學(xué)的時(shí)候，是先學(xué)小數(shù)后學(xué)分?jǐn)?shù)，而那時(shí)的教材編排也大多是小數(shù)在分?jǐn)?shù)前面，“因?yàn)樾?shù)比分?jǐn)?shù)容易，小數(shù)的計(jì)數(shù)原則跟整數(shù)一樣是十進(jìn)制的，有整數(shù)老大哥幫忙，小數(shù)比較容易懂?！盵1]

事實(shí)上，學(xué)生真正認(rèn)識(shí)、理解小數(shù)卻并不簡(jiǎn)單。有調(diào)查表明，四年級(jí)學(xué)生（已經(jīng)學(xué)習(xí)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》），對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)， 主要是在人民幣和長(zhǎng)度單位方面，但僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)階段，缺少理性認(rèn)識(shí)。70%左右的學(xué)生對(duì)小數(shù)的意義的理解已經(jīng)達(dá)到事實(shí)性理解水平，但還沒(méi)有達(dá)到概念性理解水平。[2]也就是說(shuō)，可能會(huì)讀會(huì)寫(xiě)會(huì)用，但其實(shí)并不真正理解小數(shù)作為一種數(shù)的意義。

那么，借助分?jǐn)?shù)的形式是否有助于學(xué)生理解小數(shù)，如何更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)呢？我們應(yīng)該對(duì)其相關(guān)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、小數(shù)的定義及其與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系

從數(shù)的發(fā)展歷程來(lái)看，數(shù)的產(chǎn)生是先自然數(shù)（整數(shù)），然后分?jǐn)?shù)，最后小數(shù)。[3]中國(guó)被認(rèn)為是最早發(fā)明并系統(tǒng)掌握小數(shù)理論的國(guó)家。在中國(guó)，小數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展與計(jì)量學(xué)、律歷學(xué)、數(shù)學(xué)的發(fā)展密不可分。在計(jì)量學(xué)方面，出于非十進(jìn)制單位換算的復(fù)雜性，度量衡朝著十進(jìn)制的方向發(fā)展，而為了更精確地表示數(shù)量，度量衡又朝著創(chuàng)造更小單位的方向發(fā)展。在數(shù)學(xué)方面，劉徽最早明確了小數(shù)的概念，他在處理開(kāi)方除不盡問(wèn)題時(shí)，建議采用微數(shù)方法，“微數(shù)無(wú)名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也”，這句話(huà)前半句就相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)位表中的十分位、百分位及其含義。[4]

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中對(duì)小數(shù)是這樣定義的：小數(shù)亦稱(chēng)十進(jìn)小數(shù)，是實(shí)數(shù)的一種特殊的表現(xiàn)形式。所有分?jǐn)?shù)都可以表示成小數(shù)，根據(jù)十進(jìn)制的位值原則，把十進(jìn)分?jǐn)?shù)仿照整數(shù)的寫(xiě)法寫(xiě)成不帶分母的形式，小數(shù)中的圓點(diǎn)叫作小數(shù)點(diǎn)，它是一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的分界號(hào)。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般這樣呈現(xiàn)：把分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成不帶分母形式的數(shù)，叫作小數(shù)。[5]

從上述定義中可以看出以下兩點(diǎn)：第一，小數(shù)是通過(guò)十進(jìn)分?jǐn)?shù)來(lái)定義的，可以看成是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種形式。第二，十進(jìn)制的位值原則是小數(shù)能夠產(chǎn)生的根本性質(zhì)，這也是整數(shù)與小數(shù)能得以溝通的原因。因此，雖然在形式上小數(shù)可以看成是特殊的分?jǐn)?shù)，但其產(chǎn)生并不一定需要分?jǐn)?shù)，可以直接將整數(shù)進(jìn)行“十分”“百分”……得到各位上的小數(shù)。

在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材中，小數(shù)的認(rèn)識(shí)通常分兩個(gè)階段進(jìn)行，分別是“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”和“小數(shù)的意義與性質(zhì)”。各教材的整體設(shè)計(jì)不盡相同，但在第一次“認(rèn)識(shí)小數(shù)”時(shí)都把握了共同的原則：（1）基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)小數(shù)，在具體的“量”中理解小數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，這里“具體的‘量”主要指錢(qián)數(shù)、長(zhǎng)度;（2）“規(guī)定” 小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方法;（3）溝通用“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”都能表示同一個(gè)“量”。[6]

從各版本教材的共同特點(diǎn)來(lái)看，都強(qiáng)調(diào)小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方法以及溝通整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系。但需要注意的是，這并不意味著小數(shù)的學(xué)習(xí)一定要通過(guò)分?jǐn)?shù)。在北師大版教材中，就直接通過(guò)溝通整數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)在小數(shù)后面。因此，通過(guò)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)小數(shù)，是否可以幫助學(xué)生更好地理解小數(shù)的意義，需要更進(jìn)一步的探討。

二、學(xué)生在認(rèn)識(shí)小數(shù)中存在的困難

小數(shù)可以看成是特殊的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，小數(shù)的產(chǎn)生也是以對(duì)“1”1進(jìn)行十等分之后產(chǎn)生的。因此，在小數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)中，加強(qiáng)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的聯(lián)系是毋庸置疑的。正是基于這樣的考慮，不論是“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”還是“小數(shù)的意義”，很多教材都試圖通過(guò)分?jǐn)?shù)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)。

事實(shí)上，建立小數(shù)與十進(jìn)制的聯(lián)系，并非形式上的“[310]=0.3”，而應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：第一，只有將“1”平均分成10份，才能產(chǎn)生小數(shù)，即“十分”可以產(chǎn)生0.1這樣更小的計(jì)數(shù)單位，這與“十進(jìn)”后可以產(chǎn)生“十”“百”“千”這樣更大的計(jì)數(shù)單位是相通的。第二，將“1”平均分成10份以后，取其中的幾份就是零點(diǎn)幾。在認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，重視對(duì)這兩點(diǎn)的理解，更容易幫助學(xué)生理解小數(shù)的本質(zhì)，也更符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中數(shù)系擴(kuò)充的順序。如果將十進(jìn)制在另一個(gè)方向進(jìn)行應(yīng)用，由積累成“十”到細(xì)分成“十份”，就能從自然數(shù)擴(kuò)充到小數(shù)。這與“十分之幾就是零點(diǎn)幾”這樣的形式表述有著本質(zhì)區(qū)別。