王英

《數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：讓學生獲得“數(shù)學活動經(jīng)驗”不僅指學習主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程所獲得的具有個性特征的經(jīng)驗，還強調(diào)學生在活動中從數(shù)學的角度進行思考，直觀地、合情地獲得一些結(jié)果。數(shù)學活動經(jīng)驗不僅僅指實踐的經(jīng)驗、知識的經(jīng)驗，更重要的是思維的經(jīng)驗，是在數(shù)學活動中思考的經(jīng)驗。數(shù)學教學應(yīng)關(guān)注學生的認知經(jīng)驗背景，要善于利用學生已有的數(shù)學知識和經(jīng)驗特點，經(jīng)過獨立思考，探索實踐，合作交流，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，從而實現(xiàn)從經(jīng)驗認知到數(shù)學認知的飛躍。我以為，經(jīng)驗是數(shù)學學習的“無痕”之道。

一、 聯(lián)系實踐經(jīng)驗，在生活百科中融合

數(shù)學教學是一種緣于生活又運用于生活中的學習活動。教師應(yīng)聯(lián)系學生的生活，將生活百科中學生熟悉的、有數(shù)學價值的素材和數(shù)學課堂加以融合，聯(lián)系實踐經(jīng)驗理解數(shù)學知識，應(yīng)用數(shù)學知識解決生活問題，從而聯(lián)通學生的“現(xiàn)實世界”與“數(shù)學世界”，讓學生的數(shù)學學習在不知不覺中開始。

1.利用“生活原型”，逐步抽象數(shù)學模型

在數(shù)學課堂上，教師應(yīng)充分利用“生活原型”， 引導學生在感悟和認知的過程中進行數(shù)學分析和歸納，促進學生對數(shù)學概念的理解，對數(shù)學知識的自主建構(gòu)，讓學生從生活的“感性認識”提升為數(shù)學的“理性認識”。

例如，在教學蘇教版六年級上冊“百分數(shù)的認識”一課時，課前我先請學生收集生活中的百分數(shù)，不僅能讓學生深刻感受到生活中百分數(shù)的廣泛應(yīng)用，還能很好地激發(fā)學生已有的生活經(jīng)驗，引導學生理解生活中百分數(shù)的實際意義，在學生的感性認識基礎(chǔ)上，教師適時補充200%、100%、0.1%等一些生活中特殊的百分數(shù)，適當拓寬百分數(shù)概念的外延，在此基礎(chǔ)上理解百分數(shù)的意義，從而培養(yǎng)學生透過生活原型、利用實踐經(jīng)驗抽象出數(shù)學本質(zhì)的模型。

2.應(yīng)用數(shù)學模型，類比解決生活問題

數(shù)學學習的價值還在于學生能更好地運用所學的數(shù)學知識解決生活問題。在小學數(shù)學教學中，教師應(yīng)鼓勵學生學會用數(shù)學的眼光看待生活現(xiàn)象，根據(jù)生活中遇到的實際問題提煉出數(shù)學要素，抽象出數(shù)學問題，靈活運用數(shù)學模型解決生活問題。

在教學蘇教版小學數(shù)學六年級上冊“長方體和正方體的表面積復習”時，課前我照例讓學生用自己喜歡的方式將相關(guān)知識點進行自主整理，自主建構(gòu)知識體系后，緊密聯(lián)系生活實際問題，打開數(shù)學模型與生活問題的通道，例如長方體和正方體的表面積問題與求6個面的箱子問題，求5個面的魚缸問題、書套問題，求4個面的通風管問題，求1個面的占地面積問題以及長方體或正方體的分割問題、拼接問題等，靈活應(yīng)用長方體和正方體的表面積計算公式這一數(shù)學模型來解決生活中的諸多實際問題。

我以為，生活處處皆數(shù)學，我們要以學生的視角，合理利用學生的生活素材，努力尋找數(shù)學學習與學生已有實踐經(jīng)驗的結(jié)合點、生長點、延伸點，學會用數(shù)學的眼光去解決生活問題，體現(xiàn)學習數(shù)學的價值。

二、利用知識經(jīng)驗，在縱觀全局中融匯

數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生已有知識和經(jīng)驗在頭腦中的組織形式。而數(shù)學知識結(jié)構(gòu)間是相互關(guān)聯(lián)的，教師應(yīng)了解知識的前世、今生和未來，在數(shù)學教學中，站在縱觀全局的高度融匯已有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，充分激活學生已有的知識經(jīng)驗，讓學生在循序漸進中掌握知識。

1.瞻前顧后，構(gòu)建新舊知識的連接點

數(shù)學教學就是要借助數(shù)學知識前后的邏輯結(jié)構(gòu)，在研讀教材的基礎(chǔ)上，理解新舊知識之間密切的邏輯關(guān)系，引導學生由舊入新，精心設(shè)計教學環(huán)節(jié)，有意識地幫助學生構(gòu)建新舊知識前后的連接點，為學生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。

例如，在教學蘇教版六年級上冊“用距離和方向確定位置”時，縱觀關(guān)于確定位置前后，新舊知識是有著密切聯(lián)系的。一年級用上下、左右、前后等方位詞表示物體之間的位置關(guān)系;二年級用東、南、西、北，東南、東北、西南、西北等方向詞描述物體所在的位置;四年級是用數(shù)對描述物體的具體位置，建立直角坐標系的雛形;六年級用方向與距離確定位置。不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于確定位置從表示一條直線上的位置到表示一個平面上、一個直角坐標系中的位置，以后也許還會表示一個球面空間的位置，數(shù)學知識的學習是一個螺旋上升的系統(tǒng)工程，相同的知識板塊編排在不同的學段和年級有著密切的聯(lián)系。

2.由此及彼，尋找知識關(guān)聯(lián)的生長點

數(shù)學知識不僅有新舊知識的聯(lián)系，還有知識板塊之間的相互關(guān)聯(lián)，所以教師在理解教材編排意圖、把握每個知識板塊重難點的基礎(chǔ)上，努力尋找知識關(guān)聯(lián)的生長點，從而使學生從整體上把握學科及其核心的內(nèi)容，實現(xiàn)學生對數(shù)學知識的深度理解，融會貫通。

例如，在教學蘇教版四年級下冊“加法交換律”一課時，特級教師張苾菁著力尋找知識關(guān)聯(lián)的生長點，教學中首先關(guān)聯(lián)加法意義的本質(zhì)理解：交換兩個加數(shù)的位置，和不變，那么3個加數(shù)，更多個加數(shù)呢？其次關(guān)聯(lián)乘法交換律，在其他運算中有沒有這種運算規(guī)律呢？還關(guān)聯(lián)探索規(guī)律的方法習得，讓學生經(jīng)歷觀察猜想—舉例驗證—觀察發(fā)現(xiàn)—總結(jié)歸納—明理回歸—個性表達這樣一個比較科學完整的探索規(guī)律的過程，學生獲得的不僅僅是數(shù)學知識，更是一種策略、一種能力、一種思想。

我以為，教師應(yīng)站在縱觀全局的高度，找到新舊知識的連接點，不僅要敢于退，退到學生已有的知識經(jīng)驗上，也要敢于進，進到學生未知的知識領(lǐng)域。同時要尋找知識關(guān)聯(lián)的生長點，在本質(zhì)上求同，在比較中求聯(lián)，并采用螺旋上升、前后推演的辦法幫助學生掌握知識，理解意義和發(fā)展思維，實現(xiàn)知識的整體構(gòu)建。

三、積累思維經(jīng)驗，在類比與建模中融通

思維經(jīng)驗相對于實踐經(jīng)驗來說更為抽象、更為隱性，它是一種在思維活動中獲得的過程性體驗。在數(shù)學教學中，教師要充分挖掘思維的本源，通過“舉三反一”“舉一反三”等多種方式展開活動，發(fā)展思維，積累經(jīng)驗。讓學生在感悟和體驗中經(jīng)歷思維的全過程，學會內(nèi)化，形成一個融通的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，從而積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

1.在“舉三反一”中建立模型

《數(shù)學課程標準（2011年版）》強調(diào)：“讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應(yīng)用的過程?！苯?jīng)歷數(shù)學建模就是一個“舉三反一”的過程，也就是一個歸納推理的過程。

例如，在教學小學數(shù)學五年級上冊拓展課 “握手問題”時，教師引導學生思考：4個人兩兩握手，和每人握一次，一共要握多少次？學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗可以畫圖、連線甚至四人小組實際操作等多種方式得出6次，通過觀察比較、異中求同得出計算方法后，緊接著思考假如一共有5人、 6人、10人呢？

學生觀察發(fā)現(xiàn)：每人握手次數(shù)總是比總?cè)藬?shù)少1;握手總次數(shù)就是從每人握手次數(shù)開始依次往后加到1。在學生初步感知的基礎(chǔ)上，再提出一共有10人呢？隨著握手人數(shù)的增加，用加法計算握手總次數(shù)比較復雜，由此討論得到另一種計算方法：10×9÷2;最后還可以拓展到n人握手，握手總次數(shù)是n×（n-1）÷2。

我以為，要讓學生真正理解一個規(guī)律，首先要通過“舉三反一”， 讓學生練習在題型結(jié)構(gòu)、解題方法、數(shù)學思想上具有同一模型的一組習題，在充分交流、觀察、反饋、總結(jié)基礎(chǔ)上，學生有了豐富的感性認識的積淀以后，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，理解數(shù)學的本質(zhì)。這樣不僅能夠加深對規(guī)律的理解，而且可以培養(yǎng)學生初步的建模意識。

2.在“舉一反三”中類比聯(lián)想

數(shù)學問題之間是有關(guān)聯(lián)的，教師應(yīng)根據(jù)學生需求，通過適當?shù)慕虒W手段，引導學生深入理解，靈活應(yīng)用所學內(nèi)容，從而由此及彼，在處理不同的情境和問題中感悟到一般的規(guī)律后，在“舉一反三”中學會變通，學會內(nèi)化，形成融通的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，創(chuàng)生新的經(jīng)驗。

例如，教學上述“握手問題”新授環(huán)節(jié)后，我出示“握手總?cè)藬?shù)、每人握手次數(shù)，握手總次數(shù)的計算方法”這三個要素中的任意一個要素，要求學生思考：怎樣得到其他兩個要素？這就是引導學生學會“舉一反三”。

隨后，我組織學生全面回顧“握手問題”所經(jīng)歷的數(shù)學思維過程，引導學生進行類比、遷移、聯(lián)想，在“舉一反三”中融會貫通，由握手問題還想到了“兩兩跳舞”“兩兩通電話”“數(shù)線段”“數(shù)角”“數(shù)長方形”“數(shù)三角形”等實際問題。從而認識到不同現(xiàn)象之間有著共同的本質(zhì)，深刻體會數(shù)學模型的抽象概括性，感受數(shù)學以簡就繁，萬象同理的神奇，世界上有做不完的數(shù)學題，但是我們卻可以觸類旁通，萬物歸宗。

學生的數(shù)學建構(gòu)活動不只是單一的經(jīng)驗同化過程，而是多元經(jīng)驗的積累過程，所以教師應(yīng)組織多元化的數(shù)學活動，讓學生多角度觸及數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，從而豐富學生的數(shù)學思維經(jīng)驗，不斷修正、改進數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，進而創(chuàng)生出學生自己的個性化經(jīng)驗，形成相對穩(wěn)定的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，讓學生的數(shù)學素養(yǎng)在春風化雨中不斷提升，這也許就是學生學習數(shù)學的“無痕”之道。

（作者單位：江蘇省張家港市塘市小學）

責任編輯 周瑜芽