陳瑞鵬,李小亞

( 北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏 銀川750021)

1.引言與主要結(jié)果

近年來,非線性微分方程

周期解的存在性被諸多學(xué)者深入研究,其中a,b∈C(R,[0,∞))為ω-周期函數(shù)且滿足

τ是一個ω-周期連續(xù)函數(shù),λ為正參數(shù).注意到當(dāng)λ=0時,方程(1.1)將退化為u′=?a(t)u,這恰為經(jīng)典的馬爾薩斯人口模型.在現(xiàn)實世界應(yīng)用中,方程(1.1)主要用于描述與呼吸、心律失常及血細(xì)胞生成等密切相關(guān)的多種人體生理過程,相關(guān)研究成果見文[1-10]及其參考文獻(xiàn).同時,諸多學(xué)者致力于研究(1.1)相應(yīng)的微分系統(tǒng),例如[11-13]等.特別地,文[12]討論了系統(tǒng)

注意到基本假設(shè)∫ω0ai(t)dt>0通常用于保證線性微分方程

是非共振的,該假設(shè)在上述所涉及文獻(xiàn)的討論中起到了關(guān)鍵作用.事實上,在非共振情形下,能夠運用不動點理論、分歧理論等經(jīng)典工具研究相應(yīng)問題并建立存在性結(jié)果.這里稱線性方程(1.3)為非共振的,若它的唯一解是平凡解.假設(shè)h是一個L1-函數(shù),當(dāng)線性方程(1.3)非共振時,由著名的Fredholm二擇一定理可知非齊次問題存在唯一解,且可表示為

其中G(t,s)為(1.3)相應(yīng)的Green函數(shù),參見文[7-13]等.

顯然,大多數(shù)學(xué)者主要研究非共振問題.相比較而言,對于共振系統(tǒng)和方程的研究進(jìn)展十分緩慢,而且關(guān)于共振系統(tǒng)周期解的存在性結(jié)果極少.對于共振情形下非線性微分方程的其它研究工作,可見文[14-17]等.于是,一個自然而有趣的問題是:當(dāng)

時,方程(1.1)相應(yīng)的微分系統(tǒng)是否仍存在周期解? 本文將為非自治共振系統(tǒng)

建立新的周期解存在性定理,從而為該問題給予肯定的回答.此處稱向量函數(shù)(u(t),v(t)),t∈R,為系統(tǒng)(1.4)的一個周期解,若u(t)=u(t+ω),v(t)=v(t+ω),u=u(t),v=v(t)∈C1[0,ω]且滿足(1.4).據(jù)我們所知,上述問題迄今未曾被研究過,本文所得結(jié)果將填補這個空白.

本文總假設(shè):

(H1)f,g∈C(R×R×R,R)有界且關(guān)于t是ω-周期的.此外,存在正常數(shù)l1和l2,使得對任意的(t,x,y)∈R×R×R,

(H2)pi,ci∈C(R,R)是ω-周期函數(shù)且滿足ci(t)dt=0,i=1,2.

注1.1(H2)蘊含了函數(shù)ci的平均值滿足

在上述基本假設(shè)下,本文的主要結(jié)論是:

定理1.1假設(shè)(H1)和(H2)成立.若p1(t)≡0,p2(t)≡0,則系統(tǒng)(1.4)至少存在一個周期解.

注1.2由條件p1(t)≡0,p2(t)≡0可得∫(t)dt=0 (i=1,2),從而本文所研究的微分系統(tǒng)(1.4)是共振系統(tǒng).

引理1.1[18]令

其中Rn是通常的n-維歐式空間,其范數(shù)為假設(shè)映射F=(f1,f2,···,fn):Rn在G的閉包G上連續(xù),對G的邊界?G上的元素x成立F(x)≠θ=(0,0,···,0),并且

(i)fi(x1,x2,···,xi?1,?L,xi+1,···,xn)≥0,1≤i≤n;

(ii)fi(x1,x2,···,xi?1,+L,xi+1,···,xn)≤0,1≤i≤n.

則F(x)=θ在G中存在一個解.

本文結(jié)構(gòu)作如下安排:在第二部分我們將證明定理1.1,并給出具體的例子來闡釋本文的主要結(jié)果;在第三部分我們將給出一些相關(guān)結(jié)果和注記.

2.主要結(jié)果的證明

方便起見,首先給出一些符號和定義.

定義線性微分算子Li:D(Li)→E,

其中E=C[0,ω]是一個Banach空間,范數(shù)為且

因為Ker(Li)={c},c∈R,所以算子Li不可逆.進(jìn)一步,令Lx:=x′,則由p1(t)≡0,p2(t)≡0可得

定理1.1的證明令V=KerL,則其中

于是,u和v可重寫為

由假設(shè)(H2)可知(u,v)是系統(tǒng)(1.4)的一個周期解當(dāng)且僅當(dāng)(u,v)滿足下列方程

由(2.1)和(2.3)分別可得

進(jìn)一步,假設(shè)(H1)保證了存在常數(shù)M1>0,M2>0,使得

據(jù)此并直接應(yīng)用Schauder不動點定理[19],不難證明對任意的s和ρ,方程(2.5)和(2.6)均存在不動點.假設(shè)對于s=s?,ρ=ρ?,方程(2.5)和(2.6)分別有不動點和,這里s?與ρ?是某些待定常數(shù).此外,容易看到(2.5)的每個可能的解φ是有界的,因而存在常數(shù)R1>0,使得對滿足(2.5)的φ成立‖φ‖≤R1.同理,存在常數(shù)R2>0,使得(2.6)的任一可能解ψ滿足‖ψ‖≤R2.

則本定理的證明將完成.事實上,可取充分大的正常數(shù)s1,使得s1+≥l1>0,進(jìn)一步由假設(shè)(H1)可知

另一方面,存在絕對值充分大的常數(shù)s2<0,使得s2+≤?l1<0,從而

類似地,可選取常數(shù)ρ1>0和ρ2<0,它們滿足ρ1與|ρ2|充分大,且使得

相應(yīng)地,可得

令

定義

則由假設(shè)(H1)易知F:=(F1,F2):R2在上連續(xù).此外,結(jié)合(2.9)-(2.12)及G的定義,不難驗證F((s,ρ))≠θ=(0,0),?(s,ρ)∈?G.

下面,我們將證明引理1.1的條件(i)和(ii)滿足.首先,若能夠證明

與

則引理1.1的條件(i)必滿足.事實上,由算子L的定義可知?L+≤s2+≤?l1,這結(jié)合假設(shè)(H1)中的第一個不等式表明(2.13)成立.進(jìn)一步,假設(shè)(H1)及?L+≤ρ2+≤?l2保證了(2.14)亦滿足.通過類似討論可得

于是,引理1.1的條件(ii)亦成立.

最后,由引理1.1可知存在(s0,ρ0)∈G,使得F((s0,ρ0))=θ,因而(2.7)和(2.8)成立.令s?=s0,ρ?=ρ0,則定理1.1證畢.

例2.1考慮非自治共振系統(tǒng)

顯然,

c1(t)=sint,c2(t)=cost是關(guān)于t的2π-周期連續(xù)函數(shù),且滿足

因此,假設(shè)(H2)滿足.

另一方面,f(t,u,v):=于R3上連續(xù)且關(guān)于變量t是2π-周期的.進(jìn)一步,不難驗證

并且對任意正常數(shù)l1,有

于是,f(t,u,v)滿足假設(shè)(H1).同理可知

亦滿足假設(shè)(H1).從而由定理1.1可知系統(tǒng)(2.15)至少存在一個周期解.

注2.1顯然,非自治共振系統(tǒng)(2.15)并不能由文[5-13]等所采用的研究方法處理,而且上述存在性結(jié)果是新穎的.

3.相關(guān)結(jié)果與注記

本節(jié)將給出一些相關(guān)結(jié)果和注記.

推論3.1假設(shè)(H1)和(H2)成立.若

則系統(tǒng)

至少存在一個周期解.

證類似于定理1.1的證明,易知結(jié)論成立.

考慮如下n×n系統(tǒng)

假設(shè):

(H1)′fi∈C(R×Rn,R)有界,且關(guān)于變量t為ω-周期.存在正常數(shù)li,使得對任意(t,x1,x2,···,xn)∈R×Rn,有

(H2)′ pi,ci∈C(R,R)是ω-周期函數(shù)且滿足

定理3.1假設(shè)(H1)′和(H2)′成立.若pi(t)≡0 (i=1,2,···,n),則系統(tǒng)(3.1)至少存在一個周期解.

證通過與定理1.1證明中類似的討論,可證結(jié)論成立.

注3.1需要指出的是對于特殊情形

定理3.1 的結(jié)論仍成立.

注3.2本文并未討論pi(t)0但0pi(t)dt=0 (i=1,2,···,n)的情形,然而我們相信定理1.1的證明方法完全可以用來處理此情形.此外,雖然本文主要討論時滯函數(shù)τ(t)≡0的情形,但是定理1.1的證明方法對于τ(t)0的系統(tǒng)仍適用.