蘇曉,王書(shū)彬,宋瑞麗

(1.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,河南 鄭州450001;2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州450001;3.中原工學(xué)院信息商務(wù)學(xué)院,河南 鄭州450007)

1.引言

本文研究下列初邊值問(wèn)題

的弱解在有限時(shí)間發(fā)生爆破的充分必要條件及爆破時(shí)間的下界估計(jì),其中?是Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域,??是?的邊界,f(u)=|u|p?1u,1

?βλ1,λ1>0是??在Dirichlet邊界條件下的第一特征值,下標(biāo)t表示對(duì)t的偏導(dǎo)數(shù)．

1872年Boussinesq[1]提出一類(lèi)描述淺水長(zhǎng)波的方程

并給出了方程(1.4)的某些特殊孤立波．1974年Zakharov[13]提出方程(1.4)的另一種形式

用來(lái)描述非線性弦振動(dòng).方程(1.4)和(1.5)被后人稱(chēng)為Boussinesq(Bq)方程．Bq方程的提出第一次對(duì)Russel提出的孤立波現(xiàn)象[8]做出了科學(xué)的滿意的解釋[2].Bq方程是經(jīng)典線性波方程的擾動(dòng)形式,結(jié)合了非線性和色散的基本思想,這也是許多水波模型的特點(diǎn)．此后Bq方程得到了廣泛的研究應(yīng)用和推廣,從不同形式的非線性項(xiàng)的角度出發(fā)提出了廣義Bq方程

Bq方程及其廣義形式的定解問(wèn)題得到了廣泛的研究,并取得了豐富的研究結(jié)果,這些結(jié)果主要集中在初值問(wèn)題和初邊值問(wèn)題弱解和強(qiáng)解的整體適定性、有限時(shí)間爆破及解的長(zhǎng)時(shí)間行為.1988年Bona和Sachs[2]研究了方程(1.6)的初值問(wèn)題．作者使用擬線性發(fā)展方程的Kato理論證明了問(wèn)題的局部適定性,并進(jìn)一步證明了古典解的存在性.1993年Linares[4]研究了方程(1.6)的初值問(wèn)題,其中非線性項(xiàng)為f(u)=|u|αu．通過(guò)建立相應(yīng)的線性問(wèn)題解的光滑效應(yīng)(Lp-Lq估計(jì)或Strichartz 估計(jì))結(jié)合壓縮映像原理討論了低正則局部解,通過(guò)建立能量等式進(jìn)一步證明了當(dāng)初值分小時(shí)H1(R)中的局部解可延拓為整體解,并給出了解的衰減性質(zhì)．1995年LIU[5]利用凸性方法證明了方程(1.6)孤立波解的不穩(wěn)定性.2000年LIU[6]研究了當(dāng)初值落在基態(tài)解的某個(gè)小鄰域內(nèi)時(shí)解的有限時(shí)間爆破,此結(jié)論是文[5]中爆破結(jié)果的一個(gè)改進(jìn)．

Bq方程及廣義Bq方程孤立波的存在性說(shuō)明了非線性項(xiàng)和色散之間的平衡．在耗散系統(tǒng)中沒(méi)有能量守恒而是能量生成(energy production) 和耗散之間的平衡關(guān)系．為了描述非線性項(xiàng)、能量生成和耗散之間的關(guān)系,1994年Christov和Velarde[3]提出了用來(lái)描述薄粘性液體中流動(dòng)的耗散Bq方程：

方程(1.7)還可描述非線性彈性梁的振動(dòng)[9].當(dāng)α4=0時(shí),方程(1.7)就是阻尼Bq方程.

WANG和SU在文[11-12]中分別研究了方程(1.7)的初邊值問(wèn)題和初值問(wèn)題,討論了在三種不同初始能量狀態(tài)下弱解的整體適定性及弱解在有限時(shí)間爆破的充分條件,并在文[12]中討論了低初始能量狀態(tài)下解在有限時(shí)間發(fā)生爆破的必要條件.其中在文[11]中得到了如下結(jié)論:若存在時(shí)間t0使得u(t0)落在位勢(shì)井集合,

內(nèi),則存在時(shí)間Tmax使得問(wèn)題(1.1)-(1.3)的弱解u滿足

其中

I(u)也被稱(chēng)為Nehari泛函,位勢(shì)井深度d定義為

關(guān)于位勢(shì)井深度的討論可以參看文[5,7,10].反之,若問(wèn)題(1.1)-(1.3)的弱解滿足(1.9),是否一定存在時(shí)間t0≥0使得u(t0)∈V？本文將證明在非線性增長(zhǎng)階p滿足一定條件下,上述結(jié)論是正確的,即給出了問(wèn)題(1.1)-(1.3)的弱解在有限時(shí)間爆破的必要條件.此外本文還給出解存在的最大時(shí)間Tmax的一個(gè)下界估計(jì),這些結(jié)論在文[11]中未得到討論,本文是對(duì)文[11]的一個(gè)補(bǔ)充說(shuō)明.

文中將使用標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)：Lp=Lp(?)表示Lebesgue空間,‖· ‖Lp表示Lp中的范數(shù),其中1≤p≤∞,為了書(shū)寫(xiě)方便,用‖· ‖表示L2中的范數(shù);H10=H10(?)表示Sobolev空間,‖·‖L2+‖?·‖L2與‖?·‖L2是H10中的等價(jià)范數(shù);(·,·)表示L2中的內(nèi)積．

2.預(yù)備知識(shí)

文[11]中給出了問(wèn)題(1.1)-(1.3)的局部適定性并建立了能量等式.

定理2.1令p滿足

則存在時(shí)間Tmax>0,使得問(wèn)題(1.1)-(1.3)有唯一弱解u滿足

且

進(jìn)一步有能量守恒式成立,即

其中

另外,如果

則Tmax=∞.

定義2.1如果Tmax<∞,則稱(chēng)問(wèn)題(1.1)-(1.3)的弱解在有限時(shí)間爆破,Tmax稱(chēng)為爆破時(shí)間;如果Tmax=∞,則稱(chēng)問(wèn)題(1.1)-(1.3) 的弱解是整體存在的．

3.主要結(jié)論及證明

定理3.1令p滿足(2.1) 且當(dāng)β=0,1≤n≤4時(shí)1

注3.1假設(shè)條件：β=0,1≤n≤4時(shí)p滿足1

證充分性的證明參看文[11]中定理2.6．

下面給出必要性的證明．

步1 我們首先證明若Tmax<∞,則有

特別地,當(dāng)β=0時(shí)有

事實(shí)上,若Tmax<∞,由定理2.1可知

由能量守恒式(2.4)可得

由此可知

由p的假設(shè)條件可知H10+1,故

其中C?是Sobolev最佳嵌入常數(shù),則(3.1)成立.

當(dāng)β=0時(shí),注意到則由Gagliado-Nirenber不等式和ε-Young不等式可知

取ε<1,由(3.1)可得(3.2).

步2 證明

注意到

則由H?lder不等式和能量等式(2.4) 可得

對(duì)以上兩個(gè)不等式兩邊取極限,令,并由(3.1)和(3.2)知(3.4)成立.

由E(t)和I(u)之間的關(guān)系式,

可知

故一定存在t0∈[0,Tmax)使得

定理2.1得證．

定理3.2令p滿足(2.1).如果問(wèn)題(1.1)-(1.3)的弱解在有限時(shí)刻Tmax發(fā)生爆破,則

當(dāng)β >0時(shí)

當(dāng)β=0時(shí)

證令

則由能量等式(2.4)可知

上式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)可得

下面我們分β >0和β=0兩種情況分別討論.

情形1當(dāng)β >0時(shí),由假設(shè)條件(2.1),并使用H?lder不等式和Sobolev嵌入定理可得

由插值不等式可知

當(dāng)0<θ <1時(shí),上式可化簡(jiǎn)為

其中b=(C1Cp?cθ?)2,a=1?θ.解此常微分不等式得

當(dāng)θ=1,即n≥3且p=時(shí)H(t)可估計(jì)為

解得

(3.9)和(3.10)說(shuō)明H(t)至少在[0,T)上是有界的,其中T由(3.5)定義.

情形2當(dāng)β=0時(shí),由條件(2.1)和Young不等式,可知

將上式帶入(3.7) 可得

這個(gè)式子說(shuō)明H(t)至少在[0,T)上是有界的,其中T由(3.6)定義.定理得證．