楊鵬,楊志江,孔祥鑫

(1.西京學(xué)院理學(xué)院,陜西 西安710123;2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安710049;3.濰坊市工程技師學(xué)院電氣系,山東 諸城262233;4.諸城市密州路學(xué)校,山東 諸城262233)

1.引言

1952年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz在文[1]中引入了投資組合策略選擇問題,他用財(cái)富的均值表示投資者的收益,用財(cái)富的方差表示投資者的風(fēng)險(xiǎn).投資組合策略選擇問題的目標(biāo)是:求得最優(yōu)策略使投資者的收益最大,同時(shí)投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小.自從該問題提出,就受到了很多學(xué)者的關(guān)注,特別是進(jìn)入21世紀(jì),有越來越多的學(xué)者研究該問題.文[2]首次研究了多階段、連續(xù)時(shí)間的投資組合策略選擇問題;文[3]用線性二次控制的方法研究了投資組合策略選擇問題;文[4]研究了負(fù)債對(duì)投資策略的影響.

對(duì)保險(xiǎn)公司來說,通過投資可以增加財(cái)富,因此,有很多學(xué)者研究保險(xiǎn)公司的投資策略選擇問題.如:文[5]在第二章第四節(jié)研究了Cramer-Lundberg(CL)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下,再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題,通過求解相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程得到了最優(yōu)策略和有效前沿的顯式解問題;文[6]在文[5]的基礎(chǔ)上,研究了復(fù)合Poisson-Geometric(PG)風(fēng)險(xiǎn)模型的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題;文[7]在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足CEV模型時(shí),利用線性二次控制理論研究了再保險(xiǎn)-投資策略選擇.

上述提到的文獻(xiàn),得到的最優(yōu)策略是時(shí)間不一致的.在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,保險(xiǎn)人每天的偏好有可能是不同的,但是在很多情形下,他們追求的最優(yōu)策略基本保持一致.因此,研究時(shí)間一致的策略在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義.文[8]在CL經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下,研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題;文[9]在Heston模型下,研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇;文[10]在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)帶跳下,研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題;文[11]在CEV模型下,研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題;文[12]在狀態(tài)相依下,研究了時(shí)間一致的策略選擇問題.

PG風(fēng)險(xiǎn)模型是近年來發(fā)展起來的一個(gè)模型,它是經(jīng)典CL風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣.CL風(fēng)險(xiǎn)模型中,風(fēng)險(xiǎn)事件與賠付事件是等價(jià)的,而且描述理賠次數(shù)的是Poisson過程.正如文[13]所說,在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,風(fēng)險(xiǎn)事件與賠付事件有可能不是等價(jià)的,比如在保險(xiǎn)公司推出免賠額制度和無賠款折扣(NCD)等制度后,風(fēng)險(xiǎn)事件就不一定是賠付事件,理賠次數(shù)過程就不再是Poisson過程.PG風(fēng)險(xiǎn)模型中,描述理賠次數(shù)的過程是PG過程.文[14]通過研究得到:PG過程是Poisson過程的推廣,并且PG過程中風(fēng)險(xiǎn)事件與賠付事件不再等價(jià).文[15]研究了PG風(fēng)險(xiǎn)模型中,最優(yōu)投資-分紅策略;文[16]在比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)下,研究了PG風(fēng)險(xiǎn)模型中的調(diào)節(jié)系數(shù)方程、破產(chǎn)概率等問題;文[17]研究了一類PG風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)域的矩母函數(shù).

據(jù)我們所知,在PG風(fēng)險(xiǎn)模型中,沒有學(xué)者研究時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題.因此,本文在PG風(fēng)險(xiǎn)模型中研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題.大多數(shù)學(xué)者在考慮再保險(xiǎn)時(shí),一般采用期望值原理計(jì)算,本文按照方差值原理計(jì)算再保險(xiǎn)的保費(fèi).方差值原理是期望值原理的推廣,方差值原理不但含有理賠額的期望,還含有理賠額的二階矩.在考慮投資時(shí),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足帶跳的隨機(jī)微分方程.應(yīng)用隨機(jī)控制理論,我們求得了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的顯式解,分析了結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義及模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響.

2.金融模型與研究目標(biāo)

為了引入PG保險(xiǎn)模型,首先給出PG分布和PG過程的定義.

定義2.1(PG分布) 設(shè)常數(shù)λ >0和0≤l <1,t >0,若隨機(jī)變量X的概率母函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為λ和l的PG分布,記為X～PG(λ,l).

定義2.2(PG過程) 若計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足條件:(i)N(0)=0;(ii)N(t)具有獨(dú)立平穩(wěn)增量;(iii)對(duì)t≥0有N(t)～PG(λt,l),則稱{N(t),t≥0}是參數(shù)為λ和l的PG過程.

注2.1(i)通過PG過程的定義有,

(ii)當(dāng)l=0時(shí),PG 過程轉(zhuǎn)化為Poisson過程,所以PG過程可看作Poisson過程的推廣.

注2.2(i) 若{N(t),t≥0}是Poisson過程,即l=0,則E[N(t)]=Var[N(t)]=λt,λ代表了保單的平均風(fēng)險(xiǎn)暴露.當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)事件與理賠事件一致時(shí),λ也是平均理賠頻率.因此,當(dāng)每一次風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生都理賠且每一次理賠確實(shí)反映一次風(fēng)險(xiǎn)事件時(shí),理賠次數(shù)可以用Poisson過程描述.

(ii) 如果保險(xiǎn)公司附加一些理賠條件(如:免賠額或NCD理賠條件)時(shí),理賠事件就不等同于風(fēng)險(xiǎn)事件了,這時(shí)就不能用Poisson過程描述理賠次數(shù).對(duì)于PG過程,當(dāng)l≠0時(shí)E[N(t)]≠Var[N(t)],因此可以用PG過程描述理賠事件不等同于風(fēng)險(xiǎn)事件的情形.

基于上述定義的PG過程,下面在CL經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上,給出PG風(fēng)險(xiǎn)模型.設(shè)X(t)為時(shí)刻t保險(xiǎn)公司的財(cái)富,它滿足微分方程dX(t)=cdt?dS(t).其中c >0是保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的保費(fèi)收入;這里{Yk,k=1,2,···}是一列相互獨(dú)立同分布取值為正值的隨機(jī)變量序列,它們的共同分布為FY(y),密度函數(shù)為fY(y).Yk表示第k次理賠額,具有有限的一階矩μ11和二階矩μ12.{N1(t),t≥0}是PG過程,代表到時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司理賠發(fā)生的次數(shù),它具有參數(shù)λ1>0和0≤l<1.

再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的一種方式,再保險(xiǎn)主要有比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)兩種形式,本文考慮比例再保險(xiǎn).對(duì)任意的時(shí)間t >0設(shè)比例再保險(xiǎn)的水平為a(t),滿足a(t)≥0,當(dāng)a(t)∈[0,1],表示保險(xiǎn)公司進(jìn)行再保險(xiǎn);當(dāng)a(t)>1表示保險(xiǎn)公司采取了新業(yè)務(wù),或者理解為保險(xiǎn)公司接受了新的分保,這時(shí)保險(xiǎn)公司充當(dāng)了再保險(xiǎn)人的角色.大多數(shù)文獻(xiàn)在考慮再保險(xiǎn)的保費(fèi)計(jì)算方式時(shí)使用期望值原理計(jì)算,然而期望值原理只包含理賠的一階矩(期望)但不包含理賠的其它信息.方差值原理是計(jì)算再保險(xiǎn)保費(fèi)的另一種方式,方差值原理不但包含理賠的一階矩(期望)也包含理賠的二階矩,方差值原理是期望值原理的一種推廣.基于此考慮,本文使用方差值原理計(jì)算再保險(xiǎn)的保費(fèi),也就是再保險(xiǎn)的保費(fèi)為其中α>0為一常數(shù).考慮比例再保險(xiǎn)后,保險(xiǎn)公司的財(cái)富過程滿足下面的隨機(jī)微分方程

在金融市場(chǎng)上投資是保險(xiǎn)公司增加收入的一種方式,下面給出本文用到的金融市場(chǎng).金融市場(chǎng)由一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如債券、銀行存款等)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如:股票等)組成.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格為B(t),滿足微分方程dB(t)=rB(t)dt,其中r >0表示利率.在現(xiàn)實(shí)金融活動(dòng)中,由于受到一些不確定因素的影響(如:金融危機(jī)、政府宏觀調(diào)控、通貨膨脹、負(fù)債等),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)會(huì)發(fā)生一些劇烈的跳動(dòng),因此本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足帶跳的隨機(jī)微分方程.也就是,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格P(t) 滿足下面帶跳的的隨機(jī)微分方程

其中μ >0為常數(shù),表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率;σ >0也是常數(shù),表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率;{W(t),t≥0}是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),代表不確定的收益或損失;是一復(fù)合泊松過程,代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)發(fā)生的跳動(dòng),它滿足其中{N2(t),t≥0}是參數(shù)為λ2的泊松過程;{Zk,k=1,2,···}為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,共同分布為FZ(z),密度函數(shù)為fZ(z).Zk的一階矩和二階矩都存在,分別為μ21和μ22.由于保險(xiǎn)公司從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上獲得的平均收益一般要大于從無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上獲得的平均收益,因此假設(shè)μ >r.另外還假設(shè){Yk,k=1,2,···},{N1(t),t≥0},{Zk,k=1,2,···}和{N2(t),t≥0}相互獨(dú)立.

設(shè)T為投資的終止時(shí)刻,保險(xiǎn)公司在有限的時(shí)間區(qū)間[0,T]內(nèi)進(jìn)行再保險(xiǎn)來減少風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)考慮在金融市場(chǎng)上進(jìn)行投資來增加財(cái)富.設(shè)π(t)是時(shí)刻t保險(xiǎn)公司在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的資金,剩余的資金全部投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上.在時(shí)刻t保險(xiǎn)公司選取再保險(xiǎn)策略a(t)和投資策略π(t)作為控制變量,記u(t)=(a(t),π(t)).同時(shí)考慮比例再保險(xiǎn)和投資后,保險(xiǎn)公司的財(cái)富過程為X(t,u),滿足下面的隨機(jī)微分方程

這里X(0,u)=x0.

設(shè)Ft是由布朗運(yùn)動(dòng)W(t)生成的右連續(xù)且完備的流,它對(duì)應(yīng)的完備概率空間為(?,Ft,P),其中?為樣本空間,P為概率測(cè)度.

定義2.3(可行策略) 再保險(xiǎn)-投資策略u(píng)(t)=(a(t),π(t))稱為可行策略,如果它滿足條件:(i)a(t)和π(t)關(guān)于流Ft是循序可測(cè)的,且是右連續(xù)的、左極限存在;(ii)a(t)≥0且滿足所有可行的再保險(xiǎn)-投資策略記為U.

在以往基于再保險(xiǎn)-投資的最優(yōu)策略研究中,大多數(shù)學(xué)者研究了下面的最優(yōu)化問題

其中E0,x0=E[·|X(0,u)=x0];γ >0為常數(shù)表示保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度.文[9]指出問題(2.3)是時(shí)間不一致的,也就是在不同的時(shí)間保險(xiǎn)人選擇的最優(yōu)策略是不同的.問題(2.3)是時(shí)間不一致的原因是因?yàn)閱栴}(2.3)中包含了條件方差,詳細(xì)的證明讀者可以查閱參考文[18],這里不再進(jìn)一步闡述.人們的偏好可能會(huì)隨著時(shí)間的改變而改變,然而大多數(shù)情況下人們希望最優(yōu)策略在不同的時(shí)間是一致的.時(shí)間一致策略更精確的表述是:對(duì)于某固定的時(shí)刻s,若求得最優(yōu)策略u(píng)(·)使得問題(2.3)成立;那么對(duì)于之后的時(shí)刻t,該策略u(píng)(·)仍是問題(2.3)的最優(yōu)策略.

和其它一些文獻(xiàn)如文[9]等類似的,本文研究如下的目標(biāo)函數(shù)

這里(t,x)∈[0,T]×R,Et,x=E[·|X(t,u)=x],γ為常數(shù)表示保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度.下面給出平衡策略的定義.

定義2.4(平衡策略) 對(duì)于任意的初始狀態(tài)(t,x)∈[0,T]×R和可行策略u(píng)?(t),選擇三個(gè)實(shí)數(shù)0,R 和ζ >0,定義如下的策略:

則u?(t)稱為平衡策略,相應(yīng)的平衡值函數(shù)為V(t,x)=V(t,x,u?).

文[9]證明了上述定義的平衡策略等于時(shí)間一致的策略,通常的最優(yōu)值函數(shù)等于平衡值函數(shù).所以接下來,對(duì)于平衡策略和平衡值函數(shù),我們就分別稱其為最優(yōu)時(shí)間一致的策略和最優(yōu)值函數(shù).

3.主要結(jié)果

本節(jié)對(duì)于財(cái)富過程(2.2),利用隨機(jī)控制理論求解時(shí)間一致的最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù),本節(jié)是本文的主要研究結(jié)果.與文[12]中的定理2.1類似,我們給出如下的檢驗(yàn)定理:

定理3.1(檢驗(yàn)定理) 設(shè)F(t,x),G(t,x),H(t,x)定義在[0,T]×R上,它們關(guān)于t連續(xù)可微,關(guān)于x二階連續(xù)可微;也就是F,G,H∈C1,2.若F,G,H滿足如下的HJB方程

則

u?(t)=(a?(t),π?(t))是時(shí)間一致的最優(yōu)策略.

本定理的證明類似于文[12]中的定理2.1,因此本文不再給出證明.從(2.4)式和定理3.1,可得

因此

綜合考慮財(cái)富過程滿足的方程和邊界條件F(T,x)=x,G(T,x)=x,與文[9]和[14]等文獻(xiàn)類似,設(shè)F(t,x)和G(t,x)分別滿足如下式子:

可得F(t,x)和G(t,x)的偏導(dǎo)數(shù)如下:

把(3.6)-(3.8)以及上面的各偏導(dǎo)數(shù),代入(3.1)式化簡(jiǎn)后得

由一階最優(yōu)性條件,得到最優(yōu)再保險(xiǎn)策略和最優(yōu)投資策略分別滿足下式

把(3.10)式和(3.11)式分別代入(3.9)式和(3.2)式,可得

因此,求解(3.12)式和(3.13)式,只需求解下列常微分方程.

解(3.14)式和(3.16)式,得A(t)=m(t)=er(T?t).A(t)和m(t)分別代入(3.15)式和(3.17)式,求得B(t)和n(t)如下

在上述討論的基礎(chǔ)上,可得下面的定理:

定理3.2對(duì)于財(cái)富過程(2.2),最優(yōu)的時(shí)間一致的再保險(xiǎn)策略為

最優(yōu)的時(shí)間一致的投資策略為

在最優(yōu)策略和終止時(shí)刻T下,財(cái)富過程的方差為這里B(t)和n(t)分別滿足(3.18)式和(3.19)式.

注3.1從定理3.2可得,Et,x[X(T,u?)]=er(T?t)+B(t)/γ+0.5γVart,x[X(T,u?)],該式給出了風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系,當(dāng)投資者面臨風(fēng)險(xiǎn)Vart,x[X(T,u?)],獲得的收益滿足上式.

注3.2從定理3.2可以參到,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略不依賴于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的參數(shù);最優(yōu)投資策略,不依賴于保險(xiǎn)市場(chǎng)中的參數(shù).這是因?yàn)?我們假設(shè)再保險(xiǎn)市場(chǎng)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)是相互獨(dú)立的.

4.經(jīng)濟(jì)意義及敏感性分析

本節(jié)分析上一節(jié)中得到的結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義,并通過數(shù)值計(jì)算分析一些模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略的影響.

Ⅰ最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

(3.20)式關(guān)于γ求偏導(dǎo)數(shù),得到

可見,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a?(t)是關(guān)于參數(shù)γ單調(diào)遞減.γ代表保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度,保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中保險(xiǎn)人一般都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的,因此隨著風(fēng)險(xiǎn)的增大,自然會(huì)把風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)者.(3.20)式關(guān)于r求偏導(dǎo)數(shù),得到

因此,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a?(t)關(guān)于r單調(diào)遞減,這是符合實(shí)際的.因?yàn)檫@里r為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率,當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率增加時(shí),保險(xiǎn)人將從金融市場(chǎng)上獲得更多的收益.因此,在每次理賠中希望承擔(dān)更小的風(fēng)險(xiǎn),把風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)者.

接下來通過數(shù)值算例,給出參數(shù)α和l對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響.假設(shè)理賠額服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,即fY(y)=e?y,y≥0;則μ11=1,μ11=2.因此,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

例4.1設(shè)t=2,r=0.05,l=0.2,γ=0.05,T=4,6,8,10,α∈[0.02,0.08].圖4.1給出了α和T對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響.

圖4.1 α和T對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a?(t)的影響

圖4.2 l和t對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a?(t)的影響

結(jié)果分析:從圖4.1中可以看到,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略關(guān)于α單調(diào)增加,關(guān)于T單調(diào)遞減.隨著α的增加,再保險(xiǎn)的保費(fèi)增加,保險(xiǎn)人的再保險(xiǎn)比例增大;隨投資終止時(shí)刻的延長(zhǎng),保險(xiǎn)人將減少再保險(xiǎn)比例.

例4.2設(shè)T=8,r=0.05,α=0.06,γ=0.05,t=1,3,5,7,l∈[0,0.8].圖4.2給出了l和t對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響.

結(jié)果分析:從圖4.2中可以看出,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略關(guān)于參數(shù)l和t是單調(diào)增加.當(dāng)l=0,即PG風(fēng)險(xiǎn)模型為經(jīng)典CL風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí),再保險(xiǎn)的比例最小;隨著投資終止時(shí)刻的到來,保險(xiǎn)人會(huì)增加再保險(xiǎn)的比例.

Ⅱ最優(yōu)投資策略

(3.21)式關(guān)于μ求偏導(dǎo)數(shù),有

從上式可以看出,最優(yōu)投資策略π?(t)關(guān)于μ單調(diào)遞增.這里μ是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率,平均收益率增加,保險(xiǎn)人自然會(huì)把更多的財(cái)富投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).(3.21)式關(guān)于γ求偏導(dǎo)數(shù),得到

因此,最優(yōu)投資策略π?(t)關(guān)于γ單調(diào)遞減,這是符合實(shí)際的.γ是風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù),投資者一般都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的,隨著風(fēng)險(xiǎn)的增大,投資者自然會(huì)把更多的資金投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).(3.21)式關(guān)于σ求偏導(dǎo)數(shù),有

從上式,可以得出最優(yōu)投資策略π?(t)關(guān)于σ單調(diào)遞減.σ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率,波動(dòng)變大說明風(fēng)險(xiǎn)增大,保險(xiǎn)會(huì)把更多的資金投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).

下面通過數(shù)值計(jì)算分析其它模型參數(shù)最優(yōu)投資策略的影響.因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在發(fā)生跳躍時(shí),可以向正的方向跳躍也可以向負(fù)的方向跳躍,因此設(shè)ZK的共同密度函數(shù)fZ(z)為雙指數(shù)分布,即當(dāng)z≥0時(shí)fZ(z)=pη1e?zη1,當(dāng)z <0時(shí)fZ(z)=qη2ezη2.這里p≥0,q≥0,分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)向正向跳躍和向負(fù)向跳躍的概率,滿足p+q=1,η1>0,η2>0.所以μ21=p/η1?q/η2,μ22=2p/(η1)2+2q/(η2)2.因此,最優(yōu)投資策略變?yōu)?/p>

例4.3設(shè)T=6,r=0.05,μ=0.1,γ=0.05,η1=1,η2=2,λ2=0.3,σ=0.2,t=1,3,5,7,p∈[0.3,0.8].圖4.3給出了p和t對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

圖4.3 p和t對(duì)最優(yōu)投資策略π?(t)的影響

圖4.4 r和λ2對(duì)最優(yōu)投資策略π?(t)的影響

結(jié)果分析:從圖4.3看出,最優(yōu)投資策略π?(t)關(guān)于參數(shù)p單調(diào)遞增,關(guān)于t單調(diào)遞減.參數(shù)p代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)向正向跳躍的概率,p越大說明從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得的期望收益會(huì)增加.因此,在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的資金會(huì)增加.t代表投資時(shí)刻,隨著投資時(shí)刻接近投資的終止時(shí)刻,保險(xiǎn)人將減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的資金.

例4.4設(shè)T=4,t=2,r=0.05,μ=0.1,γ=0.05,η1=1,η2=2,σ=0.2,p=0.4,q=0.6,λ2=0.2,0.4,0.6,0.8,r∈[0.01,0.09].圖4.4給出了r和λ2對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

結(jié)果分析:從圖4.4可以看出,最優(yōu)投資策略π?(t)關(guān)于r和λ2都是單調(diào)遞減.r表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率,隨著無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率增加,保險(xiǎn)人在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的收益會(huì)增加.因此,在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的資金會(huì)減少.λ2代表單位時(shí)間內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)跳躍的次數(shù),越大說明風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)越大,風(fēng)險(xiǎn)增大保險(xiǎn)人將減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的資金.

5.總結(jié)

本文在PG風(fēng)險(xiǎn)模型中,研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題.在考慮再保險(xiǎn)時(shí),再保險(xiǎn)保費(fèi)按照方差值原理來計(jì)算;考慮投資時(shí),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從帶跳的隨機(jī)微分過程.研究的目標(biāo)是,求得時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略,以及相應(yīng)的值函數(shù).為了求解該問題,我們給出了一個(gè)檢驗(yàn)定理;通過求解相應(yīng)的HJB方程,求得了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略,以及相應(yīng)的值函數(shù)顯式解.最后,分析了結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義,并通過數(shù)值算例解釋了一些模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響.

在將來,還有很多問題值得研究.比如:1) 本文的終止時(shí)刻T是確定,如果T是不確定,結(jié)果會(huì)怎樣呢？2) 本文考慮的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從帶跳的隨機(jī)微分方程,如果風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足其它模型,比如CEV模型、Heston模型等,結(jié)果會(huì)怎樣呢？3) 本文在進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí),假設(shè)再保險(xiǎn)比例a(t)≥0;如果限制a(t)∈[0,1],即只考慮再保險(xiǎn)不考慮購(gòu)買新業(yè)務(wù),則在求得再保險(xiǎn)策略時(shí),還要討論a(t)的范圍,因此處理起來會(huì)更麻煩.將來,我們會(huì)繼續(xù)研究這些問題.