,2,2

(1.北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京，100044；2.北京交通大學(xué)載運(yùn)工具先進(jìn)制造與測控技術(shù)教育部重點(diǎn)實驗室，北京，100044)

航天器進(jìn)入和返回太空階段時會受到巨大的加熱效應(yīng)，影響飛行員的安全和機(jī)載儀器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，因此，通常在航天器的外部鋪設(shè)防熱層結(jié)構(gòu)[1-3]，并通過對防熱層結(jié)構(gòu)進(jìn)行防熱材料灌注以實現(xiàn)其熱防護(hù)功能[4-5]。目前，國內(nèi)外防熱層灌注主要采用手動進(jìn)行，但該灌注方式效率較低，為提高防熱層灌注的效率，提出一種新型3PSS-PU并聯(lián)灌注機(jī)器人來實現(xiàn)防熱材料的自動灌注作業(yè)。楊會等[6]對3PSS-PU并聯(lián)灌注機(jī)器人進(jìn)行了詳細(xì)的運(yùn)動學(xué)分析和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。動力學(xué)模型建立是并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，目前，常用的動力學(xué)建模方法主要有牛頓歐拉法[7-10]、拉格朗日法[11-15]和虛功原理[16-19]等，學(xué)者們利用不同方法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)進(jìn)行了研究，ZHANG等[20]利用牛頓歐拉法對一種新型三自由度并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了動力學(xué)分析，通過求解多個聯(lián)立方程，得到了相關(guān)力的解析表達(dá)式；基于拉格朗日方法，PANG等[21]針對一種三自由度并聯(lián)操作器進(jìn)行了逆動力學(xué)的分析，通過引入拉格朗日乘子并逐步消除得到了控制方程，并進(jìn)行數(shù)值算例仿真證明了動力學(xué)模型建立的正確性；丁希侖等[22]基于旋量理論對六腿步行機(jī)器人的桿件位置、速度及能量進(jìn)行描述，并應(yīng)用拉格朗日方程建立了機(jī)器人完整的動力學(xué)模型；ZHAO等[23-24]利用虛功原理對8PSS冗余并聯(lián)操作器進(jìn)行了動力學(xué)分析，并提出多種動力學(xué)性能指標(biāo)對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了性能評價。這些方法是動力學(xué)建模最常用的方法，并具有各自的特點(diǎn)，其中，利用牛頓歐拉法建模過程中，會出現(xiàn)較多的內(nèi)力和約束力，需要通過求解大量聯(lián)立的方程才可得到驅(qū)動力的解析表達(dá)式，計算過程比較復(fù)雜；對于拉格朗日建模的方法，則需要對動力學(xué)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，多適用于簡單機(jī)構(gòu)構(gòu)型的建模，針對相對復(fù)雜的機(jī)構(gòu)，其運(yùn)算量較大，不易獲得驅(qū)動力的解析表達(dá)式；而虛功原理則將機(jī)構(gòu)作為一個整體考慮，不需要求解機(jī)構(gòu)的內(nèi)力，建模簡單有效，是一種計算效率比較高的求解算法。本文作者以三自由度3PSS-PU并聯(lián)灌注機(jī)器人為研究對象，通過對封閉環(huán)矢量方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及各個運(yùn)動支鏈的速度、加速度雅可比矩陣；利用虛功原理，建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)數(shù)學(xué)模型；在動平臺不同運(yùn)動軌跡下，通過Mathematica和Adams分別對驅(qū)動滑塊的位移、速度、加速度和驅(qū)動力進(jìn)行對比分析，驗證了并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的正確性，為灌注機(jī)構(gòu)在灌注過程中驅(qū)動滑塊驅(qū)動力變化情況的研究提供了理論基礎(chǔ)，同時對于實現(xiàn)灌注機(jī)器人控制、提高灌注精度以及研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動平穩(wěn)性等具有理論意義。

1 機(jī)構(gòu)描述與坐標(biāo)系建立

混聯(lián)灌注機(jī)器人系統(tǒng)如圖1所示，主要包括3PSS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)、圓弧導(dǎo)軌和工作臺，其中3PSS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)可沿圓弧導(dǎo)軌運(yùn)動，工作臺可繞自身軸線轉(zhuǎn)動，通過兩者的協(xié)作運(yùn)動使得灌注機(jī)構(gòu)末端操作器能夠?qū)崿F(xiàn)蜂窩球冠面所有位置的定位。3PSS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型如圖2所示，主要由定平臺、動平臺、3個完全相同的主動支鏈PSS和1個被動支鏈PU組成，且主動支鏈均勻分布在定平臺上，該支鏈依次由移動副(P)和2個球面副(S)組成，每個移動副通過直線電機(jī)驅(qū)動；被動支鏈由移動副(P)和虎克鉸(U)組成，且U副與動平臺相連接。由于每條主動支鏈自由度為6，對動平臺不提供約束，故動平臺與中間被動支鏈具有相同的自由度，即動平臺具有沿xb軸和yb軸的轉(zhuǎn)動自由度以及沿zb軸的移動自由度。

圖1 混聯(lián)機(jī)器人灌注系統(tǒng)Fig.1 Hybrid perfusion robot system

圖2 3PSS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.2 3D model of 3PSS-PU parallel mechanism

3PSS-PU機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖如圖3所示，其中，B1，B2和B3分別代表 3 個移動副；M1，M2和M3分別代表動平臺上3個球副；N1，N2和N3分別代表與P副相連的3個球副；B4和M分別代表中間支鏈的P副和U副；固定坐標(biāo)系O-xbybzb建立在定平臺的中心O點(diǎn)；軸線xb沿導(dǎo)軌OB1的正方向；軸線zb豎直向下；動坐標(biāo)系M-xmymzm建立在M點(diǎn)，且軸線xm沿直線MM1的正方向；軸線zm豎直向下；si(i=1～3)為第i個P副移動的距離；li為支鏈NiMi長度；Rm為MMi的長度；φi為直線OBi與xb軸正方向的夾角，?i為直線OMi與軸xm正方向的夾角，

圖3 3PSS-PU機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖Fig.3 Kinematic diagram of 3PSS-PU mechanism

2 運(yùn)動學(xué)分析

第i條PSS支鏈的矢量圖如圖4所示，動平臺的位置矢量由m表示，動坐標(biāo)系M-xmymzm相對于定坐標(biāo)系O-xbybzb的旋轉(zhuǎn)矩陣由ORM表示，通過XY-Z固定角坐標(biāo)系來定義旋轉(zhuǎn)矩陣，即先繞xb旋轉(zhuǎn)角度α，再繞yb旋轉(zhuǎn)角度β，最后繞zb旋轉(zhuǎn)角度γ，則

式中：

由于3PSS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有繞xb和yb的2個轉(zhuǎn)動自由度和沿zb的1個移動自由度，x=0，y=0，γ=0，

故動平臺的位置矢量m可表示為

動平臺的角速度矢量ωm可表示為

圖4 第i條PSS支鏈的矢量圖Fig.4 Vector diagram of the ith PSS branch

為方便分析，在Ni點(diǎn)建立第i個PSS主動支鏈的局部坐標(biāo)系Ni-xiyizi，其中，zi的方向沿桿NiMi的方向，該局部坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系可通過2個歐拉角來描述，如圖5所示，將固定坐標(biāo)系繞zb軸旋轉(zhuǎn)κi角度得到新坐標(biāo)系再將新坐標(biāo)系繞y′i軸旋轉(zhuǎn)ψi角度，即可得到坐標(biāo)系Ni-xiyizi，則第i條支鏈局部坐標(biāo)系Ni-xiyizi相對于定坐標(biāo)系O-xbybzb的旋轉(zhuǎn)矩陣為

圖5 第i條驅(qū)動滑塊的局部坐標(biāo)系Fig.5 Local coordinate system of the ith driving slider

在固定坐標(biāo)系O-xbybzb下，沿支鏈NiMi方向的單位向量ki可表示為

因此，歐拉角ψi和κi分別可表示為：

式中：0≤ψi≤π。

2.1 位置分析

如圖4所示，第i條PSS支鏈的封閉環(huán)矢量方程可表示為

式中，i=1,2,3；ri為向量si為第i個滑塊的位移；ni為沿滑塊移動方向的單位向量；ai為運(yùn)動副Bi中心點(diǎn)到運(yùn)動副Ni中心點(diǎn)的向量。

由此，可得出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)反解：

2.2 速度分析

對式(8)左右兩邊同時對時間t求導(dǎo)得：

式中：vm=[0 0z?]T，為動平臺的線速度矢量。

對式(10)兩邊同時點(diǎn)乘向量ki，則可得出第i個驅(qū)動滑塊的速度?i為

將各個驅(qū)動滑塊的速度表示為矩陣形式：

式中：

因此，動平臺速度矢量P?與驅(qū)動滑塊速度矢量之間的速度雅可比矩陣可表示為

2.3 支鏈速度分析

在局部坐標(biāo)系Ni-xiyizi中，點(diǎn)Mi的線速度可表示為

式中：

將式(11)和(14)代入式(15)，可得出支鏈NiMi的角速度為

式中：

根據(jù)式(14)和式(16)，Ni-xiyizi坐標(biāo)系下支鏈NiMi質(zhì)心的線速度可表示為

將支鏈NiMi質(zhì)心的線速度和角速度寫成矩陣形式：

式中：Jvωi為定坐標(biāo)系O-xbybzb下動平臺的速度矢量與Ni-xiyizi坐標(biāo)系下支鏈NiMi的速度矢量之間映射關(guān)系的支鏈速度雅克比矩陣。

2.4 加速度分析

對式(10)左右兩邊同時對時間t求導(dǎo)得：

對式(19)兩邊同時點(diǎn)乘ki并化簡，可得到第i個驅(qū)動滑塊的加速度s?i為

由此，將所有驅(qū)動滑塊的加速度表示為矩陣形式：

式中：

2.5 支鏈加速度分析

對式(14)左右兩邊同時對時間t求導(dǎo)得：

對式(22)兩邊同時叉乘iki并化簡，可得到第i個驅(qū)動滑塊的加速度：

式(23)可化簡為

式中：

對式(17)兩邊同時對時間t求導(dǎo)得：

將式(24)代入式(25)，并化簡可得：

3 動力學(xué)分析

3.1 外力和慣性力系統(tǒng)

對于動平臺，在固定坐標(biāo)系O-xbybzb下，施加在其質(zhì)心上的外力和慣性力可表示為

式中：fe和ne分別為作用在動平臺質(zhì)心上的外力和外力矩；mm為動平臺的質(zhì)量；g=[0,0,9.8]Tm/s2；OIM=ORMIMMRO，IM為動坐標(biāo)系M-xmymzm下動平臺對其質(zhì)心的慣性矩陣。

式(27)的受力系統(tǒng)QM可劃分為4個部分：加速度項QMA，速度項QMV，重力項QMG和外力項QME，

對于運(yùn)動支鏈NiMi，在局部坐標(biāo)系Ni-xiyizi下，作用在其質(zhì)心上的力系統(tǒng)可表示為

式中：mi表示桿NiMi的質(zhì)量；iIi表示在局部坐標(biāo)系Ni-xiyizi下支鏈NiMi對其質(zhì)心的慣性矩陣。

同樣地，受力系統(tǒng)iQi也可以劃分為加速度項iQAi，速度項iQVi，重力項iQGi：

對于驅(qū)動滑塊，在固定坐標(biāo)系O-xbybzb下，其質(zhì)心所受到的力可表示為

式中：msi為第i個驅(qū)動滑塊的質(zhì)量，F(xiàn)Ai，F(xiàn)Vi和FGi分別為受力系統(tǒng)Fi的加速度項、速度項和重力項。

對于中間被動支鏈，由于移動副B4只有沿zb軸的移動自由度，因此，在固定坐標(biāo)系O-xbybzb下，施加在移動桿質(zhì)心上的力可表示為

式中：mp表示中間運(yùn)動桿件的質(zhì)量；FAp和FGp分別為運(yùn)動桿件所受力Fp的加速度項和重力項；z?=n0J0P? =[0 0z?]T；n0=[0 0 1]T；J0=[0 0 1 0 0 0]。

3.2 動力學(xué)方程建立

假設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺在其工作空間內(nèi)具有虛位移，因此，基于虛功原理，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程表示如下：

式中：f=[f1f2f3]T，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)3個驅(qū)動滑塊所受驅(qū)動力的矩陣；δP和δsi分別為動平臺和第i個驅(qū)動滑塊的虛位移；δixi為Ni-xiyizi坐標(biāo)系下第i個支鏈NiMi的虛位移。

根據(jù)2.3節(jié)中機(jī)構(gòu)支鏈速度雅克比的分析，以上虛位移參數(shù)可通過動平臺虛位移參數(shù)δP來表示：

將式(34)代入式(33)的動力學(xué)方程中可得：

對式(35)進(jìn)行化簡，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆動力學(xué)的表達(dá)式為

式中：J-T表示JT的逆矩陣。

4 仿真驗證

為驗證并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型建立的正確性，分別通過Mathmatica和Adams軟件對驅(qū)動滑塊的運(yùn)動參數(shù)進(jìn)行理論和仿真曲線的對比分析。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)同時具有移動和轉(zhuǎn)動自由度，因此，分別對動平臺沿zb軸移動和沿yb軸轉(zhuǎn)動2種特定運(yùn)動軌跡下驅(qū)動滑塊的運(yùn)動參數(shù)進(jìn)行仿真實驗驗證。表1所示為并聯(lián)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的質(zhì)量，且各構(gòu)件的慣性矩陣如下：

式中：各構(gòu)件慣性矩陣元素的單位均為kg·m2。

動平臺受到的外力fm和外力矩nm可表示為

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件質(zhì)量Table1 Mass of each component of parallel mechanism kg

式中：fm的單位為N；nm的單位為N·m。

對于沿zb軸移動的仿真運(yùn)動，給定動平臺運(yùn)動軌跡為從(0,0,540)mm到(0,0,440)mm的純直線運(yùn)動，假設(shè)在動平臺的運(yùn)動過程中構(gòu)件之間不存在剛性沖擊和柔性沖擊，因此，動平臺的運(yùn)動可以描述為

動平臺沿zb軸移動運(yùn)動時3個驅(qū)動滑塊的位移、速度、加速度和驅(qū)動力理論曲線和仿真曲線的對比如圖6～9所示。由圖6～9可知，驅(qū)動滑塊的位移、速度、加速度和驅(qū)動力的理論曲線和仿真曲線分別具有相同的趨勢，且所有運(yùn)動曲線平滑無尖點(diǎn)，表明運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型的正確性以及機(jī)構(gòu)具有較好的移動運(yùn)動性能。此外，3個驅(qū)動滑塊的位移、速度和加速度曲線分別相同，符合動平臺沿zb軸移動時滑塊的運(yùn)動規(guī)律。

圖6 驅(qū)動滑塊沿zb軸移動的位移對比曲線Fig.6 Comparison curves of displacement for drivingsliders under rotation about zbaxis

然而，對于轉(zhuǎn)動運(yùn)動的仿真，給定動平臺運(yùn)動軌跡為繞yb軸0～0.4 rad的純轉(zhuǎn)動運(yùn)動，其轉(zhuǎn)動軌跡可表示為

圖7 驅(qū)動滑塊沿zb軸移動的速度對比曲線Fig.7 Comparison curves of velocity for driving sliders under rotation about zbaxis

圖8 驅(qū)動滑塊沿zb軸移動的加速度對比曲線Fig.8 Comparison curves of acceleration for driving sliders under rotation about zbaxis

圖9 驅(qū)動滑塊沿zb軸移動的驅(qū)動力對比曲線Fig.9 Comparison curves of driving force for driving sliders under rotation about zbaxis

動平臺沿yb軸轉(zhuǎn)動時3個驅(qū)動滑塊的位移、速度、加速度和驅(qū)動力的理論曲線和仿真曲線對比如圖10～13所示。

圖10 驅(qū)動滑塊沿yb軸轉(zhuǎn)動的位移對比曲線Fig.10 Comparison curves of displacement for driving sliders under rotation about ybaxis

圖11 驅(qū)動滑塊沿yb軸轉(zhuǎn)動的速度對比曲線Fig.11 Comparison curves of velocity for driving sliders under rotation about ybaxis

圖12 驅(qū)動滑塊沿yb軸轉(zhuǎn)動的加速度對比曲線Fig.12 Comparison curves of acceleration for driving sliders under rotation about ybaxis

圖13 驅(qū)動滑塊沿yb軸轉(zhuǎn)動的驅(qū)動力對比曲線Fig.13 Comparison curves of driving force for driving sliders under rotation about ybaxis

由圖10～13可知：3個驅(qū)動滑塊所有運(yùn)動參數(shù)的理論和仿真曲線都分別具有相同的變化趨勢，且運(yùn)動曲線平滑無尖點(diǎn)，證明了運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型的正確性以及機(jī)構(gòu)具有較好的轉(zhuǎn)動運(yùn)動性能。此外，由于與動平臺相連U副的其中1個轉(zhuǎn)動副與xb軸重合，且xb軸沿第1個驅(qū)動滑塊移動的方向，因此，根據(jù)機(jī)構(gòu)的對稱性可知，當(dāng)動平臺繞yb軸轉(zhuǎn)動時，第2和第3個驅(qū)動滑塊應(yīng)具有相同的移動位移；而仿真曲線中第2和第3個驅(qū)動滑塊的位移、速度和加速度曲線均分別相同，再次驗證了運(yùn)動學(xué)模型建立的正確性。

綜上所述，通過對驅(qū)動滑塊位移、速度、加速度和驅(qū)動力理論和仿真曲線的對比分析，驗證了并聯(lián)灌注機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型的正確性，同時，基于機(jī)構(gòu)純移動和純轉(zhuǎn)動運(yùn)動的仿真，其良好的運(yùn)動性能也得到了證明。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特點(diǎn)，驅(qū)動滑塊各運(yùn)動參數(shù)的理論與仿真曲線之間的誤差主要是由移動和轉(zhuǎn)動運(yùn)動的耦合以及運(yùn)動副之間的裝配間隙產(chǎn)生的。

5 結(jié)論

1)以3PSS-PU新型并聯(lián)灌注機(jī)器人為研究對象，利用虛功原理對機(jī)構(gòu)整體進(jìn)行了動力學(xué)分析與仿真實驗研究。

2)在已建立局部坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，采用矢量法對機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的速度和加速度進(jìn)行了分析，最終得到了機(jī)構(gòu)各構(gòu)件速度、加速度與動平臺速度、加速度之間的雅克比矩陣。

3)基于虛功原理以及各構(gòu)件之間雅可比矩陣的關(guān)系，建立了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，利用Mathematica和Adams軟件，得到了機(jī)構(gòu)在平動和轉(zhuǎn)動運(yùn)動時驅(qū)動滑塊的位移、速度、加速度和驅(qū)動力的理論和仿真變化曲線。

4)理論和仿真曲線的對比結(jié)果驗證了所建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)模型的正確性，為并聯(lián)灌注機(jī)器人機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能進(jìn)一步的研究以及控制系統(tǒng)的設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。