杜瑞鋒， 裴向軍, 張曉超, 李愛(ài)君, 張振義

(1.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059；2.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，呼和浩特 010070；3.呼和浩特軌道投資有限責(zé)任公司，呼和浩特 010060)

0 引 言

土工擊實(shí)試驗(yàn)是土木、水利、鐵路等工程建設(shè)中用于評(píng)價(jià)土體被壓實(shí)程度的室內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)，關(guān)系到工程質(zhì)量的好壞與耐久性等問(wèn)題[1-2]。因此，在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)研究中，擊實(shí)試驗(yàn)的重視程度比較高。盡管不同的行業(yè)規(guī)范中對(duì)擊實(shí)試驗(yàn)的要求基本相同，但實(shí)踐中有關(guān)擊實(shí)試驗(yàn)成果整理和表現(xiàn)形式卻達(dá)不到較好統(tǒng)一性和規(guī)范性。

1 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法現(xiàn)狀

擊實(shí)試驗(yàn)成果曲線的正確表達(dá)方式應(yīng)按土工規(guī)范中的樣圖來(lái)繪制[3]，如圖1所示，曲線部分為擊實(shí)數(shù)據(jù)直接繪制的，斜線部分為擊實(shí)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上繪制的，為土體理論上達(dá)到飽和時(shí)含水量與干密度的關(guān)系，即飽和度Sr=100%，稱為飽和線或零空氣線。筆者在查閱相關(guān)擊實(shí)試驗(yàn)文獻(xiàn)中，發(fā)現(xiàn)工程實(shí)踐中的成果曲線整理中存在不規(guī)范的例子極多。如成果曲線圖中缺少飽和線的情況[4-9]；將有關(guān)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]整理成圖形后，發(fā)現(xiàn)擊實(shí)曲線與飽和線出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，表明該擊實(shí)數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的錯(cuò)誤，如圖2所示。

圖1 文獻(xiàn)[3]樣圖

圖2 基于文獻(xiàn)[10]數(shù)據(jù)繪制的擊實(shí)試驗(yàn)曲線

工程實(shí)踐中，擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時(shí)確定峰值點(diǎn)的方法有兩種。其一為圖解法，但人為的隨意性較大，隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)值技術(shù)的普及，已經(jīng)不能適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展；其二為數(shù)值法，一般有插值法和擬合法兩種。

黃英等[11]提出通過(guò)數(shù)值解法獲取擊實(shí)試驗(yàn)基本參數(shù)的思想，認(rèn)為最大干密度和最優(yōu)含水率之間關(guān)系符合2次函數(shù)關(guān)系，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，可用于數(shù)據(jù)點(diǎn)不足5點(diǎn)的情況下的分析，但文中分析的手段不足且深入不夠，且沒(méi)有應(yīng)用計(jì)算機(jī)程序給出處理?yè)魧?shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的適用工具。

卿啟湘等[12]指出擊實(shí)數(shù)據(jù)處理存在混亂無(wú)序的問(wèn)題，提出采用高次多項(xiàng)式擬合擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一般性原則和方法，即在眾多的n次多項(xiàng)式擬合曲線中，采用殘差最小和最小二乘χ2分布的累計(jì)概率P較小為評(píng)價(jià)指標(biāo)，來(lái)考察所選用的n次多項(xiàng)式是否合理的做法。該文對(duì)擬合方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)展開(kāi)詳細(xì)的闡述，但全文只討論1個(gè)試驗(yàn)實(shí)例，認(rèn)為3次多項(xiàng)式擬合效果好，沒(méi)有較強(qiáng)的代表性，以及缺乏計(jì)算程序上的可操作性。陳進(jìn)安等[13]進(jìn)行了Newton插值法求解土的最大干密度和最有含水量的實(shí)踐，但對(duì)插值法和擬合法的概念不清，對(duì)擊實(shí)曲線峰值點(diǎn)的確定不夠深入。

趙敏等[14]指出石灰路基土的最佳擊實(shí)指標(biāo)宜采用3點(diǎn)2次法或2次曲線擬合法來(lái)確定，且曲線擬合次數(shù)不易過(guò)高，但該文討論的擊實(shí)試驗(yàn)實(shí)例偏少，且應(yīng)用“3點(diǎn)2次法”時(shí)只保留中部3個(gè)點(diǎn)而舍棄其他數(shù)據(jù)的做法是不妥的。

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)資料，分析和研究了擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的不同方法，即按照插值法、擬合法、兩者兼顧的情況來(lái)分類統(tǒng)計(jì)，各自所占的百分比統(tǒng)計(jì)分布情況如圖3所示。

圖3 插值法及擬合法應(yīng)用情況分布圖

總之，以上有關(guān)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理研究中，應(yīng)用數(shù)值法無(wú)疑是正確的選擇[15-16]，但目前的研究中缺乏綜合性以及必要的計(jì)算機(jī)程序。本研究中，將忽略各類土本身的差異性，僅就擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題，展開(kāi)有關(guān)數(shù)值插值法和擬合法適用性的討論，并提出完整的解決方案，以期使擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程更具有科學(xué)性和可操作性。

2 數(shù)值插值與擬合方法概述

數(shù)學(xué)上處理數(shù)據(jù)或函數(shù)時(shí)，基本的思想是用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近復(fù)雜函數(shù)、用線性函數(shù)逼近非線性函數(shù)，從幾何上看是以離散的點(diǎn)逼近連續(xù)曲線、以直線段替代彎曲弧段，數(shù)值插值法就是這一思路的最佳體現(xiàn)之一[17-19]。而多項(xiàng)式常被作為簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算，其運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且隨著多項(xiàng)式次數(shù)的增高，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線[18]。

常用的數(shù)值插值法有Lagrange、Newton、3次樣條、分段3次Hermite插值法等，且插值函數(shù)均以多項(xiàng)式為基函數(shù)，其存在的唯一性、收斂性、插值余項(xiàng)(或截?cái)嗾`差)等在相關(guān)的論著中有詳細(xì)證明過(guò)程[17-18]。

數(shù)值擬合處理的前提是肯定試驗(yàn)點(diǎn)存在一定的誤差。通過(guò)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)，使之能表達(dá)試驗(yàn)點(diǎn)間的關(guān)系，不要求f(x)通過(guò)所有的點(diǎn)，收斂條件是使得該函數(shù)與試驗(yàn)點(diǎn)間的殘差(或稱誤差、偏差)達(dá)到最小。常用的擬合方法之一為多項(xiàng)式擬合，采用的準(zhǔn)則常為最小二乘準(zhǔn)則[17]。一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合多項(xiàng)式的最高次數(shù)為(n-1)次。

3 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法研究

利用Matlab軟件編制完備的插值和擬合程序，重點(diǎn)分析是否存在“病態(tài)”現(xiàn)象、曲線的光滑程度、峰值點(diǎn)數(shù)值及相對(duì)誤差等。該程序能完成Lagrange或Newton插值、3次樣條(spline)插值、分段3次Hermite插值法程序，以及能完成2～(n-1)次多項(xiàng)式擬合程序(n為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù))。

本研究中，共選取36個(gè)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)例。限于篇幅，僅展示6個(gè)實(shí)例的數(shù)值分析情況，其中包括3個(gè)黃土擊實(shí)試驗(yàn)實(shí)例、1個(gè)文獻(xiàn)[3]中實(shí)例、1個(gè)文獻(xiàn)[14]中實(shí)例、1個(gè)文獻(xiàn)[12]中實(shí)例。有趣的是，擬合次數(shù)越高，多項(xiàng)式的擬合效果就逐漸變成插值效果，即擬合函數(shù)通過(guò)所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，直接說(shuō)明在數(shù)值計(jì)算中，“擬合”和“插值”都是函數(shù)“逼近”的研究范疇，并以實(shí)例證實(shí)了多項(xiàng)式可以逼近任何函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)律。

圖4、5所示分別為甘肅蘭州、寧夏石碑塬黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線，3種方法的插值中，Lagrange和3次樣條spline插值法均出現(xiàn)數(shù)值振蕩；而分段3次Hermite插值法的效果最好；在擬合處理中，3次多項(xiàng)式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項(xiàng)式，而4次多項(xiàng)式出現(xiàn)嚴(yán)重的數(shù)值振蕩，不再具有適用性。圖6所示為陜西富縣黃土的擊實(shí)試驗(yàn)曲線，Lagrange、3次樣條spline插值法稍有數(shù)值振蕩，從曲線光滑程度看，分段3次Hermite的插值效果最好；在擬合處理中，3次多項(xiàng)式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項(xiàng)式，而4次多項(xiàng)式出現(xiàn)輕微數(shù)值振蕩。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖4 甘肅蘭州黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線(空心圈為曲線峰值點(diǎn)，下同)

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖5 寧夏石碑塬黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線

圖6所示為陜西富縣黃土的擊實(shí)試驗(yàn)曲線,Lagrange、3次樣條spline插值法稍有數(shù)值振蕩，從曲線光滑程度看，分段3次Hermite的插值效果最好；在擬合處理中，3次多項(xiàng)式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項(xiàng)式，而4次多項(xiàng)式出現(xiàn)輕微數(shù)值振蕩。

圖7、8所示分別為基于文獻(xiàn)[3,14]中數(shù)據(jù)而繪制的擊實(shí)試驗(yàn)曲線。由于擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為理想，所以沒(méi)有出現(xiàn)較嚴(yán)重的數(shù)值振蕩，2次多項(xiàng)式的擬合效果稍低于3次多項(xiàng)式，4次多項(xiàng)式擬合中出現(xiàn)輕微的數(shù)據(jù)振蕩。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖6 陜西富縣黃土擊實(shí)試驗(yàn)曲線

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖7 基于文獻(xiàn)[3]數(shù)據(jù)繪制的擊實(shí)試驗(yàn)曲線

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖8 基于文獻(xiàn)[14]數(shù)據(jù)繪制的擊實(shí)試驗(yàn)曲線

圖9中試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[12]，3種插值方法均具有較好的光滑性，曲線的峰值點(diǎn)基本相同；而擬合處理中，3次擬合法中可決系數(shù)雖高于2次擬合多項(xiàng)式，但其出現(xiàn)輕微的數(shù)值振蕩，整體擬合效果仍優(yōu)于2次擬合多項(xiàng)式，同樣具有輕微數(shù)值振蕩的4次插值多項(xiàng)式，具有更高的可決系數(shù)，其峰值點(diǎn)的數(shù)值幾乎接近插值法中數(shù)值，因本例中數(shù)據(jù)點(diǎn)多，故可進(jìn)行5次多項(xiàng)式擬合。

由以上各擊實(shí)試驗(yàn)實(shí)例的數(shù)值處理結(jié)果可知，在插值方法中，總體上講分段3次Hermite法效果最優(yōu)，能有效地消除數(shù)值振蕩問(wèn)題；但不能一概而論，有些實(shí)例中3次樣條插值法的曲線光滑程度要優(yōu)于分段3次Hermite法，如圖7(b)的光滑程度要優(yōu)于圖7(c)；而在圖9中，3種插值方法中，圖9(a)具有最好的光滑程度且沒(méi)有出現(xiàn)數(shù)值振蕩，說(shuō)明Lagrange或者Newton在實(shí)踐中也是可以采用的。因此，在插值法中，首選分段3次Hermite插值法，其次是3次樣條插值法，最后是Lagrange或者Newton插值法。在擬合處理時(shí)，36個(gè)實(shí)例中3次多項(xiàng)式無(wú)一例外地比2次多項(xiàng)式更能適應(yīng)擊實(shí)數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題，具有更高的可決系數(shù)。而高于3次的多項(xiàng)式則趨向或等同于“插值”效果，失去“擬合”的意義。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

(g) 5次擬合

圖9 基于文獻(xiàn)[12]數(shù)據(jù)繪制的擊實(shí)試驗(yàn)曲線

更值得說(shuō)明的是圖4～8中，(a)圖為L(zhǎng)agrange或Newton插值后的圖形，函數(shù)為4次多項(xiàng)式，均與各自圖中的(f)圖相同，函數(shù)均為4次多項(xiàng)式，兩圖能達(dá)到相同的峰值點(diǎn)數(shù)值，直接說(shuō)明了高次的擬合函數(shù)將轉(zhuǎn)變?yōu)椴逯岛瘮?shù)狀態(tài)；具有同樣表現(xiàn)的還有圖9(a)為5次多項(xiàng)式，與圖9(g)表現(xiàn)為一樣的圖形，具有“殊途同歸”的效果。因此高次多項(xiàng)式擬合在擊實(shí)試驗(yàn)中是不適用的。最后說(shuō)明一下，3次多項(xiàng)式擬合的適用性最好，不過(guò)在極少數(shù)的實(shí)例中，2次多項(xiàng)式擬合中可決系數(shù)也可達(dá)到0.9以上。

4 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的建議方案

基于以上分析和研究，插值法和擬合法均可用于擊實(shí)曲線試驗(yàn)峰值點(diǎn)。實(shí)踐中兩種方法如何選擇？建議將插值法和擬合法結(jié)合起來(lái)使用，第1步使用插值法，第2步使用擬合法。總的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)以3次多項(xiàng)式擬合結(jié)果為基準(zhǔn)(要求可決系數(shù)≥0.85)，來(lái)評(píng)價(jià)3種插值方法的相對(duì)誤差，以相對(duì)誤差不超過(guò)±10%為限來(lái)判定擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣。如果3種插值法中的任何一種的相對(duì)誤差不超過(guò)±10%，表明擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可用；如果3種插值方法中相對(duì)誤差都超過(guò)±10%則表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)不可用，需進(jìn)行補(bǔ)做或重做試驗(yàn)。將以上建議的方案以流程圖方式表達(dá)出來(lái)，如圖10所示。

圖10 建議的解決方案流程圖

室內(nèi)擊實(shí)試驗(yàn)是用于指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)填土(料)壓實(shí)施工的試驗(yàn)，土體的壓實(shí)度按下式評(píng)價(jià):

λc=ρd/ρd max

(1)

式中:ρd為現(xiàn)場(chǎng)施工壓實(shí)時(shí)實(shí)測(cè)的干密度，ρd max為室內(nèi)擊實(shí)試驗(yàn)得到的最大干密度。因此，在不同的壓實(shí)度下，ρd max決定著現(xiàn)場(chǎng)施工中ρd必須達(dá)到所需的值，即ρd≥λc·ρd max。這就反映出擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性將直接影響著工程質(zhì)量以及相應(yīng)的工程造價(jià)。

根據(jù)以上的分析，按照本文建議的方案確定ρd max的數(shù)值時(shí)，在曲線光滑度、可決系數(shù)等能滿足的前提下，應(yīng)優(yōu)先能使ρd max具有較大值，這是對(duì)施工質(zhì)量偏于有保證的考慮。

5 結(jié) 論

(1) 土工擊實(shí)試驗(yàn)成果曲線的正確表達(dá)方式如文獻(xiàn)[3]中的樣圖，即基本組成部分為試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)、曲線、斜線部分，以及必要文字說(shuō)明部分，如最大干密度、最優(yōu)含水量、飽和線等；否則，在實(shí)踐應(yīng)用以及科學(xué)研究中，不能稱其為完整的擊實(shí)試驗(yàn)成果曲線。

(2) 基于36個(gè)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)例，研究了插值和擬合法的適應(yīng)情況；限于篇幅，只列出其中的6個(gè)實(shí)例，3個(gè)來(lái)自筆者所在的課題組研究中，3個(gè)來(lái)自其他文獻(xiàn)。通過(guò)分析，分段3次Hermite插值法是處理?yè)魧?shí)試驗(yàn)的首選方法，其次是3次樣條插值法，最后是Lagrange或Newton插值法；擬合方法中3次多項(xiàng)式處理效果最好，而2次多項(xiàng)式由于其函數(shù)圖形對(duì)稱的特點(diǎn)，與3次多項(xiàng)式擬合效果相比，具有較低的可決系數(shù)，實(shí)踐中不應(yīng)采取2次多項(xiàng)式擬合方法；同時(shí)，高于4次的多項(xiàng)式擬合操作中，會(huì)因多項(xiàng)式的良好逼近性使擬合狀態(tài)變?yōu)椴逯禒顟B(tài)，也不能做為擬合函數(shù)使用。

(3) 室內(nèi)擊實(shí)試驗(yàn)是用于指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)壓實(shí)施工質(zhì)量控制指標(biāo)的室內(nèi)試驗(yàn)，本文提出的解決方案有待于實(shí)際施工中進(jìn)一步檢驗(yàn)其適用性。

(4) 擊實(shí)試驗(yàn)是基本土工試驗(yàn)之一，就其擊實(shí)能量、試樣制備方法、試樣類別等而言具有復(fù)雜性。目前學(xué)者們從不同的路線進(jìn)行研究，如基于改進(jìn)擊實(shí)設(shè)備[20]、現(xiàn)場(chǎng)壓實(shí)機(jī)械[21]、非飽和土強(qiáng)度理論[22]、評(píng)價(jià)指標(biāo)改進(jìn)[23]等的研究路線，結(jié)合實(shí)踐中壓實(shí)路基或壩基等工程開(kāi)展了大量的且使用現(xiàn)代多種科技測(cè)量手段的研究，有一定的創(chuàng)新性；但如何使擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程及結(jié)果體現(xiàn)更高的科學(xué)性、可操作性等仍然是科研、生產(chǎn)實(shí)踐中最基本的研究工作，同時(shí)基于Matlab軟件開(kāi)展的數(shù)值計(jì)算及可視化應(yīng)用等應(yīng)當(dāng)引起工程界足夠的重視。目前進(jìn)行的諸多研究仍不足以解決擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)上的分布規(guī)律，因此有待于將室內(nèi)試驗(yàn)、現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)及理論分析結(jié)合起來(lái)進(jìn)一步研究。