劉海濤，潘 巧，尹福文，董成林

(天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300350)

幾何精度作為機器人化加工裝備的一項重要性能指標，直接影響被加工產品的質量[1].在制造裝配階段，提高裝備幾何精度的有效方法是精度設計.該方法通過合理的結構設計、零件加工及裝配方法消除或減小幾何誤差源對末端位姿精度的影響[2].精度設計可分為精度分析和精度綜合兩個方面，二者互為逆過程.

建立幾何誤差源與末端位姿誤差的映射關系即誤差建模是精度設計的前提.目前，國內外研究學者就誤差建模開展了大量研究工作.Kumar等[3]提出D-H矩陣法，并利用該方法建立串聯(lián)機器人的精度模型.之后，Kiridena等[4]利用該方法建立了 TTTRR、RTTTR、RRTTT五坐標機床的幾何誤差模型，并研究了定位誤差和體積誤差之間的關聯(lián)關系，該項研究使得 D-H矩陣法被廣泛用于其他類型機床的誤差建模[5-6].Cai等[7]利用矢量微分法建立了 2-PRS/2-UPS機構的誤差模型，并分析了結構誤差、驅動誤差、關節(jié)位置誤差和間隙誤差對動平臺位置和姿態(tài)精度的影響.Huang等[8]以三平動并聯(lián)機構為對象，提出一種可有效分離末端位置和姿態(tài)誤差的建模方法；隨后又利用螺旋理論提出一種針對少自由度并聯(lián)機構的通用誤差建模方法[9]，實現(xiàn)了可補償與不可補償幾何誤差源的有效分離.

在精度綜合方面，通常采用的方法是原始誤差等效作用法[10].該方法以幾何誤差獨立作用原則為基礎，將精度綜合問題直接簡化為求解線性幾何誤差源問題.此外，最優(yōu)制造成本法[11-14]是另一種精度綜合的常用方法.該方法以幾何誤差模型為基礎，綜合考慮精度和制造成本要求.Yao等[11]將基于最優(yōu)制造成本的精度綜合方案與基于誤差敏感度的精度綜合方案進行比較，結果表明前者所求得的幾何誤差源更為合理.Bian等[15]為提高新型數(shù)控刻楦機的精度，提出了一種基于蒙特卡洛法的精度綜合方法，該方法的基本原理是以幾何誤差源對末端精度的靈敏度為依據(jù)，通過不斷調整幾何誤差源的方差，直至滿足精度要求.然而，上述精度綜合的目標都是求解最優(yōu)幾何誤差源，未涉及零部件加工和裝配公差的分配.針對這一問題，呂程等[16]以裝配體的結合平面為中間變量，建立了零件制造公差與末端精度的映射模型.在此基礎上，以制造成本最小化為目標，利用遺傳算法實現(xiàn)了公差優(yōu)化，并以液壓泵的精度設計為例，驗證了該方法的可行性.Desrochers等[17]以兩零件裝配體為研究對象，根據(jù)小位移旋量理論建立了功能要素變動旋量與公差的對應關系，進而構造出裝配要求與功能要素的關聯(lián)關系，最終得到末端精度與制造公差的映射模型.

目前，精度綜合方面的研究仍局限于機構的幾何誤差源或簡單裝配體的公差優(yōu)化，而工程實際中用于指導設計制造的精度信息為公差，因此進行公差層面的精度綜合方法研究更具意義.為此，本文以TriMule混聯(lián)機器人中的并聯(lián)機構為對象，以幾何誤差源為中間變量，研究關鍵零部件的公差與末端位姿誤差的映射關系，進而實現(xiàn)公差層面的精度綜合.

1 誤差建模

本文的研究對象為 TriMule五自由度混聯(lián)機器人，如圖 1所示.機器人由三自由度并聯(lián)機構和兩自由度 A/C轉頭構成.并聯(lián)機構由固定機架、轉動支架、動平臺、兩條 RS支鏈、RP支鏈和 US支鏈組成.在此，U、P、S、R 分別代表被動虎克鉸、移動副、球鉸及轉動副，表示主動移動副.其中，RS支鏈的一端通過轉動支架和固定機架相連接，另一端通過球鉸與動平臺相連；US支鏈的一端通過虎克鉸連接在固定機架上，另一端通過球鉸與動平臺相連；RP支鏈一端通過轉動支架和固定機架相連，另一端和動平臺固連.與兩自由度轉頭相比，并聯(lián)機構的幾何誤差源是影響機器人末端位姿精度的主要因素，故本文重點研究三自由度并聯(lián)機構的精度綜合問題.

圖1 TriMule混聯(lián)機器人三維圖Fig.1 3D model of the TriMule hybrid robot

1.1 坐標系與幾何誤差源定義

圖2 并聯(lián)機構結構示意Fig.2 Schematic of the parallel mechanism

(1) 機架固定參考系B4xyz：為度量并聯(lián)機構與固定機架之間的裝配誤差，在機架側面與底面分別建立參考基準面XΠ和YΠ.以點B4為原點建立參考系B4xyz，其中x軸垂直于基準面ΠX，y軸垂直于基準面ΠY，z軸由右手定則確定.

圖3 虎克鉸坐標系Fig.3 Coordinate systems of U

1.2 誤差映射模型

在理想情況下，點A4在坐標系B4xyz下的位置矢量可表示為

當存在幾何誤差時，點A4在坐標系B4xyz下的位置矢量為

式中θBi×、θCi×、θ×均為反對稱矩陣[18].式(1)與式(2)相減并忽略高階項，得到

對于UP支鏈，在僅考慮1階攝動情況下，點A4在坐標系B4xyz下的位置誤差矢量可表示為

注意到，在理想情況下并聯(lián)機構僅具有3個自由度，分別為繞支鏈4連架虎克鉸軸線的兩個轉動和沿該支鏈軸線方向的移動，故該機構不能產生沿u4、v4方向的平動，以及繞支鏈4連架虎克鉸兩軸線公垂線的轉動.由文獻[9]可知，末端位置/姿態(tài)誤差在相應受限運動方向/軸線的投影中所包含的幾何誤差源是不可補償?shù)模虼?，將?5)左右兩端分別點乘u4、v4，可得到

此外，由姿態(tài)變換矩陣可得到支鏈4連架虎克鉸兩軸線公垂線的單位矢量

將式(6)兩端分別點乘s得到

將式(4)、(7)、(8)、(10)整理成矩陣格式，即可得到并聯(lián)機構的誤差模型，即

式中：Ja為驅動雅可比矩陣；Jc為約束雅可比矩陣[19].由式(11)可知，引起并聯(lián)機構末端位姿誤差的幾何誤差源通過驅動雅可比矩陣Ja和約束雅可比矩陣Jc被分為兩類[9].其中，εa為可補償幾何誤差源，共24項，分別為主動支鏈i中點Bi相對于點B4的位置誤差Δbi、點Ci相對于點Bi的位置誤差Δci在坐標系Bixiyizi中沿 z軸的分量、支鏈零點誤差Δqi及點Ai相對于點A4的位置誤差Δaoi；εc為不可補償幾何誤差源，共 6項，分別為點C4相對于點B4的位置誤差坐標系B x y z相對于坐標4444系B4xyz的姿態(tài)誤差θB4y和θB4z、坐標系Ciuiviwi相對于坐標系Bixiyizi的姿態(tài)誤差θC4z及支鏈 4導軌關于軸線的扭角誤差Δ4φ.

當并聯(lián)機構處于非奇異位形時，式(11)可進一步整理為

則由不可補償幾何誤差源引起的末端位姿誤差可表示為

式中：Ec1為矩陣Ec前 3行構成的矩陣；Ec2為矩陣Ec后3行構成的矩陣.由于Δc無法通過運動學標定的方法得到補償，因此應在加工及裝配過程中嚴格控制影響Δc的幾何誤差源εc，故本文據(jù)此進一步研究εc的精度綜合問題.

2 公差建模

誤差建模部分已經建立了并聯(lián)機構不可補償幾何誤差源與末端位姿誤差之間的映射關系，而公差層面的精度綜合需要建立零部件公差與末端位姿誤差的映射關系.注意到，不可補償幾何誤差源只存在于RP支鏈，故本節(jié)建立的公差模型僅針對該條支鏈.

根據(jù)小位移旋量理論[17]，以幾何要素的理想位置為參考建立公差模型.幾何要素的微小變動可以用小位移旋量T表示，即

式中：u、v、w表示沿x、y、z軸的微小平動；α、β、γ表示繞x、y、z軸的微小轉動.若幾何要素在變動域內沿某一自由度方向運動(平動或旋轉)，其空間方位特征不發(fā)生改變，則對應微小平動或微小轉動的參數(shù)值為0.

2.1 幾何誤差源及對應公差分析

由于幾何誤差源ΔyC4、Δ4φ涉及的裝配過程較復雜，為降低建模難度，做如下簡化：由誤差建模部分可知，ΔyC4表示RP支鏈軸線和轉動支架近架軸線的共面誤差，通過調整轉動支架遠架軸兩側軸承蓋內墊片的厚度可減小該誤差.調整過程中所使用的測量工具為百分尺.在不考慮人為因素時，可認為該項誤差值取決于測量工具的精度，實際測量值和理論值的極限偏差為 ±0.01mm.因此，設定ΔyC4的變動區(qū)間為[-0.01,+0.01] mm.Δφ4表示RP支鏈兩側導軌關于軸線的扭角誤差，即RP支鏈兩端導軌在水平面內的平行度誤差.裝配時需調整安裝位置以保證兩導軌平行.同理，以百分尺的精度限定平行度公差為0.01 mm，故扭角誤差Δφ4滿足-0.01≤LΔφ4≤0.01(L表示導軌長度).

幾何誤差源ΔzC4、θC4z分別表示轉動支架遠架軸與近架軸的共面誤差、垂直度誤差.由圖 4可知，由于遠架軸與近架軸之間存在位置度公差t0，導致實際軸線偏離其理論位置，即產生幾何誤差源ΔzC4、θC4z.

圖4 二維裝配簡圖及零件示意Fig.4 Simplified 2D drawings of parts and assemblies

幾何誤差源θB4y、θB4z表示轉動支架近架軸線相對固定坐標系的姿態(tài)誤差，兩者未涉及 RP軸的裝配，僅與轉動支架裝配體相關(見圖 4).該裝配體由固定機架、安裝座和轉動支架 3部分組成，存在兩種配合關系，即平面配合和軸承配合.由于軸承的結構復雜，公差建模難度較大，故將轉動支架與軸承看作整體，軸承連接簡化為軸孔配合，裝配中要求軸承一端與安裝孔的圓平面 3完全貼合.注意到，在該裝配條件下，軸孔裝配間隙不影響軸線方向而僅影響軸線的位置，因此，軸孔的裝配間隙在后續(xù)近架軸的姿態(tài)誤差分析中無需考慮.對于同一幾何要素，應滿足定位公差大于定向公差，定向公差大于形狀公差[2].形狀公差數(shù)值較小，故在此不做考慮.因而，該裝配體涉及的公差主要包括尺寸公差t1、平行度公差t2、定位尺寸公差t3和t4、垂直度公差t5以及同軸度公差t6.由運動學分析可知[18]，機器人末端姿態(tài)變化與誤差傳遞路徑中的平移矢量無關，而僅與旋轉矢量相關，因此，在姿態(tài)誤差θB4y、θB4z中僅考慮各幾何要素的旋轉矢量ρ=[αβγ]T，并將其轉換成3× 3旋轉變換矩陣形式，即

下文將針對上述定義公差依次進行公差建模.

2.2 公差建模

2.2.1 位置度公差建模

位置度公差建模即求解實際轉動支架遠架軸相對于名義轉動支架遠架軸的小位移旋量T0.在理想情況下，建立坐標系O0x0y0z0：O0為遠架軸線與近架軸線的交點，x0與轉動支架近架軸線重合，y0與轉動支架遠架軸線重合(見圖5) .空間直線在任意方向上的位置度公差帶是直徑為公差值φt0且軸線在理想位置上的圓柱面內的空間區(qū)域.因沿y0軸的平動和繞y0軸的轉動不會改變軸線空間方位特征，故對應的旋量元素v0、β0均為0.u0、w0的變動被限定在圓柱之內，其極限值由圓柱半徑確定：-t0/2≤u0、w0≤t0/2.α0、γ0在極小時，應滿足-t0≤L0α0≤t0及-t0≤L0γ0≤t0(L0為轉動支架遠架軸的長度).將各旋量參數(shù)以區(qū)間數(shù)形式表示[17]，可得到轉動支架遠架軸的小位移旋量為

圖5 位置度公差t0的公差域Fig.5 Tolerance region of positional tolerance t0

2.2.2 平行度公差建模

平行度公差建模即求解實際裝配平面 1相對于名義裝配平面 1的旋轉變換矩陣RO1.在理想情況下，建立坐標系O1x1y1z1：O1為裝配平面 1的中點，x1軸垂直于基準面ΠX，y1軸為名義裝配平面1的法矢方向(見圖4(a)).裝配平面1同時存在尺寸公差t1和平行度公差t2，二者的公差帶都是距離為公差值，且平行于基準平面A(即為基準面YΠ)的兩平行平面之間的空間區(qū)域，如圖 6所示.對于同一被測要素，由于尺寸公差大于平行度公差[2]，因此裝配平面 1的旋轉矢量由平行度公差確定，與尺寸公差t1無關.因繞y1軸的轉動不會改變該平面的空間方位特征，故對應的旋量元素β1為0.旋轉角度α1、γ1在極小時滿足約束條件：-t2≤L1α1≤t2及-t2≤L2γ1≤t2(L1、L2均為裝配平面1的邊長)，因此，旋轉變換矩陣RO1為

圖6 平面1的公差域Fig.6 Tolerance region of plane 1

2.2.3 定位尺寸公差建模

定位尺寸公差建模即求解實際裝配軸 1相對于名義裝配軸 1的旋轉變換矩陣RO3.在理想情況下，建立坐標系O3x3y3z3：O3為裝配軸 1的中點，x3軸與名義裝配軸 1的軸線重合，y3軸垂直于基準平面A(見圖 4(b)) .裝配軸 1存在定位尺寸公差t3和t4，二者的公差域均為關于理想位置對稱，距離為公差值的兩平面之間的空間區(qū)域，且兩平面帶相互垂直.t3對應的平面公差帶垂直于y3軸，t4對應的平面公差帶垂直于z3軸，裝配軸 1的變動由兩公差域共同限制.因繞x3軸的轉動不改變裝配軸 1的空間方位特征，故對應旋量元素3α為0；旋轉角3γ與3β在極小時應該滿足約束-t3≤L3γ3≤t3及-t4≤L3β3≤t4(L3為裝配軸1的長度)，因此，旋轉變換矩陣RO3為

2.2.4 垂直度公差建模

垂直度公差建模即求解裝配軸 2實際安裝位置相對于名義安裝位置的旋轉變換矩陣RO4.在理想情況下，建立坐標系O4x4y4z4：O4為裝配軸 2的中點，y4垂直于基準平面 A，x4軸與名義安裝位置的裝配軸2軸線重合(見圖4(c)) .安裝座圓平面3存在垂直度公差t5，而裝配時需要保證裝配軸2一端與圓平面貼合，故裝配軸2實際安裝位置與名義安裝位置發(fā)生偏差.t5的公差帶是距離為公差值，且垂直于裝配軸 1的兩平行平面之間的空間區(qū)域.繞x4軸轉動不改變裝配軸2的空間方位特征，故對應旋量元素4α為0；旋轉角4γ與4β在極小時應該滿足約束-t5≤Dγ4≤t5及-t5≤Dβ4≤t5(D為圓平面 3的直徑)，因此，旋轉變換矩陣RO4為

2.2.5 同軸度公差建模

同軸度公差建模即求解實際擬合而成的轉動支架近架軸相對于名義轉動支架近架軸的旋轉變換矩陣RO′.在理想情況下，建立轉動支架近架軸坐標系O′ x ′y ′z′：O′為轉動支架近架軸的中點，y′垂直于基準平面 A，x′軸與名義轉動支架近架軸軸線重合(見圖 4(c)).轉動支架近架軸線由轉動支架兩端的基準軸D與基準軸C擬合而成，由于存在同軸度公差t6，實際擬合而成的近架軸線會偏離名義軸線.由同軸度定義可知，近架軸軸線的變動區(qū)域為φt6×L4的圓柱(L4為轉動支架近架軸的長度).因繞x′軸的轉動不改變近架軸的空間方位特征，故對應旋量元素α5為0；旋轉角γ5與β5在極小時應該滿足約束-t6≤L4γ5≤t6及-t6≤L4β5≤t6，因此，旋轉變換矩陣 RO′為

2.3 公差累積分析

ΔzC4、θC4z表示轉動支架近架軸和遠架軸之間的誤差，為零件制造誤差.由圖 5可知，遠架軸沿z0軸方向的移動w0是導致兩軸存在共面誤差的原因，遠架軸繞著z0軸的轉角0γ是導致兩軸存在垂直誤差的原因，因此

建立全局坐標系Oxyz：O為基準平面 A上任意一點，坐標軸方向與機架固定參考系B4xyz相同(見圖 4(d)).轉動支架近架軸相對全局坐標系的姿態(tài)誤差即為θB4y、θB4z.在裝配鏈中，最終的裝配誤差由各零件誤差逐漸累積而成，如圖 7所示，轉動支架裝配體的誤差經裝配平面 1、裝配平面 2、裝配軸 1、裝配軸2傳遞至近架軸線.

圖7 誤差累積路徑Fig.7 Path of error accumulation

根據(jù)裝配路徑求解轉動支架近架軸相對全局坐標系的姿態(tài)誤差：

對式(23)進行簡化得

將式(17)～(20)代入式(25)，忽略高階項化簡得

即

至此，已建立該并聯(lián)機構不可補償誤差源與零件公差之間的聯(lián)系.結合誤差模型，即可得到零件公差與末端位姿誤差之間的映射關系.

3 精度綜合

精度綜合的任務是根據(jù)預先設定的末端位姿精度要求，反求分配到各零件的制造公差.在上述所建立模型的基礎上，以并聯(lián)機構為研究對象，以制造成本最小為優(yōu)化目標建立數(shù)學模型，求解各關鍵零件的公差.

3.1 精度預估

精度預估是精度綜合的前提和基礎.精度預估的目的是尋找?guī)缀握`差源對末端位姿精度影響最大的機構位形，以便減小精度綜合的計算量，同時保證精度綜合結果的適用性.為提高精度預估的準確性，本文采用蒙特卡洛法[15]，在假設幾何誤差源滿足零均值正態(tài)分布[2]的前提下，研究不可補償幾何誤差源對末端位姿精度的影響.

首先，以A/C轉頭兩軸線交點P為參考點，定義機器人的任務空間為φ1200 mm×250 mm 的圓柱體(見圖2).在坐標系B4xyz下，將并聯(lián)機構在某一位形下末端運動的體積誤差ΔV定義為參考點 P位置誤差的模，即

式中：l為從點A4指向點P的位置矢量；l×表示反對稱矩陣.由式(29)可知，ΔV既與幾何誤差源相關，也與點P的位置矢量相關.當幾何誤差源遵循零均值正態(tài)分布時，ΔV也遵循正態(tài)分布，均值近似為0[2].在正態(tài)分布中，ΔV的標準差反映了體積誤差ΔV 分布的區(qū)間范圍，標準差越大，ΔV越大.因此，通過研究機構在任務空間中各位姿下體積誤差的標準差，即可得到體積誤差的分布規(guī)律.故定義體積誤差的標準差σ(ΔV)作為并聯(lián)機構位姿誤差的評價指標，即

式中：N為蒙特卡洛法的模擬次數(shù)；ΔVi為第i次模擬得到的體積誤差；μ為 N次模擬后體積誤差ΔV的均值.

精度預估的具體計算步驟如下：①將任務空間上、下兩個平面均勻網格化，節(jié)點個數(shù)為m＝279個；②假設每項不可補償幾何誤差源遵循標準正態(tài)分布，即εci～N(0,1)(εci表示不可補償幾何誤差源的第 i項)，根據(jù)分布概率產生各項不可補償幾何誤差源的隨機數(shù)組合；③將得到的不可補償幾何誤差源隨機數(shù)組合代入式(29)，計算各節(jié)點的體積誤差ΔV；④對步驟2和步驟3做N次重復模擬，得到μ值；⑤將步驟 4的計算結果代入式(30)得到任務空間中各離散節(jié)點處的σ(ΔV)值.

給定N=104，計算結果如圖 8所示.由圖可知，σ(ΔV)在任務空間上、下平面的分布規(guī)律相似，且最大值均出現(xiàn)平面邊緣，但σ(ΔV)在下平面邊緣各節(jié)點的數(shù)值大于其在上平面邊緣各節(jié)點的數(shù)值.因此，不可補償幾何誤差源對末端位姿誤差影響最大的區(qū)域即為任務空間下平面的邊緣.故后續(xù)精度綜合研究中僅考慮機構在任務空間下平面邊緣的位形.

圖8 σ(ΔV)的分布規(guī)律Fig.8 Distribution of σ(ΔV)

3.2 約束條件

對式(29)的兩端求標準差，即

式中：Jmi表示矩陣J中第m行第i列的元素；εci為不可補償幾何誤差源的第i項元素；ωi為幾何誤差源的靈敏度，它表征了由不可補償幾何誤差源εci的單位標準差引起的機構末端體積誤差ΔV的標準差.

在零均值正態(tài)分布中，取值在[-3σ,3σ]的概率為99.73%，即在置信度為99.73%下可認為所有的取值都在該區(qū)間內，即

式中T(·)表示取區(qū)間上限.將式(33)代入式(31)得

由于期望混聯(lián)機器人在工作中達到中檔數(shù)控機床的精度水平，故選定設計指標——體積誤差V*Δ為0.05mm.因此，對于任務空間下平面邊緣任意位形，末端精度必須滿足約束條件

注意到，在公差建模中不可補償幾何誤差源與公差t1無關，因此不將其作為優(yōu)化對象.故本文設計變量為ti(i=0,2,3,4,5,6).各公差的允許變動范圍按照國標限定在4～9級精度之間[2].

3.3 目標函數(shù)

本文以制造成本最小為優(yōu)化目標：

式中ti為零件制造公差.

目前國內外學者就公差成本和公差之間的關系開展了大量的實驗研究[20]，匯總如下.

(1) 定位尺寸公差成本函數(shù)(i=3,4)

(2) 同軸度公差成本函數(shù)(i=6)

(3) 軸(孔)的位置度公差成本函數(shù)(i=0)

(4) 對于定向公差，文獻[21]中擬合出了平行度公差和垂直度公差的成本函數(shù)如下.

平行度公差成本函數(shù)(i=2)

垂直度公差成本函數(shù)(i=5)

綜上，根據(jù)建立的目標函數(shù)和約束條件，利用MATLAB對公差進行優(yōu)化，計算結果見表1.

表1 公差優(yōu)化結果Tab.1 Results of the tolerance optimization

由表 1可知，垂直度公差t5和同軸度公差t6的數(shù)值相對較小，在制造過程中應予以嚴格控制；位置度公差t0和定位尺寸公差t4的數(shù)值相對較大，可以適當放寬制造要求.

4 結 論

(1) 基于矢量法和小攝動原理建立了機構的誤差模型，并利用驅動/約束雅可比矩陣實現(xiàn)了不可/可補償幾何誤差源的有效分離.

(2) 利用小位移旋量將公差表征為幾何要素的6項自由度，建立了公差與幾何誤差源之間的聯(lián)系，進而得到零件制造公差與末端位姿誤差之間的映射關系.

(3) 利用蒙特卡洛法實現(xiàn)精度預估，得到幾何誤差源對末端位姿精度影響最大的機構位形，能夠有效減小精度綜合的計算量，并以制造成本最小化為目標，實現(xiàn)了關鍵零件的公差分配，為零件的設計制造提供指導.