摘 要： 解析幾何在高考中占有重要地位，一般放在試題倒數(shù)第二題，有時(shí)也成為壓軸題。在高考中，絕大多數(shù)學(xué)生只能完成第1問，第2問，因計(jì)算量大而難無法完成。在平時(shí)學(xué)習(xí)及復(fù)習(xí)過程中，要讓自己真正理解解析幾何中的最優(yōu)解法與算法，這樣在考試中才能作出正確的、最優(yōu)的解法選擇，這樣才能事半功倍。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)差法;橢圓;雙曲線;拋物線

一、“點(diǎn)差法”的基本步驟

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

二次曲線上兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)，的斜率為。

由（1）-（2）得，

又∵

∴ 這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系式。

即已知弦的中點(diǎn)，可求弦的斜率;已知斜率，可求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。同時(shí)也告訴我們當(dāng)題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點(diǎn)在一起時(shí)，就要想到“點(diǎn)差法”。

二、“點(diǎn)差法”的基本題型

題型一：以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程

例1、已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)且點(diǎn)平分AB，求直線的方程。

分析：此題涉及到弦AB的斜率及弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，故采用“點(diǎn)差法”。

解：設(shè)

則

從而直線的方程為。

題型二：過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡

例2、已知橢圓C：，直線過點(diǎn)P（1，1）交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：此題涉及到弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，且弦的斜率等于MP的斜率，故采用“點(diǎn)差法”。

解：設(shè)，則

∵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的軌跡方程為：

。

題型三：圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題

例3、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。

解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，

即

，，

這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。

它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)

聯(lián)立，得 則必須滿足，

即，解得。

題型四：證明定值問題

例4、已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值。

證明 設(shè)且，

則，（1），（2）

得：，

，，

又，，（定值）。

三、“點(diǎn)差法”的局限性

舉例說明：已知雙曲線的方程，是否存在被點(diǎn)平分的弦，如果存在，求出弦所在的直線方程，如果不存在，請說明理由。

按照常規(guī)的解法：直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，與原雙曲線的方程聯(lián)立得：，由得且，但是由“點(diǎn)差法”仍然可得到一條直線的斜率顯然不符合題意。由此可見，“點(diǎn)差法”是有局限性的。

事實(shí)上： （1）若中點(diǎn)在圓錐曲線（包括圓）內(nèi)部，則滿足條件的直線必定存在;

（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線（包括圓）上，則滿足條件的直線必不存在;

（3）若中點(diǎn)在圓錐曲線（除雙曲線外）外部，則滿足條件的直線必不存在。

特別的，對對于點(diǎn)在雙曲線的外部時(shí)，滿足 時(shí)直線必定存在，否則一定不存在（當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上屬于特殊情況，應(yīng)當(dāng)特別考慮）。

參考文獻(xiàn)

【1】 韓曉剛，“點(diǎn)差法”解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦問[J].學(xué)周刊， 2011， （12）：132-133

作者簡介：李紅艷（1993.6---）女，漢族，湖南衡陽人，中學(xué)教師，本科。