劉欽朋，何 雪，賈振安，傅海威，高 宏，禹大寬

(西安石油大學 理學院 陜西省油氣資源光纖探測工程技術研究中心陜西省油氣井測控技術重點實驗室，陜西 西安710065)

引言

隨著光纖光柵技術的日漸發(fā)展，基于光纖光柵的傳感器件層出不窮，其中光纖布拉格光柵(fiber Bragg grating,FBG)應用最為廣泛，在準靜態(tài)領域取得了長足的發(fā)展，各種不同類型的準靜態(tài)FBG傳感器逐漸應用于不同的工程領域。隨著FBG應用技術的不斷拓展，FBG動態(tài)傳感技術引起研究者的廣泛關注。自T.A.Berkoff[1]在1996年首次將光纖光柵運用于振動信號測量之后，光纖光柵在加速度檢波技術方面的應用便引起了學者們的廣泛關注。近年來，FBG加速度傳感技術取得了迅猛的發(fā)展，并在諸多行業(yè)領域具有潛在的應用價值，如結構健康監(jiān)測、油氣勘探開采[2-8]等。加速度檢波器的核心技術是設計不同結構的慣性系統(tǒng)，結合FBG的尺度特點和傳感機理，通過兩點封裝方式或全粘方式，實現高靈敏、寬頻帶、低交叉干擾的關鍵技術參數。針對FBG檢波技術的研究熱點主要集中在檢波器的結構設計、封裝技術和FBG動態(tài)解調技術，其中FBG檢波器是整個系統(tǒng)最前端的器件，直接決定動態(tài)信號的拾取成敗，所以檢波器是整個系統(tǒng)的關鍵器件。

根據檢波器的彈性結構，FBG檢波器可分為懸臂梁結構[9-17]、彈性柱體式結構[18-23]、彈性膜片結構[24-26]、特殊彈性體結構[27-28]等?；趩螒冶哿航Y構的FBG檢波器結構簡單容易實現，研究的熱點主要集于提高傳感器靈敏度，封裝方式主要基于全粘封裝，但容易導致光柵啁啾，同時該結構的橫向抗干擾是一個難于解決的問題。為了增強橫向抗干擾，研究者們提出多梁結構FBG檢波器[16-17]。相對懸臂梁結構，彈性柱體結構FBG檢波器的軸向剛度容易控制，有利于設計不同頻段的加速度檢波器，但橫向干擾難以降低。Yu等[18]提出了一種柱體FBG加速度傳感器，靈敏度達80 pm/G，諧振頻率為388 Hz，劉欽朋等[19]提出了一種彈性管式FBG加速度傳感器，靈敏度為63 pm/G，諧振頻率為376 Hz，Wang等[20]提出了一種小型化FBG加速度傳感器，靈敏度為54 pm/G，諧振頻率為480 Hz，Zhang等[21]提出了一種順變柱體FBG加速度傳感器，靈敏度為42.7 pm/G，諧振頻率為400 Hz，Gutiérrea等[22]提出了一種柱體結構FBG加速度檢波器，靈敏度為19.6 pm/G，諧振頻率為500 Hz，Guo等[23]提出了一種高頻加速度傳感器，靈敏度約為4 pm/G，諧振頻率為3 806 Hz。彈性膜片結構具有法相位移敏感橫向位移不敏感的特性，非常適合加速度檢波器的設計。Muller等[24]提出了基于膜片結構的理論思想。Liu等[25]提出了一種單膜片環(huán)向封裝的FBG加速度檢波器，靈敏度約為36.6 pm/G，諧振頻率為255 Hz，交叉靈敏度小于1.3%，在此基礎上，提出了雙膜片FBG的加速度檢波器[26]，靈敏度約為23.8 pm/G，諧振頻率為1240 Hz，交叉靈敏度小于2.1%。

根據慣性系統(tǒng)的基本理論可得加速度檢波器的諧振頻率與加速度靈敏度之間是反比關系，如何優(yōu)化參數，加速度靈敏度和諧振頻率滿足什么樣的制約關系，弄清這些問題是設計高性能加速度檢波器的前提。論文首先建立兩點封裝FBG加速檢波器的一般模型，推導靈敏度解析表達式，理論分析加速度靈敏度的影響因素，討論加速度靈敏度與諧振頻率的制約關系，引入品質因數，為檢波器綜合性能的優(yōu)化和判定奠定基礎，對FBG加速度檢波器的設計具有重要的指導意義。

1 高靈敏FBG加速度檢波器理論模型

1.1 FBG傳感原理

FBG是在二氧化硅光纖纖芯內使用紫外光垂直照射相位掩模板從而形成的折射率周期調制的全光纖無源器件。其反射波的中心波長滿足布拉格定律，中心波長可由(1)式給出[1]

λB=2neffΛ

(1)

式中:λB為反射波的中心波長;neff為光纖纖芯的有效折射率;Λ為光柵的調制周期。光纖光柵上應變或者外界環(huán)境溫度變化會導致光纖光柵的neff和Λ發(fā)生變化，當應變變化量和溫度變化量分別為Δε、ΔT時，FBG中心波長的相對漂移量可表示為[1]

(2)

式中:Δε為光纖的有效彈性系數;Δε為光纖光柵的軸向應變量;αf為光纖的熱膨脹系數;ζ為光纖的熱光系數。光纖光柵會同時對溫度和應變產生響應，當忽略溫度變化影響，只考慮受光纖光柵上應變變化帶來的中心波長改變那么(2)式可簡化為(3)式，對于一般摻鍺二氧化硅光纖有Pe≈0.22。

(3)

1.2 FBG加速度檢波器理論模型

加速度檢波器是根據慣性原理所設計，慣性式FBG加速度檢波器力學模型如圖1所示，其通過底座進行固定，為典型的FBG加速度檢波器力學模型“彈簧-阻尼-質量”系統(tǒng)。FBG加速度檢波器是由慣性質量塊、彈性器件及阻尼構成，FBG加速度檢波器可看成一個單自由度二階振動系統(tǒng)。當加入外界振動信號激勵時，質量塊在慣性作用下將產生位移，在阻尼和彈性器件的共同作用下外界振動信號通過結構作用到FBG上導致光纖軸向伸縮，引起FBG的軸向應變，最終實現光柵波長調制，從而實現加速度的測量。

圖1 加速度檢波器一般力學模型Fig.1 Common mechanical model of acceleration detector

當FBG加速度檢波器受到外界激勵信號時，若只考慮應變對光纖光柵帶來的影響時，慣性質量塊受到的慣性力F=ma恰好與運動方向相反，此時檢波器中已經封裝好的FBG有效折射率和周期會發(fā)生改變，FBG的中心波長將會隨之發(fā)生變化且滿足(3)式。FBG檢波器拾取到外界的振動信號，經傳輸光纖從環(huán)境傳到光纖光柵動態(tài)解調儀從而得到FBG中心波長的變化量，再經過數據處理得到中心波長變化量和外界激勵信號加速度之間的比值，即得到該檢波器對外界振動信號加速度的靈敏度，從而精確地反映出外界振動信號的各項參數。

慣性質量塊相對于參考空間坐標原點的位移為x(t)，檢波器外殼相對于參考空間坐標原點產生的位移為y(t)，那么質量塊與檢波器外殼的相對位移為A(t)=x(t)-y(t)，根據牛頓運動定律，以慣性質量塊作為研究對象，可得方程：

(4)

式中：m為慣性質量塊的質量;c為系統(tǒng)的阻尼;Keff為彈性系統(tǒng)有效剛度系數。將質量塊與檢波器外殼的相對位移A(t)引入(4)式，整理可得：

(5)

假設加速度檢波器在理想的豎直方向進行振動，由于所施加外界激勵信號為連續(xù)的，因此檢波器所受到的激勵也為連續(xù)，任何信號都可以由不同頻率正弦波疊加得到，可假設y(t)=F0sinωt，其中F0為激勵信號的幅值，ω為激勵信號的角頻率，則可得到檢波器在受外界信號激勵作用下的運動方程：

(6)

(7)

(8)

由(8)式可得慣性質量塊與檢波器外殼之間相對位移量A(t)與外界激勵信號的加速度值有關，此外，外界加速度激勵信號將會改變振幅，導致封裝光纖長度改變，產生應變，造成FBG波長的漂移。當封裝光纖的長度為L時，FBG的軸向應變可被表示為

(9)

將(8)式和(9)式帶入(3)式整理得：

(10)

綜合(10)式，當外界激勵信號頻率遠小于檢波器自身諧振頻率時，ω/ω0?1；且檢波器為欠阻尼狀態(tài)，因此FBG中心波長對加速度的響應靈敏度S為

(11)

(11)式中的靈敏度稱為靜態(tài)靈敏度，引入Ks為檢波器結構部分剛度系數，Kf為所封裝光纖剛度系數。已知光纖的楊氏模量Ef=7.3×1010Pa及直徑df=125 μm，當封裝光纖光柵長度L確定時，即可由Kf=EfB/L,其中B為光纖橫截面面積，得到對應光纖的剛度系數。定義η=Ks/Kf，當Kf為已知量時，則可將檢波器系統(tǒng)有效剛度系數用Kf表征：

(12)

當研究對象為具體器件時，需要考慮的參數包括結構參數、封裝光纖的參數，其中結構參數主要影響器件的剛度系數和等效慣性質量，(12)式中M即為實際設計中器件的等效質量。封裝光纖的參數主要影響光纖的剛度，進而影響系統(tǒng)的剛度。由(12)式可得出檢波器的加速度靈敏度和檢波器裝置的等效質量、有效剛度系數和封裝光纖長度有關，因此可根據不同頻段的應用需求，改變裝置的選材和尺寸(彈性模量、剛度系數和密度)來改變器件的等效質量和諧振頻率,從而達到提高靈敏度的目的。

從有效剛度系數為分析點出發(fā)，以檢波器結構和封裝光纖之間的剛度比值為切入點對加速度的靈敏度進行深入討論，理論分析剛度比值η不同時其對檢波器的諧振頻率、靈敏度的影響。根據η=Ks/Kf，則檢波器系統(tǒng)的諧振頻率可表示為

2 加速度靈敏度、諧振頻率及品質因數

速度檢波器的兩個最主要的技術參數加速度靈敏度S和諧振頻率fn是相互制約的關系，提高靈敏度必然伴隨諧振頻率的降低，反之亦然。在給定頻帶內，如何提高靈敏度，是優(yōu)化的一個重要目標，在給定頻帶內，靈敏度的分布與結構參數及封裝光纖的關系是優(yōu)化的前提，由此，我們引入優(yōu)化理論依據——諧振頻率與靈敏度之積作為品質因數，能夠為不同結構的FBG加速度傳感器的綜合性能比較提供了可能，而不是片面的只追求高的加速度靈敏度或低諧振頻率，能比較客觀評價加速度傳感器的綜合性能。根據理論靈敏度和諧振頻率的表達式，結合結構參數(如表1)，便可反映靈敏度與諧振頻率的關系。如圖2所示，描述了質量與封裝光纖長度對靈敏度和諧振頻率的影響。

表1 檢波器結構參數

圖2 諧振頻率和靈敏度之間一般關系曲線Fig. 2 General relationship curve between resonant frequency and sensitivity

在實際應用中，如何在固定頻帶內提高靈敏度是一個非常有意義的問題。同時，檢波器在固定頻帶內極限靈敏度的分布特征對檢波器的設計也具有極其重要的指導意義。因此，需對加速度靈敏度S和諧振頻率fn之間的量化制約關系進行分析,研究極限靈敏度的分布及頻率分布的關系。并根據靈敏度和諧振頻率之間的制約關系，定義FBG檢波器加速度靈敏度與諧振頻率之積為品質因數，記作Q，不僅能為提高靈敏度提供參數優(yōu)化方案而且可用于評價檢波器的綜合性能。

Q=S·fn

(14)

式中S、fn分別為檢波器對外界加速度的靈敏度和諧振頻率。由(14)式可知品質因數是由靈敏度和諧振頻率共同決定的。因此，當要對檢波器技術參數進行綜合考量時可以選擇品質因數較大的，這更符合加速度檢波器結構參數優(yōu)化的需求。高靈敏是設計者追求的目標，希望不僅可以提高信號的分辨率，同時還可以改善低頻段信號響應特性。針對圖1的檢波器理論模型，并結合(12)式、(13)式和(14)式，該關系式可通用于所有兩點封裝結構的FBG加速度檢波器模型。

剛度比值η會影響器件的響應特性。隨著等效質量的增大，η不同時(參數見表2)，不同的剛度比值η對于諧振頻率fn和加速度靈敏度的影響如圖3(a)所示，當等效質量一定時，η越小的靈敏度相對較大，反之則否。不同的加速度檢波器有不同的工作頻率范圍，但無論是什么工作頻率范圍，都更希望它的工作靈敏度能夠相對而言的更高?？梢园l(fā)現，η較大的器件可在等效質量較小情況下在寬頻帶實現高靈敏度；反之，若想用于較低頻率信號的探測則需要更大的等效質量。圖3(b)為響應情況下品質因數Q的曲線變化，可明顯看出當封裝光纖長度和等效質量一定時，η較小的，其Q值更大。

表2 加速度檢波器結構參數取值

圖3 (a)η不同時諧振頻率和靈敏度曲線;(b)η不同時隨著質量的增加品質因數Q曲線Fig.3 (a) Curve of fn and with different η; (b)Curve of Q with different ηas M increases

剛度比值會影響器件的響應特性。隨著比值 的增大，等效質量不同的情況時(參數見表3)，諧振頻率fn和靈敏度S的曲線變化如圖4(a)、(c)所示，當η一定時，等效質量越大，對應的靈敏度較大，而諧振頻率較小；反之，等效質量較小時，對應的諧振頻率卻較大，對應的靈敏度較小。圖4(b)、(d)為相應情況下品質因數Q的變化曲線。從圖中可以很明顯地看出當封裝光纖長度和剛度比值一定時，等效質量越大時，Q值相對較大。此外，特別分析了當剛度比值η∈[0,1]時的情況，是為檢波器結構剛度遠小于光纖剛度。雖然該情況在一般的FBG加速度檢波器裝置中較難實現，但是從圖4(c)、(d)曲線變化中不難看出其符合文中所提出的一般加速度檢波器模型條件。

表3 加速度檢波器結構參數取值

圖4 (a)不同質量下諧振頻率和靈敏度曲線;(b)不同質量下品質因數Q曲線(η∈[0,100]);(c) 不同質量下諧振頻率和靈敏度曲線; (d) 不同質量下品質因數Q曲線(η∈[0,1])Fig.4 (a) Relationship between fn and S with different M; (b)Curve of Q with different M (η∈[0,100] );(c)Relationship between fn and S with different M; (d)Curve of Q with different M (η∈[0,1])

當檢波器系統(tǒng)結構和光纖之間剛度比值η一定，封裝光纖長度不同時(參數見表4)。隨著等效質量的增大，諧振頻率和靈敏度的關系變化曲線如圖5(a)所示，不同長度的封裝光纖其靈敏度曲線卻重合，根據(12)式，并結合光纖剛度表達式Kf=EfB/L可得到公式(15)，即從剛度比值出發(fā)考慮檢波器靈敏度時，擁有不同長度的封裝光纖的檢波器可能會具有相同的加速度靈敏度，也從側面證明利用品質因數來進行綜合考慮檢波器性能的必要性，可為檢波器器件的高靈敏度提供參數優(yōu)化方案。

(15)

表4 加速度檢波器結構參數取值

圖5 (a)η值不同時系統(tǒng)諧振頻率和靈敏度曲線;(b)η值不同時品質因數Q曲線Fig. 5 (a)Relationship between fn and with different η;(b) Curve of Q with different η

另一方面，隨著等效質量的增大，系統(tǒng)諧振頻率都逐漸減小，但是當等效質量一定時，封裝光纖長度較長的檢波器所對應的諧振頻率更小。圖5(b)為相應情況下的品質因數Q的變化曲線，綜合品質因數Q進行考慮時，當剛度比值η和檢波器等效質量一定時，選擇封裝光纖長度較短的器件明顯綜合性能更好且更容易實現高靈敏度。

從以上各圖可看出在低頻段，剛度比值η對靈敏度的影響起主要作用，特別是在超低頻段尤為明顯；而在高頻段(>500 Hz)由于結構剛度遠大于光纖剛度，封裝光纖的剛度對器件整體剛度的貢獻越來越少，因此對靈敏度和諧振頻率的影響也逐漸減小。其次，可發(fā)現當封裝光纖長度和等效質量不同時，不同檢波器仍可能具有相近的靈敏度或諧振頻率，即不同的檢波器結構參數可以實現同樣靈敏度或頻帶分布，此時會很難對這些檢波器的綜合性能進行評定，這也是為什么要引入品質因數Q的重要原因。

總得來說，當以η值和已知光纖剛度系數來給定一個加速度檢波器的有效剛度系數時，器件整體剛度受封裝光纖長度、器件等效質量的共同影響，但不同封裝光纖長度的器件卻可能獲得相同的加速度靈敏度。器件等效質量可通過改變其材料或調節(jié)尺寸大小進行改變，但剛度比值η不再是一個量化的數字，這時候需要綜合考慮所設計檢波器的工作頻率范圍和結構大小并根據理論需要彈性模量來選擇適合結構所用材料。

3 結論

結合加速度檢波器一般力學模型及FBG傳感理論，綜合分析了等效質量、剛度比值及封裝光纖長度在不同參數范圍下檢波器的響應，討論了參數變化對系統(tǒng)諧振頻率和加速度靈敏度的影響；并引入了品質因數Q，可在全面考慮器件性能情況下同時提供高靈敏度和寬工作頻帶的優(yōu)化方案。綜合考慮參數變化對檢波器響應特性的影響，且通過品質因數Q能夠更好地評價檢波器的綜合性能和優(yōu)化器件性能。提出的理論模型對加速度檢波器的優(yōu)化設計具有重要的理論指導依據，為研制出滿足技術參數的高靈敏度加速度檢波器奠定了一定的理論基礎。