陳申寶

（浙江工商職業(yè)技術學院， 浙江 寧波 315012）

0 引言

把一個單位分數分拆成另外兩個單位分數的和叫單位分數的兩項分拆。 單位分數的兩項分拆的研究已有一些成果，有的給出了單位分數的所有兩項分拆組數的計算公式[1]，有的給出了單位分數的兩項分拆的三種方法：搜索法、平方因數法和互素因數法[2]，并給出了單位分數所有兩項分拆組數的計算公式，即若則單位分數所有兩項分拆組數為。

互素因數法明顯縮小了搜索范圍，故當很大時優(yōu)于搜索法和平方因數法， 但仍有不足， 當n 或ej較大時，n 的互素因數較多，容易遺漏或重復且計算量仍較大，所以仍需加以改進。 為此，本文提出單位分數的兩項分拆的新方法——對偶因數法。

1 對偶因數法

為敘述方便，先對“兩項分拆”、 “對偶因數”等給以數學定義，并設置一些記號.文中出現(xiàn)的字母都是整數，p 代表素數，直接引用整數論中符號和簡單結論。

如果m（m≠1）的兩個因數s0和t0滿足（s0，t0）=1，s0t0=m，則稱s0和t0為m（m≠1）的一組對偶因數，同樣約定s0＜t0。

定理1 如果n=F（b，a）是n 的一組分拆，則其惟一對應n 的某個因數m（m≠1）的一組對偶因數s0和t0。 反之也成立。

證明令（a，b）=d，則可設a=s0d，b=t0d，（s0，t0）=1。再令（n，d）=D，設n=mD，d=αD，且（m，α）=1。

由于n=F（a，b）是n 的一組分拆，則由

∴m（s0+t0）=αs0t0。下面用反證法證明（s0+t0，s0t0）=1。

若（s0+t0，s0t0）＝d0≠1，則且由得且或d0t0且與d0（s0+t0）矛盾！

由m（s0+t0）=αs0t0、（m，α）=1 及（s0+t0，s0t0）=1 得m=s0t0，α=s0+t0。

所以n 的一組分拆惟一對應n 的某個因數m（m≠1）的一組對偶因數s0和t0。 此時α=s0d=s0·αD=。

反之，若s0和t0是n 的某個因數m（m≠1）一組對偶因數，則（s0，t0）=1 且s0t0=m。 顯然s0和t0都是n的因數， 令則a 和b 都是正整數，且有故s0和t0惟一對應n 的一組分拆。

定理1 說明：n 的某個因數m（m≠1）的一組對偶因數s0和t0與的一組分拆之間存在一一對應關系。

記n 的全部分拆的組數為Ω（n），它的某個因數m（m≠1）的所有對偶因數組數記為ω（m）.顯然，Ω（n）≥ω（m）＞0，Ω（n）＜+∞，Ω（p）=ω（p）=1。

所以ω（m）=2r-1。

2 舉例證明

例1 求由30=F（32，480）所對應的對偶因數s0和t0和所對應的30 的因數。

解由30=F（32，480），可得方程組：

此時m=s0t0=15 為30 的因數。

例2 用搜索法、 互素因數法和對偶因數法，分別計算36 的分拆。

解一搜索法：

令36=F（36+k，b），從這k=1，2，…，35 這35 個數中，搜索出能使是整數的k，即求得全部分拆。 計算結果如下表：

?

解二互素因數法：

36 的因數是1，2，3，4，6，9，12，18，36， 從中選出互素因數s 和t，再令即可求得36 的全部分拆F（a，b）。 計算結果如下表：

?

解三對偶因數法：

（1）Ω（36）=Ω（22×32）=（5×5-1）=12；

（2）36 的第一類因數為m=2，3，22，32，每個因數都有一組對偶因數，各因數的對偶因數和它們所對應的36 的分拆如下表：

?

（3）36 的第二類因數為m=2×3，22×3，2×32，22×32，每個因數都有兩組對偶因數，各因數的對偶因數和它們所對應的36 的8 組分拆如下表：

?