孔祥俊，白福忠，徐永祥，高曉娟，王 穎

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

引言

三維面形測量技術(shù)可以獲取物體的三維面形數(shù)據(jù)，在工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)診斷和實物仿真等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。其中由Takeda等人在1983年提出的傅里葉變換輪廓術(shù)(FTP)[1]只需要一幅變形條紋圖像即可獲取物體的三維信息，具有單幀獲取、測量速度快和分辨率高等優(yōu)點，能夠有效避免環(huán)境振動影響，成為近年來被深入研究和經(jīng)常應(yīng)用的一種三維輪廓測量技術(shù)[2-5]。

FTP將獲取的變形條紋從空域轉(zhuǎn)化到頻域，在頻域中將含有物體三維信息的基頻成分與零頻成分以及其他高階頻譜進行分離。三維形貌的復(fù)原精度很大程度上取決于基頻提取中所用的帶通濾波器的類型以及參數(shù)[6-8]。目前常用的帶通濾波器有矩形窗、高斯窗[9-10]以及廣義余弦窗，如漢寧、海明和布萊克曼窗等，盡管窗函數(shù)形式有所不同，但是它們在不同頻率方向上具有相同的頻率響應(yīng)，因此不同頻率方向上的截止頻率也是相同的，文中將這類濾波器稱為二維對稱濾波器。這類濾波器的底部形狀為圓形，設(shè)計簡單、使用方便，特別是漢寧窗[11-12]在FTP中應(yīng)用最為廣泛。

一般來說，受探測器空間采樣率的限制，投影條紋的空間頻率總會有一定限制且不能太高。實際操作中投影條紋的頻率一般不會太高，這種情況下基頻中心距離零頻較近，給濾波器選擇帶來較大困難。如果選擇過渡帶較平緩的濾波器，則零頻的權(quán)重較高，不易抑制；如果選擇過渡帶較陡峭的濾波器，如矩形窗，則會產(chǎn)生較嚴(yán)重的振鈴效應(yīng)[13-15]。當(dāng)被測物體表面反射率存在較大起伏時，投影條紋頻譜中的零頻成分便會影響到基頻，由此一系列消除背景(即頻域中零頻成分)的技術(shù)被提出，如小波變換[16]、短時傅里葉變換[10]，π相移技術(shù)[17-18]，強度調(diào)制技術(shù)[19]等。這種背景消除技術(shù)不僅有助于基頻與零頻成分的分離、降低基頻提取難度，同時也可以使傳統(tǒng)二維濾波器的截止頻率適當(dāng)增大，從而能夠獲得更為完整的基頻信息。但是這些手段仍然未能解決傳統(tǒng)帶通濾波存在的問題。

分析FTP中投影條紋的頻譜不難發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)二維濾波器的截止頻率的取值要小于條紋空間頻率。例如對于一幀豎直條紋圖像，濾波器在fx方向上的截止頻率取決于基頻中心與零頻之間的距離，然而在fy方向上濾波器截止頻率的取值則可延伸至頻譜邊界。因此，如果設(shè)計一個二維非對稱帶通濾波器，使其沿不同頻率方向擁有不同的頻率響應(yīng)和不同的截止頻率，這相對于傳統(tǒng)二維濾波器而言，能夠有效提高基頻數(shù)據(jù)提取的完整性，從而改善三維形貌測量精度。在傳統(tǒng)二維漢寧窗的基礎(chǔ)上，引入一個新的變量設(shè)計出二維非對稱濾波器，該濾波器物理意義直觀、明確，設(shè)計簡單，便于操作。進一步通過模擬實驗驗證了非對稱濾波器的有效性。

1 FTP求解原理與傳統(tǒng)2D濾波器

g(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[2πfx0x+2πfy0y+φ(x,y)]

(1)

式中：(x,y)為圖像像素坐標(biāo)；a(x,y)和b(x,y)表示投射光場中背景與條紋調(diào)制度；fx0、fy0分別為投影條紋在x和y方向的空間頻率；φ(x,y)表示被測三維輪廓引起的相位變化。對(1)式給出的變形條紋進行傅里葉變換，得到相互分離的頻譜。為了便于分析說明，(1)式改寫為

g(x,y)=a(x,y)+c(x,y)exp[i2π(fx0x+fy0y)]+c*(x,y)exp[-i2π(fx0x+fy0y)]

(2)

式中c(x,y)=0.5b(x,y)exp[iφ(x,y)]。對(2)式進行傅里葉變換，有：

G(fx,fy)=A(fx,fy)+C(fx-fx0,fy-fy0)+C*(fx+fx0,fy+fy0)

(3)

式中：A(fx,fy)和C(fx,fy)分別是a(x,y)和c(x,y)的傅里葉變換；符號*表示取復(fù)共軛。由于引入載頻，此3項在頻域內(nèi)是相互分開的，通過帶通濾波可將C(fx-fx0,fy-fy0)單獨提取出來，并將其移到原點處得到C(fx,fy)，然后對其進行傅里葉逆變換即可得到c(x,y)。由(4)式計算包裹相位：

(4)

式中：Im[c(x,y)]和Re[c(x,y)]分別為c(x,y)的虛部和實部。最后對(4)式的結(jié)果進行相位解包裹操作，獲得連續(xù)分布的相位信息φ(x,y)，再根據(jù)測量裝置的幾何關(guān)系得到被測物體的高度分布。

為了保證FTP能夠準(zhǔn)確地復(fù)原物體輪廓，G(fx,fy)中的基頻成分C與C*必須與零頻成分A有效分離，并且需要使用適當(dāng)?shù)膸V波器對正一級頻譜進行提取。目前在FTP中最常用的濾波器是漢寧窗，其函數(shù)形式為

①H2O2將粗磷酸中的有機碳氧化為CO2脫除,同時自身也會發(fā)生分解。相同投料比、相同反應(yīng)時間、不同溫度下的有機碳脫除率如圖1所示。80℃后脫除率變化的原因:___。

H(fx,fy)=0.5+0.5×

(5)

式中：fx0和fy0為基頻中心坐標(biāo)，通過參考條紋頻譜內(nèi)正一級頻譜的峰值來確定；fp表示漢寧窗窗口半寬，相當(dāng)于傳統(tǒng)二維漢寧濾波器底部圓形輪廓的半徑。由此可知，傳統(tǒng)二維濾波器在不同頻率方向上具有相同的頻率響應(yīng)，這里稱之為二維對稱濾波器，如圖1(a)所示。

根據(jù)測量原理可知，F(xiàn)TP的復(fù)原精度與提取出的基頻成分密切相關(guān)，所以選擇或設(shè)計合適的帶通濾波器是至關(guān)重要的。然而對于傳統(tǒng)二維對稱濾波器，圓形區(qū)域半徑fp取決于投影條紋的空間頻率fx0和fy0以及零頻成分的擴展程度。當(dāng)投影條紋確定后，濾波窗的最大窗口半寬也隨之確定。為了提取出更為完整的基頻成分，提高復(fù)原精度，下面設(shè)計一種新的二維非對稱濾波器。

2 二維非對稱濾波器設(shè)計

漢寧窗函數(shù)過渡帶較為陡峭，對于距離基頻中心較遠處的頻率分量具有極大的抑制，噪聲對復(fù)原結(jié)果的影響較小，本文研究的二維非對稱濾波器正是基于漢寧濾波器而設(shè)計。為了使描述更具一般性，圖1(b)給出一個傾斜條紋圖像的頻譜，頻域坐標(biāo)用fx和fy表示。圖中圓形區(qū)域表示傳統(tǒng)漢寧窗，圓形輪廓半徑為fp，與(5)式中的參數(shù)相對應(yīng)。非對稱濾波器底面形狀定義為橢圓形，它與傳統(tǒng)漢寧窗底部圓形輪廓相切，通過增加一個新的變量k，可由(5)式設(shè)計出二維非對稱漢寧濾波器，即：

H(fx,fy)=0.5+0.5×

|fx0|>|fy0|

(6)

式中：fp和kfp分別表示橢圓短軸與長軸的半寬，根據(jù)基頻中心與零頻以及與頻譜邊界的距離來確定；k為橢圓長軸與短軸之比，k≥1。(6)式表示的濾波器是一個底部為縱向拉長的橢圓形的二維漢寧濾波器。圖1(c)表示基頻中心位于fx軸上的二維非對稱濾波器。

圖1 二維漢寧濾波器與二維非對稱濾波器

如果采用水平投影條紋，基頻中心坐標(biāo)|fy0|>|fx0|，此時二維非對稱濾波器的底部形狀為橫向拉長的橢圓，其函數(shù)表達式為

H(fx,fy)=0.5+0.5×

|fx0|>|fy0|

(7)

當(dāng)|fx0|=|fy0|時，即投影條紋沿45°或135°方向，此時參數(shù)k=1，(6)式和(7)式等同于(5)式，對應(yīng)于傳統(tǒng)漢寧濾波器，其底部形狀為圓形。

3 模擬實驗

模擬仿真了2個三維物體即臺階物體和陣列物體，相位信息為φ(x,y)，經(jīng)物體調(diào)制后的投影條紋表示為

g(x,y)=120+120×cos[2πf0x+φ(x,y)]

(8)

條紋圖像大小256×256 pixel，條紋空間頻率f0取32/256。臺階物體及其投影條紋如圖2(a)和圖2(b)所示。采用傳統(tǒng)漢寧濾波器和非對稱濾波器分別進行帶通濾波和三維面形復(fù)原，變形條紋頻譜以及兩種濾波器底部輪廓如圖2(c)所示，復(fù)原后的三維面形如圖2(d)和圖2(e)所示，各自的誤差曲面如圖2(f)和圖2(g)所示。

傳統(tǒng)漢寧濾波器與非對稱濾波器的復(fù)原誤差的最大值分別為0.257 4 rad和0.101 7 rad，相對誤差為32.2%和12.7%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.043 1 rad和0.013 2 rad，其中相對誤差表示最大復(fù)原誤差與物體最大高度的比值。

圖2 臺階物體模擬結(jié)果(條紋圖像及其頻譜圖像為256×256像素)

另外，針對圖3(a)所示陣列物體進行模擬實驗，其中9個凸形物體的最大高度均為2 rad，變形條紋如圖3(b)所示。分別使用傳統(tǒng)漢寧濾波器與非對稱濾波器對其進行三維面形復(fù)原，濾波器參數(shù)與上述模擬相同。復(fù)原的誤差曲面如圖3(c)和圖3(d)所示。使用傳統(tǒng)漢寧濾波器與非對稱濾波器得到的復(fù)原誤差的最大值分別為0.078 9 rad和0.043 9 rad，相對誤差為3.9%和2.2%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.020 9 rad和0.012 3 rad。

從誤差曲面圖及復(fù)原誤差數(shù)據(jù)可以看出，非對稱濾波器的復(fù)原誤差幅值明顯低于傳統(tǒng)濾波器復(fù)原誤差。從最大復(fù)原誤差數(shù)值來看，對于臺階物體，非對稱濾波器的最大復(fù)原誤差由傳統(tǒng)濾波器的0.257 4 rad下降到0.101 7 rad，精度提高了39.5%；對于陣列物體，最大復(fù)原誤差由0.078 9 rad下降到0.043 9 rad，精度提高了55.6%。圖4給出了兩種模擬物體復(fù)原誤差曲面中沿y軸方向的中心截面曲線。從圖4可以看出，非對稱濾波器相對于傳統(tǒng)濾波器，其復(fù)原誤差的降低程度是非常明顯的。

圖3 陣列物體模擬結(jié)果

圖4 使用兩種濾波器的復(fù)原誤差的中心截面曲線

4 結(jié)論

基于目前FTP中應(yīng)用廣泛的二維漢寧濾波器，設(shè)計了底部輪廓為橢圓形狀的二維非對稱濾波器，并針對2個代表性的物體進行模擬實驗。從濾波器設(shè)計角度而言，二維非對稱濾波器設(shè)計簡單、便于操作、易于調(diào)節(jié)，可根據(jù)條紋頻譜直接確定合適的濾波器參數(shù)。模擬實驗表明，二維非對稱濾波器能夠從條紋頻譜中提取出更為完整的基頻數(shù)據(jù)，相比于傳統(tǒng)濾波器測量精度明顯改善。對于臺階物體，非對稱濾波器的復(fù)原精度提高39.5%；對于陣列物體精度提高55.6%。實際測量時為了更好地發(fā)揮非對稱濾波器的性能，應(yīng)選擇水平或豎直投影條紋，這時設(shè)計出的非對稱濾波器的底部輪廓區(qū)域最大，能夠提取出更為完整的基頻信息。當(dāng)然，除了使用漢寧窗外還可設(shè)計基于其他類型窗函數(shù)的二維非對稱濾波器。總之，這種非對稱濾波器的設(shè)計思路可以在類似應(yīng)用中發(fā)揮重要作用。