張寶榮，黃 震，張玉唯

(1. 燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004；2. 河北省特種光纖與光纖傳感重點實驗室, 河北 秦皇島 066004)

引言

已知光纖光柵結(jié)構(gòu)求解其反射譜是大家熟知的問題[1]，其逆問題即是在給定一個光纖光柵反射譜的情況下求解光纖光柵結(jié)構(gòu)的問題，也稱為光纖光柵的綜合問題。目前已經(jīng)有多種解決光纖光柵綜合問題的方法, 最早的精確綜合方法是基于Ge’fand-Levitan-Marchenko(GML)積分方程的逆散射算法[2]，被廣泛應(yīng)用于色散補償器的設(shè)計[3]。對于弱耦合光纖光柵，光柵的綜合問題可以根據(jù)一階波恩近似簡化為光柵反射系數(shù)的傅里葉逆變換，該方法適合于光柵的反射功率比較小的情況[4]。在此之后，基于信號處理技術(shù)[5]和微分逆散射算法[6-7]的綜合方法也被提出來。1999年由R.Feced, M. N.Zervas根據(jù)因果關(guān)系提出的層剝離光柵綜合算法大大降低了算法的復(fù)雜性[7]，該算法的優(yōu)勢在于它直接利用光柵分析中的耦合模方程來解決問題[8-10]，整個綜合過程透明化，使得光柵綜合問題變得相對簡單了。綜合得到的光柵切趾函數(shù)一般都比較復(fù)雜，直接制作這樣的光柵對制作工藝要求很高，實現(xiàn)困難。因此尋找易于實現(xiàn)的光纖光柵綜合方法很有必要。

光纖疊柵是指在同一段光纖上重復(fù)刻寫多個Bragg光柵[11]，這些Bragg光柵的參數(shù)在刻寫過程中可以分別進行控制，光纖疊柵的反射光譜是多個Bragg光柵的反射光譜的線性疊加[12-13], 光纖疊柵擴展了光纖光柵的許多應(yīng)用[14-15]。

提出將layer-peeling光柵綜合算法和Bragg光纖光柵疊柵方法相結(jié)合，得到一種新的Bragg光纖光柵綜合方法。首先根據(jù)需要的反射光譜，利用層剝離綜合算法得到Bragg光纖光柵折射率包絡(luò)分布函數(shù)(切趾函數(shù))，然后利用多個高斯切趾函數(shù)疊加來擬合出這個折射率包絡(luò)分布函數(shù)，這些切趾函數(shù)就是光柵疊柵中各個Bragg光柵的切趾函數(shù)，按照這樣的切趾函數(shù)制作疊柵，其反射光譜既是所需要的。相對一般的復(fù)雜切趾函數(shù)，高斯切趾函數(shù)對于光柵的寫入是易于實現(xiàn)和控制的。

1 層剝離光柵綜合算法

在求解Bragg光纖光柵反射譜問題的過程中，在構(gòu)想和概念上可能會有所不同，但是基本上都是等同于求解線性常微分方程組，即光纖光柵耦合模方程組。由于Bragg光纖光柵是一種反射型光柵，光柵中的模式只有前向和反向傳輸模式的耦合，所以為了簡便，根據(jù)文獻[8,9]我們選擇如下形式的方程組：

(1)

(2)

式中：a(z,δ)和b(z,δ)分別是前向傳輸光模式和反向傳輸光模式的復(fù)振幅；q(z)是光柵包絡(luò)函數(shù)用來描述Bragg光纖光柵的切趾函數(shù)和啁啾信息；失諧量δ與入射光波長λ和Bragg波長λB關(guān)系如下：

(3)

求解耦合模方程組需要光纖光柵的邊界條件，在光柵的結(jié)束區(qū)域即z=L處，a(L,δ)=a0和b(L,δ)=0。沿著光柵長度z的反方向解耦合模方程，在z=0處,解得a(0,δ)和b(0,δ)，則光柵反射譜r(δ)為

(4)

在反向傳播過程中，可以定義光纖光柵的局部反射譜r(z,δ)為

(5)

層剝離光柵綜合算法的過程如下：在光柵的起始區(qū)域，我們給定初始的光柵反射譜為r(δ)，假定a(0,δ)=1，依據(jù)(5)式，則b(0,δ)=r(δ)。已知a(0,δ)和b(0,δ)，則可以求出初始位置的q(0)，求解使用以下積分公式[8]：

(6)

該式是層剝離光柵綜合算法中的綜合關(guān)系。將a(0,δ)、b(0,δ)和q(0)帶入到耦合模方程(1)式和(2)式中，利用龍格庫塔數(shù)值方法可以求解出下一個z值所對應(yīng)的a(z,δ),b(z,δ)和r(z,δ)。再根據(jù)(6)式就可以求出相應(yīng)的q(z)。按照此迭代過程，沿著z增長取值，可依次求得局部反射譜r(z，δ)，進而可以求得在整個光柵長度范圍內(nèi)的光柵包絡(luò)函數(shù)q(z)。用此光柵包絡(luò)函數(shù)q(z)切趾Bragg光纖光柵，就可以得到相應(yīng)的反射譜，該反射譜就是我們最初給定的r(δ)。

在計算過程中，主要的誤差來源有2個：1)在綜合關(guān)系中，積分?jǐn)?shù)值計算會造成計算誤差項；2)在耦合模方程的求解過程中，步長Δz的大小是有限的，會產(chǎn)生傳播誤差。數(shù)值積分計算誤差項，主要依靠于失諧量δ的分辨率，同時還取決于失諧量的取值范圍。要保證失諧量的分辨率和寬度具有一定的精確度，通常需要初始反射譜具有適合的頻譜寬度和精細的結(jié)構(gòu)。對于傳播誤差項，可以通過調(diào)整計算步長進行檢測，以減小該誤差項的影響。

2 基于疊柵的綜合方法

Bragg光纖光柵疊柵可以由多個重疊寫入的Bragg光柵構(gòu)成，這些重疊寫入的Bragg光柵可以從相同或是不同的起始點寫入，可以擁有相同或是不同的光柵周期和光柵長度，同時還可以給這些Bragg光柵加入切趾和啁啾。在一段光纖上，Bragg光纖光柵疊柵的折射率分布可以表示為

(7)

(8)

則(7)式進行整理得到:

(9)

即，

(10)

根據(jù)(9)式可以推導(dǎo)出疊柵耦合模方程中的包絡(luò)函數(shù)，該包絡(luò)函數(shù)是一個復(fù)數(shù)，其模值表示的是疊柵的切趾信息，其相位則表示疊柵的啁啾信息。

應(yīng)用層剝離光柵綜合算法求出包絡(luò)函數(shù)q(z)，為得到給定的反射譜，需要用q(z)作為包絡(luò)函數(shù)，在實際操作過程中，由于q(z)函數(shù)可能不是常規(guī)函數(shù)，在刻寫光柵過程中，很難控制非常規(guī)切趾函數(shù)的刻寫，這就使得層剝離光柵綜合算法的實際應(yīng)用價值降低。

由(9)式可知，只要疊柵數(shù)目m足夠大，層剝離光柵綜合算法求得的包絡(luò)函數(shù)q(z)都可以用m個疊柵的切趾函數(shù)擬合出來，因此用m個Bragg疊柵就可以實現(xiàn)想要的反射譜。在實際應(yīng)用中，在一段光纖上重疊刻寫多個不同參數(shù)的Bragg光柵相比于刻寫具有特殊包絡(luò)函數(shù)的光柵更容易實現(xiàn)，因為疊柵中每個光柵都是獨立刻寫的，依次寫入。

3 例子仿真分析

為了檢驗上述理論分析結(jié)果，用2個例子來分析這種方法的可行性及誤差。例子1是高斯型反射譜作為目標(biāo)譜：

(11)

若取中心波長1 550 nm，半峰全寬0.3 nm，整個反射帶內(nèi)零色散為零，即d2φ(δ)/dδ2=0。假定φ(δ)=0.8δ+0.5，給定失諧量的范圍δ=±50。則方程(11)對應(yīng)的反射譜形狀如圖1所示。采用四階龍格庫塔法對方程(1)和(2)進行數(shù)值解析，利用辛普森積分法則解方程(6)，在兩種運算中分別取步長Δδ=0.005和Δz=0.005 cm，光柵長度z=3 cm。求出相應(yīng)的包絡(luò)函數(shù)q(z)，如圖2所示。

圖1 高斯型反射譜(目標(biāo)譜)

圖2 Layer-peeling算法的綜合結(jié)果q(z)

6個高斯型f(z)=Ae-(z-zc)2/w2函數(shù)就可以很好地擬合出包絡(luò)函數(shù)q(z)，結(jié)果見圖3，擬合過程都是利用Origin8的多峰擬合完成的。表1是6個高斯切趾函數(shù)Bragg疊柵的參數(shù)，周期Λ=538.2 mm。

表1 高斯切趾疊柵參數(shù)

圖3 6個高斯函數(shù)擬合的包絡(luò)函數(shù)q(z)

圖4 高斯型目標(biāo)譜與綜合譜對比

從圖4可知，利用基于疊柵的Bragg光纖光柵綜合算法求得的反射譜與目標(biāo)譜形狀大致相同，峰值大小和半高全寬基本相同，數(shù)值計算綜合譜與目標(biāo)譜的相對誤差約為0.82%。

對于某些光纖光柵的特殊應(yīng)用，有時候會要求反射譜形狀是三角型或者近似三角型，在其它光纖光柵解調(diào)的應(yīng)用中也能用到[16-17]，因此綜合出三角型光柵反射譜是具有實際意義的。圖5是目標(biāo)譜，圖6是層剝離算法的綜合結(jié)果，包絡(luò)函數(shù)為q(z)。

圖5 三角型反射譜(目標(biāo)譜)

圖6 Layer-peeling 算法的綜合結(jié)果q(z)

圖7 8個高斯函數(shù)擬合的包絡(luò)函數(shù)q(z)

圖8 三角型目標(biāo)譜與綜合譜對比

給定光纖光柵長度為3 cm，光柵周期為538.2 nm，有效折射率為1.44，反射譜峰值設(shè)定為0.6， 如圖8所示即為綜合光柵反射譜與原三角型反射譜對比圖。觀察圖8可知，由基于疊柵的光纖布拉格光柵綜合算法求得的光柵反射譜圖形與原三角型目標(biāo)反射譜相比，其形狀大致相同，但是綜合得到的反射譜圖形在波峰上升起點早于目標(biāo)譜，下降終點晚于目標(biāo)譜，上升開始處和下降終點處相比于目標(biāo)譜有所緩和，沒有目標(biāo)譜變化急速。除此之外，綜合譜的峰值和半高全寬基本與目標(biāo)譜相同，數(shù)值計算綜合譜與目標(biāo)譜的相對誤差約為3.92%。

4 結(jié)論

用光纖疊柵來可以實現(xiàn)一定目標(biāo)譜的光纖光柵的綜合，通過數(shù)值計算驗證了這種方法的可行性，用高斯函數(shù)作為切趾函數(shù)，只需要少量的疊柵就可以實現(xiàn)具有特定切趾函數(shù)的光纖光柵，2個例子的計算結(jié)果表明，綜合疊柵得到的反射譜與目標(biāo)譜基本一致，相對誤差小于4.0%。其他切趾函數(shù)的疊柵也有待進一步的研究。