鄭 亮，喬小瑞，王瑛劍

（海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430000）

0 引 言

相位敏感光時域反射計(jì)（Phase-sensitive Optical Time Domain Reflectometer，φ-OTDR），是一種利用光纖中后向瑞利散射光的多光束干涉現(xiàn)象，進(jìn)行振動定位與監(jiān)測的光纖傳感技術(shù)。由于其抗電磁干擾、靈敏度高、定位精確、數(shù)據(jù)處理相對簡單等特點(diǎn)，特別適合執(zhí)行長距離，大規(guī)模的監(jiān)測任務(wù)。目前在大型建筑的健康監(jiān)測，石油管道的安全監(jiān)控，國家邊界安全等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。傳統(tǒng)的φ-OTDR系統(tǒng)中，應(yīng)用最成熟的信號處理方法是平均法，即對多次測量得到的多條散射信號進(jìn)行累加平均處理，然后再對平均結(jié)果進(jìn)行差分，這一方法能有效提高后向瑞利散射信號的信噪比。但是這種處理方法會大幅降低系統(tǒng)的最高頻率響應(yīng)范圍，只可以用于定位，應(yīng)用在進(jìn)行振動監(jiān)測的φ-OTDR系統(tǒng)中并不合適[2]。壓縮感知理論[3]，可以利用觀測矩陣將高維信號投影到低維空間上，通過原信號所具有的稀疏特性，利用優(yōu)化算法將原信號重構(gòu)出來，這一過程不會改變信號的頻譜范圍。因此本文提出了一種基于壓縮感知理論的信號處理方法，通過求光纖各點(diǎn)處的重構(gòu)誤差值來定位振動位置，并求出振動頻率。這一方法可以在保證系統(tǒng)頻率響應(yīng)范圍不變的同時提高系統(tǒng)的抗噪性能。

1 φ-OTDR系統(tǒng)概述

1976 年，Barnoski M.K.和 Jensen S.M.最早提出了光時域反射計(jì)（Optical Time Domain Reflectometer，OTDR）技術(shù)[4]，這一技術(shù)問世40多年以來，被廣泛應(yīng)用于定位光纖線路中的斷點(diǎn)及其它異常[5]。OTDR系統(tǒng)原理如圖1所示，激光器產(chǎn)生的激光經(jīng)聲光調(diào)制器調(diào)制為光脈沖，經(jīng)過環(huán)形器后輸入到傳感光纖中，光脈沖在光纖中會產(chǎn)生瑞利散射光，其中后向瑞利散射光會返回到發(fā)射端，通過光電探測器得到沿光纖分布的瑞利散射光強(qiáng)度曲線。當(dāng)光纖上某點(diǎn)發(fā)生擾動或突變時，光纖相應(yīng)位置處的折射率也會跟著變化從而造成后向瑞利散射光強(qiáng)度的改變，通過探測這一變化就可以對擾動進(jìn)行定位。

OTDR本身具有分布式測量的特點(diǎn)，然而，當(dāng)其用于分布式傳感時，靈敏度卻很低，因此，人們在傳統(tǒng)OTDR的基礎(chǔ)上發(fā)展出φ-OTDR技術(shù)。φ-OTDR的原理與OTDR類似，都是通過探測返回的瑞利散射光從而確定擾動位置。不同的是，φ-OTDR使用的激光光源是窄線寬的。由于瑞利散射屬于彈性散射，散射光的頻率與入射光相同，所以當(dāng)入射光頻率單一且穩(wěn)定時，返回的后向瑞利散射光會產(chǎn)生多光束干涉效應(yīng)。相干光對振動非常的敏感，微小的振動就可以造成相干光曲線強(qiáng)度的改變，所以相比傳統(tǒng)OTDR系統(tǒng)，φ-OTDR的探測靈敏度有了極大的提高。

圖1 OTDR系統(tǒng)原理圖

φ-OTDR系統(tǒng)為了避免光信號之間的干涉串?dāng)_，在入射光脈沖產(chǎn)生的瑞利散射光全部返回到發(fā)射端之前，不允許發(fā)射下一個光脈沖。設(shè)兩個入射光脈沖之間的時間間隔為τ，τ的最小值可等效的看作是光脈沖在光纖中往返所需要的時間，如式（1）[2]，

其中L是光纖長度，vg是光的群速度。所以φ-OTDR系統(tǒng)發(fā)射探測脈沖的頻率f存在極大值fmax=1/τmin，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，可得φ-OTDR系統(tǒng)的頻率響應(yīng)范圍是0～0.5f，當(dāng)光纖上的振動頻率處在這一范圍內(nèi)時，可以在定位的同時求得振動頻率。

2 基于平均法的信號處理方法

由于普通單模光纖中返回的瑞利散射光信號非常微弱，尤其在長距離的傳感光纖中，非常容易被噪聲淹沒，因此需要特殊的信號處理方法來提高后向瑞利散射光的信噪比。對于φ-OTDR采集到的信號，通常我們使用平均法對其進(jìn)行處理。

平均法中比較常見的有分離平均法[6]和移動平均法[7]。所謂分離平均法，就是將采樣得到的N條瑞利散射曲線依照時間順序等分為幾組，各組分別進(jìn)行平均處理，之后再進(jìn)行差分疊加。例如，將1 024條瑞利散射曲線依照時間順序等分為4組，每組256條做一次平均處理，可以得到四條平均曲線{x1,x2,x3,x4}，對其執(zhí)行操作xi+2-xi，并將結(jié)果疊加可以得到圖2（a），從圖中可以清晰的分辨出振源的位置。而移動平均法則是預(yù)先設(shè)置一個移動平均數(shù)m，在N條瑞利散射曲線上（N>m），通過沿時間軸不斷步進(jìn)的方式對每m條散射曲線求平均值，得到N-m+1條平均曲線，之后再通過移動差分的方式，得到信號處理圖像。如圖2（b），這是m=256時，1 024條瑞利散射曲線經(jīng)移動平均法處理后得到的圖像，由圖易得振動位置在光纖1.6 km處。

圖2 平均法得到的定位圖像

不論是分離平均法還是移動平均法，雖然可以降低信號噪聲，求出振源位置，但是平均的過程相當(dāng)于降低了系統(tǒng)的采樣率，會相應(yīng)縮小系統(tǒng)的頻率響應(yīng)范圍，這顯然不利于發(fā)揮φ-OTDR系統(tǒng)的性能。因此，本文提出使用壓縮感知算法來進(jìn)行信號處理，可以在降低噪聲的同時維持原來的頻率響應(yīng)范圍不變。

3 基于壓縮感知的信號處理

3.1 壓縮感知原理

2008年Donoho提出了壓縮感知理論[8]，這一理論證明，如果信號是稀疏的，那么它可以由遠(yuǎn)低于采樣定理要求的采樣點(diǎn)數(shù)重建恢復(fù)，具體原理如下。

設(shè)一維向量S的長度是N，并且存在正交的空間變換矩陣Ψ使得S在這一空間的變換向量X是稀疏向量，即X中只有K個元素不為零，其余元素均為零，且K<

如果，現(xiàn)在已知Y和Φ，求S，因?yàn)棣凳荕×N的矩陣，顯然S的解并不唯一，但是如果存在空間變換矩陣Ψ，并且滿足S=ΨX，帶入式（2）可得：

此時問題轉(zhuǎn)化為，已知Y、Φ和Ψ，在X的解集中，尋找一個含零元素最多的X，這時X有唯一解，進(jìn)而可以求出S，這就是壓縮感知的基本原理。其中，Y稱為觀測向量，矩陣Φ稱為觀測矩陣，Ψ稱為稀疏矩陣，為簡化表述，定義Θ=ΦΨ，Θ稱為傳感矩陣。

所以壓縮感知問題的核心是尋找一種重構(gòu)算法，求出稀疏度最高的。目前壓縮感知重構(gòu)算法大致分為兩種：凸優(yōu)化算法及貪婪算法[9]，因?yàn)樨澙匪惴ǖ挠?jì)算復(fù)雜度低于凸優(yōu)化算法，所以得到了更多的應(yīng)用。而貪婪算法中常見的又有，自適應(yīng)匹配追蹤法（Sparsity Adaptive Matching Pursuit ,SAMP）[10]、正交匹配追蹤法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）[11]等。本文使用的是OMP法，其基本原理為，求出傳感矩陣Θ中和Y最為匹配的列向量，并利用最小二乘法估算出這一列向量對應(yīng)的X中的元素，利用這一元素反推出Y的近似值，并更新殘差。將這一過程迭代K次，就可以求出稀疏度為K的X，進(jìn)而求出原信號S。OMP算法的流程圖如圖3所示。

3.2 基于壓縮感知的φ-OTDR系統(tǒng)信號處理原理

具體到φ-OTDR中，若是連續(xù)采樣得到N條瑞利散射曲線，則光纖上每一點(diǎn)在時域都可以做出一條由N個采樣點(diǎn)構(gòu)成的信號曲線。將此曲線看作是離散信號S(z)，z表示光纖鏈路位置，設(shè)振源處z=a，則信號S(a)的頻域信號X(a)可以近似的看作是振源的頻域信號Xv(a)與噪聲的頻域信號γ之和，即：

這里的Ψ是離散傅里葉逆變換矩陣，由于振源處振動信號的頻率帶寬是有限的，且頻譜能量遠(yuǎn)大于噪聲，所以Xv可以近似的看作是稀疏向量。則這一問題轉(zhuǎn)化為，求稀疏信號Xv(a)的問題，可以利用壓縮感知原理進(jìn)行求解。

圖3 OMP算法流程圖

首先，定義M×N的觀測矩陣Φ，Φ必須是與稀疏矩陣Ψ不相干的，隨機(jī)高斯矩陣[12]和伯努利矩陣[8]都滿足這一條件，另外M需滿足式（5）：

K是自定義的稀疏度，本文選取隨機(jī)高斯矩陣作為觀測矩陣Φ，可以得到觀測向量Y(a)=ΦS(a)，已知Y(a)，Ψ，Φ，K，輸入到OMP算法程序中就可以求得Xv(a)的近似值Xv′(a)。之所以是近似值，因?yàn)閄(a)中含有噪聲項(xiàng)。但是由近似值Xv′(a)得到的時域信號Sv′(a)，依然保留了原始振動信號Sv(a)的大部分特征，由式（4）可得：

其中，Ψγ是噪聲的時域信號。在光纖其他位置由于不存在振動信號，所以信號S(z)=Ψγ是純粹的噪聲信號。由于噪聲信號不具有稀疏性，所以如果我們執(zhí)行同樣的步驟會求得一個振動信號的偽值Sv′(z)，顯然Sv′(z)與S(z)之間并沒有相似性。

這里定義重構(gòu)誤差：

其中，z表示光纖上的位置點(diǎn)。結(jié)合（6）、（7）式可知，振源處的重構(gòu)誤差δ(a)必然是小于1的數(shù)，利用這一點(diǎn)就可以定位振源位置。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示，激光器線寬小于3 kHz，最大輸出功率為10 mW，工作波長為1 550 nm。傳感光纖的長度為2 km，探測脈沖頻率1 kHz，脈沖寬度100 ns，壓電陶瓷管（PZT）放置在1.6 km位置處。為驗(yàn)證上述理論，我們在PZT上施加50 Hz、200 Hz和450 Hz的混頻信號，得到1 024條瑞利散射曲線，則我們在光纖鏈路的每一點(diǎn)上都得到一個包含1 024個數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散信號S(z)。利用MATLAB軟件生成2561024的隨機(jī)高斯矩陣Φ，Ψ為離散傅里葉逆變換矩陣，設(shè)稀疏度K=10，帶入OMP算法程序可得到沿光纖分布的重構(gòu)誤差曲線，如圖5（a）所示,

圖4 φ-OTDR系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖5 兩種信號處理方法的結(jié)果對比

從圖5（a）中可以看到，在1.6 km處的重構(gòu)誤差明顯低于其他位置，據(jù)此就可以定位振源位置，圖中虛線以下的部分是小于零的重構(gòu)誤差值，將1.6 km處的誤差值與其他位置處小于零的誤差值作比較，可得信噪比為12.2 dB，圖5（b）是相同情況下分離平均法得到的定位曲線，經(jīng)計(jì)算可得信噪比為2.1 dB，可見利用重構(gòu)誤差定位的方法具有更好的抗噪性能。

另外，OMP算法在確定振源位置之前，已經(jīng)得到了光纖上每一點(diǎn)在頻域的稀疏信號Xv′(z)，但是單獨(dú)取某一點(diǎn)的稀疏信號誤差較大。為得到準(zhǔn)確的振動頻率，我們可以將所有重構(gòu)誤差小于0.8的稀疏信號Xv′(z)提取出來，相加求平均，這樣求得的最大的頻率分量就是我們要求的振動頻率，如圖6所示。

圖6 振源處信號歸一化頻譜圖

從圖6中可以看出系統(tǒng)可探測的最大頻率為500 Hz?；趬嚎s感知理論，由于我們在隨機(jī)采樣的過程中，相當(dāng)于完成了對信號的壓縮，即保留了信號的所有頻域特征。所以其最大頻率響應(yīng)值可以達(dá)到采樣定理的極限，即探測脈沖頻率的1/2。本文中仿真系統(tǒng)的探測脈沖頻率為1 kHz，則最大頻率響應(yīng)值為500 Hz。

5 結(jié) 語

本文首先簡要介紹了φ-OTDR系統(tǒng)以及傳統(tǒng)平均法定位的原理。在此基礎(chǔ)上，針對傳統(tǒng)的平均法在信號處理方面存在的問題，運(yùn)用壓縮感知理論提出了一種新的振源定位方法，采用OMP算法對光纖沿線各點(diǎn)的散射信號進(jìn)行壓縮與重構(gòu)，通過求得的重構(gòu)誤差來進(jìn)行定位。實(shí)驗(yàn)表明，對比傳統(tǒng)的平均方法，本文提出的信號處理方法具有更大的頻率響應(yīng)范圍，以及更好的抗噪性能。