汪浩然

(甘肅林業(yè)職業(yè)技術學院機電工程學院，甘肅 天水 741020)

0 引言

近些年，工業(yè)機器人在各行各業(yè)都得到了廣泛的應用，機器人技術也得到了迅速的發(fā)展。為了降低機器人的開發(fā)成本和周期，機器人的理論研究分析和仿真有助于機器人的研發(fā)。MATLAB 除了傳統的交互式編程之外，還提供了豐富、可靠的矩陣運算、圖形繪制、數據處理、圖像處理等工具[1-2]。同時，在這些方面研究也形成了一定的理論體系，李廣亮等[2]利用MATLAB中的Robotics Toolbox，仿真了KUKA R6機器人的運動學分析。孫曉等[3]利用自適應模糊算法設計多關節(jié)機器人的阻抗控制器，對其控制結果進行詳細的分析和討論。國內外專家也對機器人末端力的控制方法進行了研究，主要有阻抗控制[3-9]、混合力控制、力/位置控制等方法。阻抗控制具有很強的適應性，因此很適合在一些特殊環(huán)境下應用[9-10]。陳彥宇等[11-12]對PLC控制的碼垛機器人控制方法進行了介紹。

根據某企業(yè)機器人設計方案要求，該機器人最大負載能力10 kg，末端最大允許誤差為±1.5 mm，相對誤差不超過2%。本文采用了速度閉環(huán)和位置閉環(huán)的雙閉環(huán)控制策略實現對機器人關節(jié)的控制，并進行了仿真分析。

1 數學模型

1.1 機器人運動學模型

機器人運動學模型由圖1所示。

圖1 機器人運動學模型

采用DH方法建立機器人的運動學模型：

(1)

坐標2對坐標1轉換：

(1)

坐標轉換矩陣如下：

T=0T2=0T11T2

(3)

因此，Dobot機器人末端的位置為：

(4)

對式(4)兩邊進行時間求導，可得到機器人末端的運動速度方程如下：

(5)

對式(5)兩邊同時對時間求導，可得到機器人末端的加速度方程如下：

(6)

式中：q1、q2為關節(jié)角度;r1、r2為連桿長度。

結合式(4)～式(6)，可以得到機器人的正向運動學模型。因此，在已知Dobot機器人的桿件長度和關節(jié)輸入的情況下，可以求得機器人末端的位置、速度和加速度變化情況。

其逆運動學是指已知末端位置，求解關節(jié)角度的過程。因此，該機器人的逆運動學模型為：

(7)

1.2 機器人動力學模型

由Kane方程可知，關節(jié)機器人的動力學模型可表示為：

V*(F++F)+W*(τ+L*)=0

(8)

其中，V*為桿件質心坐標：

V*=[vc1vc2]

連桿1和連桿2的角速度為：

(9)

由此得到質心的加速度為：

(10)

系統所受主動力為桿件的重力：

(11)

主動力矩為電機的驅動力矩：

(12)

連桿的慣性力為：

(13)

將角速度對時間求導，得到其角加速度：

(14)

用L*表示對質心的主矩，由于桿件質量集中于質心，因此：

(15)

1.3 系統模型

假設電動機電樞回路的電阻為Ra，電樞電感為La，電樞電壓和電樞電流分別為ua、ia，由此得到電樞回路電壓方程為：

(16)

式中：e為直流電機的反電動勢；Ce為反電動勢常數。

電機力矩方程可表示為：

Tm=Cmia

(17)

式中：Tm為驅動力矩;Cm為直流電動機的力矩常數。

一般選取國際單位時，存在Cm=Ce。

系統力平衡方程可表示為：

(18)

聯立式(17)、式(18)，經拉氏變換可得：

(19)

最終得驅動力矩(控制電流)與輸出轉矩之間的模型為：

(20)

當電機系統簡化為慣性-摩擦負載時，只要將傳動機構和負載的慣量、黏滯摩擦折算到電機軸，以等效慣量Je和等效黏滯摩擦系數Be取代式(20)的慣量項和黏滯摩擦項即可。

(21)

(22)

在考慮傳動比的情況下，得直流電機驅動力矩-負載輸出轉速之間的動力學模型：

(23)

2 機器人雙閉環(huán)控制模型

由于直流速度伺服系統的開環(huán)傳遞函數時零型系統，為了在提高系統的穩(wěn)態(tài)精度同時具有較好的快速響應，速度控制控制回路一般采用PI控制器，位置控制回路一般采用PD或PID控制器。

建立了直流電動機的速度PI控制器的模型。PI控制器的控制規(guī)律為：

(24)

在Simulink中建立PD模型?？紤]到微分會對系統帶來噪聲，因此選用不完全微分控制器。建立的近似微分PD控制器模型如圖2所示。

圖2 PD控制器模型

機器人的位置閉環(huán)和速度閉環(huán)的雙閉環(huán)控制的結構如圖3所示。內環(huán)采用PI速度閉環(huán)控制，外環(huán)采用PD位置閉環(huán)控制策略，形成雙閉環(huán)控制。

圖3 雙閉環(huán)控制結構框圖

3 仿真分析

根據設計方案要求，r1=0.6 m,r2=0.4 m，最大負載10 kg。

圖4 系統階躍響應曲線q2=10

圖5 關節(jié)2的正弦輸入響應曲線

為了提高系統的穩(wěn)定裕度值，在系統中添加PI控制器C?？刂破髡{節(jié)模型如圖6所示。在SISO工具中，進行識別(或者根據上述參數進行設定)。

圖6 控制器調節(jié)模型

圖6中：G為系統傳遞函數;H為系統反饋傳遞函數。在MATLAB中通過SISO工具箱設置界面上進行設置控制器的參數。系統特性如圖7所示。

圖7 系統特性

由圖7可知，加入控制器后，系統的相位裕度為67.9°，可以滿足穩(wěn)定性的要求。由系統的單位響應曲線可知，其單位響應時間為65 ms，超調量也滿足系統要求。

建立如圖8所示的Dobot機器人的半物理仿真控制程序。由圖8可知，Dobot機器人主要包含兩部分。①Dobot機器人機構和位置直流伺服系統模型，其主要作用是實現機器人機構和直流電機對關節(jié)1、2的位置閉環(huán)和速度閉環(huán)的雙閉環(huán)控制模型以及末端的負載。②Dobot機器人末端運動軌跡規(guī)劃模型，其主要作用為，產生機器人末端的位置軌跡，并通過機器人逆運動學運算計算得到滿足末端運動軌跡對應的關節(jié)運動軌跡。

在軌跡規(guī)劃模塊中，先假設關節(jié)1和2的輸入角度分別為q1=2sin(2πt),q2=0.01t。通過計算得到的末端軌跡作為期望運動軌跡，然后通過逆運動學計算反求出關節(jié)運動角度，作為Dobot機器人關節(jié)的輸入。通過直流電機和減速器產生驅動關節(jié)運動的驅動力矩，驅動關節(jié)運動。末端運動軌跡如圖8所示。

圖8 末端運動軌跡

通過比較圖8可知，機構運動的真實運動軌跡在運動過程中都能夠很好地跟蹤期望的軌跡， 運動誤差較小。

為了更好地說明軌跡運動誤差，給出了如圖9所示的Dobot機器人末端軌跡運動誤差變化曲線。末端運動軌跡誤差在±0.8 mm，小于設計方案提出的最大允許誤差±1.5 mm，且相對誤差為0.8%<2%，因此在運動誤差性能指標上是滿足設計方案要求的。

圖9 機器人末端運動誤差曲線

4 結束語

本文對Dobot機器人的運動學和逆運動學進行分析，并建立了機器人系統動力學模型。通過半物理仿真分析可知，其控制方法是可以滿足設計方案的技術要求，為后續(xù)的控制實施奠定了基礎。