汪浩然

(甘肅林業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 天水 741020)

0 引言

近些年，工業(yè)機(jī)器人在各行各業(yè)都得到了廣泛的應(yīng)用，機(jī)器人技術(shù)也得到了迅速的發(fā)展。為了降低機(jī)器人的開(kāi)發(fā)成本和周期，機(jī)器人的理論研究分析和仿真有助于機(jī)器人的研發(fā)。MATLAB 除了傳統(tǒng)的交互式編程之外，還提供了豐富、可靠的矩陣運(yùn)算、圖形繪制、數(shù)據(jù)處理、圖像處理等工具[1-2]。同時(shí)，在這些方面研究也形成了一定的理論體系，李廣亮等[2]利用MATLAB中的Robotics Toolbox，仿真了KUKA R6機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。孫曉等[3]利用自適應(yīng)模糊算法設(shè)計(jì)多關(guān)節(jié)機(jī)器人的阻抗控制器，對(duì)其控制結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的分析和討論。國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家也對(duì)機(jī)器人末端力的控制方法進(jìn)行了研究，主要有阻抗控制[3-9]、混合力控制、力/位置控制等方法。阻抗控制具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，因此很適合在一些特殊環(huán)境下應(yīng)用[9-10]。陳彥宇等[11-12]對(duì)PLC控制的碼垛機(jī)器人控制方法進(jìn)行了介紹。

根據(jù)某企業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)方案要求，該機(jī)器人最大負(fù)載能力10 kg，末端最大允許誤差為±1.5 mm，相對(duì)誤差不超過(guò)2%。本文采用了速度閉環(huán)和位置閉環(huán)的雙閉環(huán)控制策略實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)的控制，并進(jìn)行了仿真分析。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型由圖1所示。

圖1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

采用DH方法建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

(1)

坐標(biāo)2對(duì)坐標(biāo)1轉(zhuǎn)換：

(1)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣如下：

T=0T2=0T11T2

(3)

因此，Dobot機(jī)器人末端的位置為：

(4)

對(duì)式(4)兩邊進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，可得到機(jī)器人末端的運(yùn)動(dòng)速度方程如下：

(5)

對(duì)式(5)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得到機(jī)器人末端的加速度方程如下：

(6)

式中：q1、q2為關(guān)節(jié)角度;r1、r2為連桿長(zhǎng)度。

結(jié)合式(4)～式(6)，可以得到機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。因此，在已知Dobot機(jī)器人的桿件長(zhǎng)度和關(guān)節(jié)輸入的情況下，可以求得機(jī)器人末端的位置、速度和加速度變化情況。

其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是指已知末端位置，求解關(guān)節(jié)角度的過(guò)程。因此，該機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

(7)

1.2 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

由Kane方程可知，關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型可表示為：

V*(F++F)+W*(τ+L*)=0

(8)

其中，V*為桿件質(zhì)心坐標(biāo)：

V*=[vc1vc2]

連桿1和連桿2的角速度為：

(9)

由此得到質(zhì)心的加速度為：

(10)

系統(tǒng)所受主動(dòng)力為桿件的重力：

(11)

主動(dòng)力矩為電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩：

(12)

連桿的慣性力為：

(13)

將角速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到其角加速度：

(14)

用L*表示對(duì)質(zhì)心的主矩，由于桿件質(zhì)量集中于質(zhì)心，因此：

(15)

1.3 系統(tǒng)模型

假設(shè)電動(dòng)機(jī)電樞回路的電阻為Ra，電樞電感為L(zhǎng)a，電樞電壓和電樞電流分別為ua、ia，由此得到電樞回路電壓方程為：

(16)

式中：e為直流電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)；Ce為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)。

電機(jī)力矩方程可表示為：

Tm=Cmia

(17)

式中：Tm為驅(qū)動(dòng)力矩;Cm為直流電動(dòng)機(jī)的力矩常數(shù)。

一般選取國(guó)際單位時(shí)，存在Cm=Ce。

系統(tǒng)力平衡方程可表示為：

(18)

聯(lián)立式(17)、式(18)，經(jīng)拉氏變換可得：

(19)

最終得驅(qū)動(dòng)力矩(控制電流)與輸出轉(zhuǎn)矩之間的模型為：

(20)

當(dāng)電機(jī)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為慣性-摩擦負(fù)載時(shí)，只要將傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和負(fù)載的慣量、黏滯摩擦折算到電機(jī)軸，以等效慣量Je和等效黏滯摩擦系數(shù)Be取代式(20)的慣量項(xiàng)和黏滯摩擦項(xiàng)即可。

(21)

(22)

在考慮傳動(dòng)比的情況下，得直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩-負(fù)載輸出轉(zhuǎn)速之間的動(dòng)力學(xué)模型：

(23)

2 機(jī)器人雙閉環(huán)控制模型

由于直流速度伺服系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)零型系統(tǒng)，為了在提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度同時(shí)具有較好的快速響應(yīng)，速度控制控制回路一般采用PI控制器，位置控制回路一般采用PD或PID控制器。

建立了直流電動(dòng)機(jī)的速度PI控制器的模型。PI控制器的控制規(guī)律為：

(24)

在Simulink中建立PD模型?？紤]到微分會(huì)對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)噪聲，因此選用不完全微分控制器。建立的近似微分PD控制器模型如圖2所示。

圖2 PD控制器模型

機(jī)器人的位置閉環(huán)和速度閉環(huán)的雙閉環(huán)控制的結(jié)構(gòu)如圖3所示。內(nèi)環(huán)采用PI速度閉環(huán)控制，外環(huán)采用PD位置閉環(huán)控制策略，形成雙閉環(huán)控制。

圖3 雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖

3 仿真分析

根據(jù)設(shè)計(jì)方案要求，r1=0.6 m,r2=0.4 m，最大負(fù)載10 kg。

圖4 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線q2=10

圖5 關(guān)節(jié)2的正弦輸入響應(yīng)曲線

為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度值，在系統(tǒng)中添加PI控制器C?？刂破髡{(diào)節(jié)模型如圖6所示。在SISO工具中，進(jìn)行識(shí)別(或者根據(jù)上述參數(shù)進(jìn)行設(shè)定)。

圖6 控制器調(diào)節(jié)模型

圖6中：G為系統(tǒng)傳遞函數(shù);H為系統(tǒng)反饋傳遞函數(shù)。在MATLAB中通過(guò)SISO工具箱設(shè)置界面上進(jìn)行設(shè)置控制器的參數(shù)。系統(tǒng)特性如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)特性

由圖7可知，加入控制器后，系統(tǒng)的相位裕度為67.9°，可以滿足穩(wěn)定性的要求。由系統(tǒng)的單位響應(yīng)曲線可知，其單位響應(yīng)時(shí)間為65 ms，超調(diào)量也滿足系統(tǒng)要求。

建立如圖8所示的Dobot機(jī)器人的半物理仿真控制程序。由圖8可知，Dobot機(jī)器人主要包含兩部分。①Dobot機(jī)器人機(jī)構(gòu)和位置直流伺服系統(tǒng)模型，其主要作用是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人機(jī)構(gòu)和直流電機(jī)對(duì)關(guān)節(jié)1、2的位置閉環(huán)和速度閉環(huán)的雙閉環(huán)控制模型以及末端的負(fù)載。②Dobot機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃模型，其主要作用為，產(chǎn)生機(jī)器人末端的位置軌跡，并通過(guò)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算計(jì)算得到滿足末端運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡。

在軌跡規(guī)劃模塊中，先假設(shè)關(guān)節(jié)1和2的輸入角度分別為q1=2sin(2πt),q2=0.01t。通過(guò)計(jì)算得到的末端軌跡作為期望運(yùn)動(dòng)軌跡，然后通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算反求出關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度，作為Dobot機(jī)器人關(guān)節(jié)的輸入。通過(guò)直流電機(jī)和減速器產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力矩，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。末端運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示。

圖8 末端運(yùn)動(dòng)軌跡

通過(guò)比較圖8可知，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都能夠很好地跟蹤期望的軌跡， 運(yùn)動(dòng)誤差較小。

為了更好地說(shuō)明軌跡運(yùn)動(dòng)誤差，給出了如圖9所示的Dobot機(jī)器人末端軌跡運(yùn)動(dòng)誤差變化曲線。末端運(yùn)動(dòng)軌跡誤差在±0.8 mm，小于設(shè)計(jì)方案提出的最大允許誤差±1.5 mm，且相對(duì)誤差為0.8%<2%，因此在運(yùn)動(dòng)誤差性能指標(biāo)上是滿足設(shè)計(jì)方案要求的。

圖9 機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)誤差曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)Dobot機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，并建立了機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)半物理仿真分析可知，其控制方法是可以滿足設(shè)計(jì)方案的技術(shù)要求，為后續(xù)的控制實(shí)施奠定了基礎(chǔ)。