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        基于擺角約束的雙擺吊車軌跡規(guī)劃

        2019-10-09 00:45:18張?zhí)斐?/span>邵雪卷張井崗
        自動化儀表 2019年9期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        張?zhí)斐?邵雪卷,張井崗

        (太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,山西 太原 030024)

        0 引言

        當(dāng)橋式吊車系統(tǒng)中的有效負(fù)載體積過大或當(dāng)?shù)蹉^質(zhì)量與有效負(fù)載質(zhì)量相比不可忽略時(shí),橋式吊車系統(tǒng)會呈現(xiàn)雙擺效應(yīng)。此時(shí),系統(tǒng)擺動特性更為復(fù)雜,同時(shí)會增加動態(tài)性能分析和設(shè)計(jì)控制方案的難度,導(dǎo)致基于單擺吊車系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的控制方法應(yīng)用于雙擺吊車系統(tǒng)時(shí)難以取得令人滿意的效果。

        針對雙擺橋式吊車系統(tǒng),一些研究人員從開環(huán)控制的角度出發(fā)[1-6],設(shè)計(jì)控制方案。文獻(xiàn)[3]提出一種基于迭代學(xué)習(xí)策略的梯形加速度樣條曲線軌跡規(guī)劃方法,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí),能夠表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[4]在考慮各種約束的前提下,給出了以運(yùn)輸時(shí)間為性能指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù),并通過二分法來求解,以得到期望軌跡。然而開環(huán)控制在存在外界干擾或內(nèi)部擾動時(shí)難以保證良好的穩(wěn)定性。因此,閉環(huán)控制策略也逐漸開始應(yīng)用于雙擺吊車系統(tǒng)中[7-10]。例如文獻(xiàn)[7]分別為臺車定位和兩級擺動設(shè)計(jì)PID控制器。Sun等[8]設(shè)計(jì)了一種幅值飽和非線性狀態(tài)反饋控制器。此外,滑??刂芠11]、魯棒控制[12]等控制方法也逐漸擴(kuò)展到雙擺吊車系統(tǒng)。

        為了能夠方便地考慮系統(tǒng)的擺角約束、提高雙擺橋式吊車的工作效率、并滿足系統(tǒng)對安全性和快速性的的要求,本文設(shè)計(jì)了一條能夠滿足擺角約束的有效負(fù)載擺角曲線。該設(shè)計(jì)根據(jù)臺車運(yùn)動和兩級擺動的耦合關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于時(shí)間和最大擺角的目標(biāo)函數(shù),從而將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)優(yōu)化問題,并利用粒子群算法求解。最終,通過仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。

        1 問題描述

        橋式吊車因其成本低廉、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn),在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)運(yùn)輸過程中得到了廣泛的應(yīng)用。整個(gè)運(yùn)輸過程中要求臺車能夠安全、準(zhǔn)確地運(yùn)送至指定位置,并且有效抑制負(fù)載擺動。在實(shí)際工作中,通常由經(jīng)驗(yàn)豐富的工人來對吊車進(jìn)行控制。然而,人工操作的方式存在定位精度差、有殘余擺動等問題。此外,由于吊車系統(tǒng)欠驅(qū)動特性的存在,臺車運(yùn)動與負(fù)載擺動高度耦合,一旦操作不當(dāng)就會造成較大的負(fù)載擺動,一些失誤甚至?xí)?dǎo)致負(fù)載的不可控?cái)[動,引發(fā)安全事故。因此,吊車系統(tǒng)的自動控制方案研究非常重要。

        雙擺橋式吊車系統(tǒng)模型如圖1所示。圖1中:M、m1、m2分別為臺車質(zhì)量、吊鉤質(zhì)量和有效負(fù)載質(zhì)量;l1為吊繩繩長;l2為有效負(fù)載重心到吊鉤重心之間的距離;x(t)為臺車位移;θ1(t)為吊鉤擺角;θ2(t)為有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的擺角;g為重力加速度常數(shù);F(t)為作用在臺車上的驅(qū)動力。

        圖1 雙擺橋式吊車系統(tǒng)模型

        由拉格朗日方程,可得雙擺橋式吊車的運(yùn)動學(xué)模型如下:

        (1)

        (2)

        (3)

        對式(2)、式(3)化簡,整理可得:

        (4)

        (5)

        式(4)、式(5)表示了臺車運(yùn)動和兩級擺動之間的耦合關(guān)系,即臺車運(yùn)動對兩級擺動的影響。在實(shí)際運(yùn)用中,往往會進(jìn)行如下近似處理:

        sinθ1≈θ1,sinθ2≈θ2,cosθ≈1,cosθ2≈1

        sin(θ1-θ2)≈(θ1-θ2),cos(θ1-θ2)≈1

        此時(shí),式(4)可改寫為:

        (6)

        (7)

        聯(lián)立式(6)、式(7),可得:

        (8)

        式(8)表明了吊鉤擺角和有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的擺角之間的近似關(guān)系。

        2 軌跡規(guī)劃

        在實(shí)際工作中,臺車的水平運(yùn)輸過程通??梢苑譃槿齻€(gè)階段:加速階段、勻速階段和減速階段,并且加速階段與減速階段互為中心對稱。在加速階段,臺車速度逐漸增加,直至進(jìn)入勻速階段。在勻速階段后,臺車勻速運(yùn)行。到達(dá)減速階段,臺車速度逐漸減小,到達(dá)指定位置,此時(shí)臺車速度為零。加速階段與減速階段互為中心對稱。符合這一規(guī)律的水平運(yùn)輸過程如圖2所示。

        圖2 水平運(yùn)輸過程示意圖

        本文所提出的軌跡規(guī)劃策略同樣符合這一規(guī)律,每一階段的臺車運(yùn)動軌跡可分別表示為:

        (9)

        上述軌跡相對應(yīng)的兩級擺動分別表示為:

        (10)

        (11)

        為了保證橋式吊車系統(tǒng)的安全性,并提高系統(tǒng)的工作效率,本文針對雙擺橋式吊車系統(tǒng)規(guī)劃得到的臺車軌跡應(yīng)能滿足如下約束。

        ①臺車從起始位置x0出發(fā),tz時(shí)間內(nèi)到達(dá)指定位置pd。在整個(gè)運(yùn)輸過程中,臺車速度、加速度始終保持在允許的范圍內(nèi),即:

        x(t0)=x0

        (12)

        x(tz)=pd

        (13)

        (14)

        (15)

        (16)

        ②在運(yùn)輸過程中,兩級擺動始終保持在允許的范圍內(nèi),每一階段結(jié)束時(shí)無殘余擺動,即:

        θ(t0)=θ(tf1)=θ(tf2)=θ(tz)=0

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        為了使軌跡能夠滿足約束(12)~(20),需對三個(gè)階段分別進(jìn)行分析,保證構(gòu)造所得軌跡能夠滿足不同階段的要求。

        第一階段。在這一階段,需要規(guī)劃出能夠滿足各約束條件的臺車運(yùn)動軌跡和兩級擺動軌跡。由約束條件(12)~(16)可知,θ1(t)、θ2(t)在t0、tf1處應(yīng)有三階零點(diǎn);又由式(8)所示兩級擺角之間的關(guān)系可知,在θ2(t)、tf1處有五階零點(diǎn)。因此,在第一階段可取θ21(t)、θ21(t)為下列多項(xiàng)式函數(shù):

        θ21(t)=k0(t-t0)5(t-tf1)5

        (21)

        則由式(8)可得到第一階段θ11(t)為:

        (22)

        式中:k0、tf1為待確定未知參數(shù)。

        (23)

        又由式(7)可知:

        (24)

        則第一階段的臺車運(yùn)動軌跡可計(jì)算如下:

        (25)

        式中:t∈[t0,tf1]。

        (26)

        當(dāng)臺車加速度為零,且θ1(tf1)=θ2(tf2)=0時(shí),由式(4)、式(5)中臺車運(yùn)動與兩級擺角的耦合關(guān)系可知,在第二階段兩級擺角為:

        θ12(t)=θ22(t)=0t∈[tf1,tf2]

        (27)

        第三階段。由于本文所提出的軌跡規(guī)劃策略符合第三階段與第一階段互為中心對稱這一規(guī)律,因此可通過第一階段的加速度軌跡來確定第三階段的加速度軌跡為:

        (28)

        通過計(jì)算可知,第三階段臺車位置與第一階段和第二階段有如下關(guān)系:

        x3(t)=x1(tf1)+x2(tf2)-x(tf1+ff2-t)

        (29)

        式中:t∈[tf2,tz]。

        另外,從期望軌跡的對稱性質(zhì),可得到第三階段中兩級擺角曲線分別為:

        θ23=-θ21(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

        (30)

        θ13=-θ11(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

        (31)

        對于雙擺橋式吊車系統(tǒng)來說,運(yùn)輸總時(shí)間越短,臺車的加速度越大。由臺車運(yùn)動和兩級擺角之間的耦合關(guān)系可知,過大的加速度會導(dǎo)致系統(tǒng)兩級擺動角度超出允許的范圍,降低吊車系統(tǒng)的工作效率和安全性。為了使所得臺車運(yùn)動軌跡和兩級擺角軌跡均能保持在安全范圍內(nèi)、運(yùn)輸總時(shí)間和最大兩級擺角之間能夠保持一定平衡,構(gòu)造如下關(guān)于運(yùn)輸總時(shí)間和最大負(fù)載擺角的目標(biāo)函數(shù):

        F(tf1-t0,k0)=tz+α|θ21|max

        (32)

        式中:α>0為權(quán)重因子。

        有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的最大擺角可由式(23)表示,運(yùn)輸總時(shí)間可用三個(gè)階段的時(shí)間和來表示:

        (33)

        其中:

        x(tf2)=pd-[x(tf1)-x0]

        (34)

        將式(34)代入(33)中,可知:

        (35)

        當(dāng)雙擺吊車系統(tǒng)參數(shù)已知時(shí)(不失一般性,t0、x0均取零),需要確定未知參數(shù)k0、tf1,使得兩級擺動的最大擺角|θ1|max、|θ2|max和運(yùn)輸總時(shí)間都盡可能地小。本文采用粒子群算法來求解這一多變量非線性優(yōu)化問題。

        粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法是一種智能算法,主要通過對鳥群的捕食行為進(jìn)行總結(jié)和模擬而得到。算法通過設(shè)計(jì)一種粒子來模擬鳥群中的個(gè)體。該優(yōu)化問題中的最優(yōu)解則被視為鳥群要尋找的食物源。所有的粒子僅具有速度和位置兩個(gè)屬性值。在迭代過程中,每一個(gè)粒子不僅可對自身最好的歷史位置進(jìn)行學(xué)習(xí),還可以根據(jù)整個(gè)種群中最優(yōu)粒子的位置來對自己的位置進(jìn)行改進(jìn);通過調(diào)整下一次迭代粒子尋優(yōu)的方向和速度,最終使整個(gè)種群中所有的粒子都趨于最優(yōu)解。算法的具體步驟如下。

        ①初始化粒子,確定最大迭代次數(shù)。

        ②計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的值,驗(yàn)證粒子是否滿足約束條件。若不滿足,刪除該粒子并重新初始化。

        ③對于每個(gè)粒子,將其當(dāng)前值與歷史最好值進(jìn)行比較,并更新粒子位置向量。

        ④對于每個(gè)粒子,將其當(dāng)前值與群體最好值進(jìn)行比較,并更新粒子位置向量。

        ⑤更新粒子的速度向量和位置向量。其中,可根據(jù)下式更新速度向量:

        位置向量可按下式進(jìn)行更新:

        ⑥返回步驟②,直至迭代結(jié)束。

        3 仿真與分析

        為了驗(yàn)證本文所提出軌跡規(guī)劃策略的有效性,在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行測試,使用文獻(xiàn)[5]中的吊車參數(shù)如下:

        臺車目標(biāo)位置及系統(tǒng)狀態(tài)約束為:

        目標(biāo)函數(shù)中,α取值為0.5。由粒子群優(yōu)化算法可確定為未知參數(shù)tf1=3.1、k0=0.001。

        本文所提軌跡規(guī)劃方法得到的加速度軌跡和速度軌跡如圖3所示。

        圖3 臺車加速度軌跡及速度軌跡

        3.1 對比研究

        與文獻(xiàn)[7]所提控制方法進(jìn)行比較,仿真對比結(jié)果如圖4所示。兩種方法的具體性能指標(biāo)對比如表1所示。

        圖4 仿真對比結(jié)果

        控制方法運(yùn)送總時(shí)間/s|θ1|max/(°)|θ2|max/(°)本文6.753.432.86文獻(xiàn)[7]7.974.506.80

        從圖3、圖4可以看出,本文軌跡規(guī)劃方法得到的軌跡在滿足狀態(tài)約束的同時(shí),可以保證臺車安全、準(zhǔn)確到達(dá)指定位置,并且能夠有效抑制兩級擺動。由表1所示性能指標(biāo)對比可知,與文獻(xiàn)[7]方法相比,本文臺車運(yùn)行時(shí)間為6.75 s,相較于文獻(xiàn)方法節(jié)省1.22 s,并且本文方法中兩級擺動分別為3.43(°)和2.86(°),均小于文獻(xiàn)[7]方法。仿真表明,本文軌跡規(guī)劃方法具有較好的控制性能。

        3.2 魯棒性研究

        在實(shí)際工作中,不同運(yùn)輸任務(wù)中的負(fù)載質(zhì)量不盡相同,并且繩長可能需要重新調(diào)整。此時(shí),一些控制方案可能需要重新設(shè)計(jì)。這會增加計(jì)算量和工作量,降低工作效率。因此,有必要測試本文控制方案在系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)的控制性能,驗(yàn)證其魯棒性。

        考慮以下幾種情況。

        ①l2=0.6(m),m2=5(kg)。

        ②l2=0.4(m),m2=10(kg)。

        ③l2=0.2(m),m2=10(kg)。

        通過仿真得到的系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)的兩級擺動如圖5所示。其中,虛線表示兩級擺動的允許范圍。

        圖5 系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)的兩級擺動

        上述不同情況所對應(yīng)的兩級擺動的具體性能指標(biāo)如表2所示。

        表2 不同系統(tǒng)參數(shù)性能指標(biāo)對比

        由圖5及表2可知,當(dāng)?shù)踯囅到y(tǒng)中的有效負(fù)載和繩長變化時(shí),本文所提控制方案所得到的兩級擺角幅值大小會產(chǎn)生變化,但始終保持在允許范圍內(nèi),臺車運(yùn)行至指定位置后沒有殘余擺動存在。綜上可知,本文方法在臺車定位和擺角抑制方面都具有良好的性能。

        4 結(jié)束語

        本文針對具有雙擺特性的欠驅(qū)動橋式吊車系統(tǒng),提出一種基于擺角約束的軌跡規(guī)劃方法。根據(jù)臺車與擺角之間耦合關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于時(shí)間和最大負(fù)載擺角的目標(biāo)函數(shù)。利用粒子群算法求取目標(biāo)函數(shù)中的未知參數(shù),得到期望臺車加速度軌跡。該方法在滿足系統(tǒng)物理約束的同時(shí),能夠保證臺車安全、快速定位至指定位置,并且抑制兩級擺動及殘余擺動。MATLAB仿真結(jié)果證明了本文方法的有效性和魯棒性。

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