摘 ?要： 本文考慮了兩服務臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)，證明了重話務條件下逗留時間的泛函重對數(shù)率。逗留時間指的是一個顧客從到達系統(tǒng)到離開系統(tǒng)的時間，泛函重對數(shù)率基于更新過程的強逼近。

關鍵詞： 兩服務臺串聯(lián)排隊;流逼近;強逼近;泛函重對數(shù)律

中圖分類號： O226 ? ?文獻標識碼： A ? ?DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.04.033

本文著錄格式：張玉艷. 兩串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)律[J]. 軟件，2019，40（4）：154158

【Abstract】： We obtain the of the functional law of the iterated logarithm of the sojourn time progress for a two-stage tandem queue in heavy traffic. The sojourn time is the period from a customer's arrival to her departure.

【Key words】： Two-stage tandem queue; Fluid limit; Strong approximation; The functional law of the iterated logarithm

0 ?引言

本文考慮一個兩服務臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率，兩服務臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)是指顧客從外部進入系統(tǒng)按照先到先服務的服務規(guī)則排隊等待（FCFS），依次先后接受兩個串聯(lián)服務臺的服務，服務完成后離開系統(tǒng)，從進入系統(tǒng)到離開系統(tǒng)的時間稱之為逗留時間，本文證明了在重話務條件下即服務強度 逗留時間泛函重對數(shù)率（FLIL）的結果。

考慮兩服務臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率基于以下兩個原因：一方面，串聯(lián)排隊系統(tǒng)在港口運輸、計算機通訊、交通控制、生產(chǎn)管理、生產(chǎn)流程等領域中具有十分廣泛的應用，見Harrision[1]和Guo等[2]，而逗留時間涉及到服務效率和顧客的時間成本問題，是管理者運營的重要考量因素。另一方面：泛函重對數(shù)率是基于更新過程的強逼近，強逼近是比流體逼近更強的一種逼近方式，前人在泛函重對數(shù)方面的研究僅限于隊長、負荷、忙期、閑期，本文證明了逗留時間的泛函重對數(shù)率的結果，補充了前人的研究成果，雖然研究方法只適用于重話務條件下即服務強度 的臨界態(tài)，卻對其他情況下逗留時間泛函重對數(shù)率提供了啟發(fā)。

通過Strassen[3]，泛函重對數(shù)率第一次由布朗運動或維納過程發(fā)展，所有的泛函重對數(shù)率的極限基于更新過程的強逼近，下述等式的成立：

Guo[4]證明了等號兩邊的極限相等。則求解泛函重對數(shù)的結果就轉化為求解 的極限問題。

文章安排如下：第一章給出模型描述和參數(shù)設定，第二章給出泛函重對數(shù)率的結果和證明。本文使用的一些符號：所有的隨機變量和隨機過程都定義在一個共同的概率空間內 ? 表示隨機變量 的均值， 表示其方差。 表示一種定義，對于 ，任給 ，令 ， 。 表示第 個服務臺隊長、逗留時間、忙期、閑期流逼近的結果。 表示 維在 上右連續(xù)在 左極函數(shù)空間， 是在 內連續(xù)函數(shù)的集合，對于函數(shù) ， 定義 ? ?， 是“uniformly on compact set”的縮寫，表示在緊集上一致收斂。如果當 時， ，記為 ，用 表示以概率1， 表示恒同映射，如果 是一個相對緊集，并且所有收斂點的集合是 ，就說 。

1 ?模型參數(shù)及設定

3 ?結論

本文給出了兩服務臺串聯(lián)排隊證明在重話務條件下（當服務強度 時）逗留時間的泛函重對數(shù)率，得出當 時，在兩串聯(lián)排隊服務系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率是兩個單服務臺逗留時間泛函重對數(shù)率的和。證明過程中我們沒有對隊長，忙期，閑期過程的流逼近，強逼近給出證明而是直接基于前人的結果，同樣我們需要指出的是求解方法只適用于重話務臨界態(tài) 的情況。對于其他情況，我們指出上述證明過程不適用。

參考文獻

[1] Harrison M.J. Brownian models of quenueing networks with heterogeneous customer populations in W.Fleming and P.L. Lions（eds）， Stochastic Differential Systems，Stochastic Control Theory and Applications， IMA Volumes in Mathematics and its Applications， Volume 10， Springer-Verlag， New York， 1988， 147-186.

[2] Guo Y.， Lefeber E.， Nazarathy Y.， Weiss G.， Zhang H. Stability and performance for muli-class queueing networks with infinite virtual queues[J]. Queueing Systems， 2014， 76（3）： 309-342.

[3] V.Strassen.An invariance principle for the law of the iterated logarithm[J].Z. Wahrsch.Verw. Gebiete 3（3）（1964）： 211-226.

[4] Yongjiang Guo， Zhangzhi Li. Asymptotic variability analysis for a two-stage tandem queue，partI： The functional law of the iterated logarithm[J]. Math.Anal.Appl. 2017， 450： 1479-1509.

[5] Dai J.G.On the positive Harris recurrence for multiclass queueing networks： a unified approach via fluid limit models [J]. Annals of Applie Probability， 1995， 5（1）： 49-77.

[6] Chen H.， Yao D.D. Fundamentals of Queueing Networks[J]. New York，Spring-Verlag， 2001.

[7] Chen H，Shen X.Strong approximations for multiclass feedforward queueing networks[J]. The Annals of Applied Probability， 2000， 10： 828-876.