黃丹蕓

( 1.泉州師范學院 數(shù)學與計算機科學學院； 2.福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識工程重點實驗室；3.智能計算與信息處理福建省高等學校重點實驗室: 福建 泉州 362000 )

0 引言

具有良好相關(guān)特性的三元序列偶被廣泛地應用于通信、雷達等系統(tǒng)中.在對三元序列偶的相關(guān)研究中，學者們根據(jù)序列偶相關(guān)函數(shù)值的不同，提出了最佳三元序列偶[1-2]、偽隨機三元序列偶[3]、準最佳三進陣列偶[4]、三值自相關(guān)三元序列偶[5-7]等.針對三值自相關(guān)三元序列偶的研究和構(gòu)造，彭秀平等[6]利用二階、四階和六階分圓數(shù)方法構(gòu)造了一種特殊的三值自相關(guān)三元序列偶——三值自相關(guān)幾乎二元序列偶；賈彥國等[7]利用四階分圓類構(gòu)造了三值自相關(guān)三元序列偶，所得到的三元序列偶都具有良好的相關(guān)特性.基于上述研究，本文利用2階Whiteman廣義分圓類構(gòu)造N=pq的三值自相關(guān)三元序列偶，并得到4類具有良好相關(guān)特性的三值自相關(guān)三元序列偶.

1 預備知識

定義1[7]令{x(t)}和{y(t)}是兩個周期為N的三元(-1,1,0)序列，定義序列偶(x,y)的循環(huán)相關(guān)函數(shù)為

下面給出Whiteman廣義分圓類的相關(guān)概念及一些性質(zhì).

引理1[8]108設N=pq， 其中p和q為不同的奇素數(shù)，令g是GF(p)和GF(q)的一個公共原根，e為p-1和q-1的最大公因數(shù)，記(p-1)(q-1)=de.令x為滿足下列同余方程組的整數(shù)解：

gsxl+1=gtxm(modN)

的解s,t(0≤s,t≤d-1)的個數(shù),即(l,m)=|(Cl+1)∩Cm|, 則稱(l,m)為e階分圓數(shù).

定義Q={q,2q,…,(p-1)q}，P={p,2p,…,(q-1)p}，R={0}.記p-1=ef，q-1=ef′， 則(f,f′)=1.

引理5[9]1700當|p-q|/2是奇數(shù)時，-1∈C1； 當|p-q|/2是偶數(shù)時，-1∈C0.

由引理6和引理7容易證得引理8.

引理9[8]113設τ是一個能被p整除但不是能被q整除的整數(shù)，則

2 主要結(jié)果及其證明

定理1設N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1為不同的奇素數(shù)， gcd(p-1,q-1)=2.令

1) 當ff′為偶數(shù)，q=p-2時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

2) 當ff′為偶數(shù)，q=p+6時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

3) 當ff′為奇數(shù)，q=p+4時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

證明根據(jù)序列偶的定義，序列偶(x,y)的相關(guān)函數(shù)

R(x,y)(τ)=|{t:t∈C0,t+τ∈C0}|+|{t:t∈C0,t+τ∈P}|+|{t:t∈C1,t+τ∈R}|+

|{t:t∈Q,t+τ∈R}|+|{t:t∈P,t+τ∈C0}|+|{t:t∈P,t+τ∈P}|+

|{t:t∈R,t+τ∈C0}|+|{t:t∈R,t+τ∈P}|-|{t:t∈C0,t+τ∈R}|-

|{t:t∈C1,t+τ∈C0}|-|{t:t∈C1,t+τ∈P}|-|{t:t∈Q,t+τ∈C0}|-

|{t:t∈Q,t+τ∈P}|-|{t:t∈P,t+τ∈R}|-|{t:t∈R,t+τ∈R}|=

|(C0+τ)∩C0|+|(C0+τ)∩P|+|(C1+τ)∩R|+|(Q+τ)∩R|+

|(P+τ)∩C0|+|(P+τ)∩P| +|(R+τ)∩C0|+|(R+τ)∩P|-

|(C0+τ)∩R|-|(C1+τ)∩C0|-|(C1+τ)∩P|-|(Q+τ)∩C0|-

|(Q+τ)∩P|-|(P+τ)∩R|-|(R+τ)∩R| .

當τ=0時，容易得到序列偶的峰值為

當τ≠0時，由引理1—引理10可得：

由以上分析可知Δ0≠Δ1， 若序列偶(x,y)要構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，則需要滿足Δ0=Δ2=1或Δ1=Δ2=1.

當τ∈Q時，Δ′2=R(x,y)(τ)=Δ2=1；

當τ∈P時，Δ′3=R(x,y)(τ)=Δ3=-p+q-1.

注意到Δ′0≠Δ′1， 若序列偶(x,y)要構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，則Δ′0=Δ′2=1或Δ′1=Δ′2=1.

若Δ′0=1， 則q=p+4.此時Δ′1=Δ′3=3， 序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

若Δ′1=1， 則q=p， 這與p和q為不同的奇素數(shù)矛盾，舍去.證畢.

算例1令p=5,q=3， 則N=15.取g=2為GF(5)和GF(3)的公共原根，取x=7， 則C0={1,2,4,8}，C1={7,14,13,11}，P={5,10}，Q={3,6,9,12}.由定理1，可以構(gòu)造出一個三值自相關(guān)三元序列偶(x,y)， 其中x=(-1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,1,1,1),y=(1,-1,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0)， 其相應的自相關(guān)函數(shù)為

通過類似定理1的證明，可得到如下定理2 —定理4.

定理2設N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1為不同的奇素數(shù)， gcd(p-1,q-1)=2.令

1) 當ff′為偶數(shù)，q=p+2時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

2) 當ff′為偶數(shù)，q=p+6時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

3) 當ff′為奇數(shù)，q=p+8時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

算例2令p=3,q=11， 則N=33.取g=2為GF(3)和GF(11)的公共原根，取x=23， 則C0={1,2,4,8,16,32,31,29,25,17}，C1={23,13,26,19,5,10,20,7,14,28}，P={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}，Q={11,22}.由定理2可以構(gòu)造出一個三值自相關(guān)三元序列偶(x,y)， 其中x=(1,-1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,-1),y=(1,-1,-1,-1,-1,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,-1,0,-1,-1,-1,-1)， 其相應的自相關(guān)函數(shù)為

定理3設N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1為不同的奇素數(shù)， gcd(p-1,q-1)=2.令

當ff′為偶數(shù)，q=p+6時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為

定理4設N=pq， 其中p=2f+1,q=2f′+1為不同的奇素數(shù)， gcd(p-1,q-1)=2.令

當ff′為偶數(shù)，q=p+2時，序列偶(x,y)構(gòu)成三值自相關(guān)三元序列偶，其相關(guān)函數(shù)值的分布為