呂洪鵬， 侯成敏

( 延邊大學 理學院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

近年來分數(shù)階微分方程在物理學、化學、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域得到廣泛應用，其相關(guān)研究也得到一些進展[1-9].例如： 2012年， Dong等[6]研究了如下的邊值問題：

作者應用錐的伸拉縮的定理得到了該邊值問題解的存在性.2015年， Han等[7]研究了如下的帶有廣義p-Laplacian算子的邊值問題：

其中1<α,β≤2，作者利用錐上的Guo -Krasnosel’skii不動點定理得到了該邊值問題正解的存在性.2016年， Günendi和Yaslan[8]利用Avery -Henderson不動點定理和Leggett -Williams不動點定理，得到了帶積分邊界條件的分數(shù)階微分方程

的多重正解的存在性，其中n-1<η≤n,n≥3,α,β,γ,δ>0,ap,bp≥0.2017年， Li[9]研究了下列分數(shù)階邊值問題:

其中2<α,β≤3， 作者應用Avery-Henderson不動點定理給出了解的存在性.

受上述文獻的啟發(fā)，本文研究如下分數(shù)階邊值問題：

(1)

本文假設(shè)如下條件對邊值問題(1)中的g(t),f(t,u)成立:

(H2)f(t,u)∶[0,1]×(0,+∞)→(0,+∞)是連續(xù)的.

1 預備知識

引理3[12]對于tβ的Caputo型的α(α∈(n-1,n))階導數(shù)為

2 主要結(jié)果及其證明

G(t,s)=

證明由方程(1)及引理2，得:

所以

定理1函數(shù)G(t,s)和H(t,τ)滿足如下性質(zhì)：

(i)H(t,τ)≥0,G(t,s)≥0,τ,t,s∈[0,1].

證明(i)顯然H(t,τ)≥0,τ,t∈[0,1]是成立的.下面證明G(t,s)≥0,t,s∈[0,1].當0≤t≤s≤1時,有

當0≤s≤t≤1時,有

(iii)當0≤s≤t≤1時，

令

(2)

則h(0)=0，h(1)=0.當s∈(0,1)時，有

令h′(s)=0， 有

(3)

將式(3)代入式(2)得

當t≤s時，

當s≤t時，

(4)

其中s≤s*.下面分兩種情況對式(4)進行討論：

當δ≤s≤s*時,有

下面應用引理6，證明邊值問題解的存在性.

定義算子T∶P→P如下：

(5)

引理7假設(shè)f(t,u)在[0,1]×[0,+∞)上是連續(xù)的，且條件(H2)成立，則式(5)定義的算子T∶P→P是完全連續(xù)算子.

證明首先證明T∶P→P.由條件(H2)知Tu(t)≥0.再由定理1中的(iii)，有

因此得到T∶P→P.

所以T是有界的.

所以得到T是等度連續(xù)的.再由Arzela -Ascoli定理可知，T是完全連續(xù)的.

定理2f(t,u)在[0,1]×[0,+∞)上是連續(xù)的.假設(shè)存在兩個不同的正數(shù)r1,r2， 使: