王 眾，張洪剛

艦船氣泡尾流中氣泡的諧振頻率分析

王 眾，張洪剛

（海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院，武漢 430033）

為了解決使用明納特頻率在計(jì)算艦船氣泡尾流中微小氣泡的諧振頻率時(shí)存在的誤差，得到艦船氣泡尾流中微小氣泡更準(zhǔn)確的諧振頻率計(jì)算公式。本文在中等大氣泡的諧振頻率計(jì)算公式明納特頻率的基礎(chǔ)上，根據(jù)Rayleigh-Plesset方程，推導(dǎo)了適用范圍更廣的諧振頻率計(jì)算公式，并給出了迭代解，以及適當(dāng)范圍內(nèi)的二次迭代解。該計(jì)算公式可以對(duì)艦船氣泡尾流中存活時(shí)間最久的微小氣泡的諧振頻率進(jìn)行計(jì)算，對(duì)聲尾流制導(dǎo)魚雷的頻率選用具有一定的指導(dǎo)價(jià)值。

艦船尾流 氣泡 明納特頻率 諧振頻率

0 引言

艦船在海面上航行的時(shí)候都無可避免的會(huì)因?yàn)榕烎寂d波破浪將氣泡卷入海水和艦艉螺旋槳高速旋轉(zhuǎn)而空化產(chǎn)生氣泡而形成長(zhǎng)長(zhǎng)的尾流，因此利用艦船尾流區(qū)同周圍海水介質(zhì)的不同物理性質(zhì)探測(cè)艦船的尾流制導(dǎo)魚雷應(yīng)運(yùn)而生[1-3]。對(duì)艦船尾流特性的研究早已受到各個(gè)海洋大國(guó)的重視，其關(guān)系到未來水下反艦的研制與應(yīng)用[4]。

艦船氣泡尾流具有特定的氣泡分布，可通過聲、光等措施對(duì)其進(jìn)行探測(cè)及跟蹤[5]。采用聲措施探測(cè)艦船尾流的存在及跟蹤攻擊艦船的武器聲尾流制導(dǎo)魚雷，聲尾流制導(dǎo)魚雷是通過在水中向上發(fā)射高頻聲波，再采集回波后進(jìn)行分析對(duì)艦船進(jìn)行探測(cè)及跟蹤的[6]。提高聲尾流制導(dǎo)魚雷對(duì)氣泡尾流的探測(cè)能力是提高聲尾流制導(dǎo)魚雷作戰(zhàn)效能的重要手段，對(duì)氣泡尾流的探測(cè)就是對(duì)氣泡尾流的散射能力的檢測(cè)。氣泡尾流中含有數(shù)量眾多的大小各異的氣泡，當(dāng)聲波頻率能夠使尾流中占大多數(shù)的氣泡產(chǎn)生諧振時(shí)，氣泡尾流的散射能力最強(qiáng)[7]。現(xiàn)在，大部分使用的氣泡諧振頻率公式是由明納特推導(dǎo)的[8]，該公式對(duì)中等大氣泡適用，對(duì)于艦船氣泡尾流中能夠長(zhǎng)時(shí)間存在的微小氣泡適用性不是很強(qiáng)，所以對(duì)艦船氣泡尾流中氣泡的諧振頻率進(jìn)行研究十分重要。

1 氣泡的諧振

液體中的氣泡一旦受到入射聲波的激勵(lì)使之從靜止?fàn)顟B(tài)開始擾動(dòng)后，在不受入射聲波進(jìn)一步激勵(lì)的情況下，會(huì)在液體中以其固有頻率脈動(dòng)。如果入射聲波的頻率和氣泡的固有頻率相同，那么氣泡會(huì)發(fā)生諧振，此時(shí)氣泡脈動(dòng)具有最大的振幅。我們將此頻率稱為氣泡的諧振頻率，明納特推導(dǎo)了對(duì)中等大氣泡適用的諧振頻率0(a)簡(jiǎn)化表達(dá)式為

式中為氣泡半徑；α為氣泡內(nèi)氣體比熱比；P為氣泡所受壓強(qiáng)；ρ為液體密度。明納特關(guān)系式只適用于較大氣泡以及入射聲波頻率較低的情況，對(duì)于較小的氣泡，由于其諧振頻率較高，需要對(duì)熱傳導(dǎo)和表面張力的作用進(jìn)行修正。

在密度為ρ和切變黏度為η的不可壓縮介質(zhì)中，瞬時(shí)半徑為的球形氣泡的運(yùn)動(dòng)滿足Rayleigh-Plesset方程，即

式中，0()為無限遠(yuǎn)處聲壓，w()為氣泡內(nèi)壓強(qiáng)的總和，η為液體的切變黏度。

根據(jù)體積彈性模量的定義，有

如果假設(shè)熱擴(kuò)散率a可以忽略，且表面張力的影響不受絕熱條件控制，若用ω表示處于絕熱條件下氣泡的諧振頻率，有

用ω表示處于等溫條件下氣泡的諧振頻率，有

式用于可忽略熱傳導(dǎo)且表面張力起顯著作用的較大氣泡，用于半徑較小氣泡。通常情況下，氣泡脈動(dòng)既不完全是絕熱脈動(dòng)也不完全是等溫脈動(dòng)，氣泡的諧振頻率一般在ω與ω之間。

2 多方指數(shù)

3 氣泡的諧振頻率

對(duì)于較大氣泡，其諧振頻率為明納特頻率，但是對(duì)于較小氣泡，一方面由于氣泡內(nèi)部的熱傳導(dǎo)作用，會(huì)降低其諧振頻率；另一方面由于氣泡的表面張力的存在，會(huì)增加其諧振頻率。由于兩種情況對(duì)氣泡的諧振頻率作用效果相反，故需要討論氣泡的實(shí)際諧振頻率。

式中，被省略的最大項(xiàng)與和同階。當(dāng)氣泡半徑大于20μm時(shí)，是可忽略的。圖1和圖2分別畫出了海面和深度為90 m處，重復(fù)利用式 之后得到的氣泡諧振頻率收斂迭代解，以及通過式計(jì)算得到的氣泡諧振頻率二次迭代近似解，還有通過式和式計(jì)算的在絕熱和等溫條件下的氣泡諧振頻率ωad和ωiso，并通過除以明納特頻率ω0進(jìn)行歸一化處理。

圖2 深度90米時(shí)，水中氣泡的諧振頻率與氣泡半徑的關(guān)系

表1 物理量常數(shù)值

從圖1和圖2中可以看出，當(dāng)氣泡半徑超過20時(shí)，根據(jù)式計(jì)算出的二次迭代解與多次迭代得到的結(jié)果基本重合，說明所舍去的高次項(xiàng)對(duì)結(jié)果幾乎無影響。同時(shí)從圖中還可以看出，當(dāng)氣泡半徑超過3時(shí)，直接采用明納特頻率所帶來的誤差小于10%。對(duì)于整個(gè)氣泡半徑范圍來說，氣泡較小時(shí)使用式，氣泡較大時(shí)使用式是個(gè)很好的選擇，整體誤差小于3%。

4 氣泡的諧振半徑

實(shí)際應(yīng)用中，遇到的往往是由不同氣泡半徑氣泡組成的氣泡群，而不是單個(gè)氣泡。前面節(jié)討論了不同氣泡半徑氣泡對(duì)應(yīng)的諧振頻率，這一節(jié)討論在任意頻率平面聲波入射氣泡群時(shí)，什么半徑的氣泡會(huì)發(fā)生諧振。我們知道，對(duì)于較大氣泡，其諧振頻率為的明納特頻率，將明納特頻率表達(dá)式轉(zhuǎn)換成氣泡半徑與頻率的關(guān)系如下：

將式記為明納特半徑，那么當(dāng)聲波頻率低于10 kHz時(shí)，諧振氣泡半徑等于明納特半徑。對(duì)于更高的聲波頻率，同樣需要在兩個(gè)方面對(duì)諧振半徑進(jìn)行修正，一方面是由于氣泡內(nèi)部的熱傳導(dǎo)作用，會(huì)減小其諧振半徑；另一方面由于氣泡的表面張力的存在，會(huì)增加其諧振半徑。

和與被省略的最大項(xiàng)同階，在聲波頻率低于100 kHz時(shí)，是可忽略的。

圖4 深度90米時(shí)，水中氣泡的諧振半徑與聲波頻率的關(guān)系

圖3和圖4分別畫出了海面和深度為90 m處，重復(fù)利用式之后得到的氣泡諧振半徑收斂迭代解，以及通過式計(jì)算得到的氣泡諧振半徑二次迭代近似解，還有通過式和式計(jì)算的在絕熱和等溫條件下的氣泡諧振半徑和α，并通過除以式明納特半徑α進(jìn)行歸一化處理。計(jì)算所用物理量的常數(shù)值同樣見表1。

從圖3和圖4中可以看出，當(dāng)聲波頻率低于在200 kHz時(shí)，根據(jù)式計(jì)算出的二次迭代解與多次迭代得到的結(jié)果基本重合，說明所舍去的高次項(xiàng)對(duì)結(jié)果幾乎無影響。同時(shí)從圖中可以看出，當(dāng)聲波頻率低于200 kHz時(shí)，直接采用明納特半徑所帶來的誤差小于10%。對(duì)于整個(gè)頻率范圍來說，較高頻率時(shí)使用式（15），較低頻率時(shí)使用式（17）是個(gè)很好的選擇，整體誤差小于3%。

5 結(jié)論

本文在中等大氣泡的諧振頻率-明納特頻率的基礎(chǔ)上，根據(jù)Rayleigh-Plesset方程，推導(dǎo)了從微小氣泡半徑到大氣泡半徑的諧振頻率迭代表達(dá)式，并給出了適用半徑范圍不包括數(shù)微米級(jí)小氣泡但是更簡(jiǎn)單的二次迭代表達(dá)式。同時(shí)，也推導(dǎo)了適用于全頻域的諧振半徑迭代表達(dá)式，可通過入射聲波頻率知道更準(zhǔn)確的發(fā)生諧振的氣泡半徑大小，同時(shí)也給出了頻率范圍小一些但更簡(jiǎn)單的二次迭代表達(dá)式。對(duì)于需要知道準(zhǔn)確諧振頻率或者諧振半徑的情況，比如對(duì)艦船氣泡尾流中氣泡的探測(cè)，用本文的方法選擇聲納頻率更為準(zhǔn)確，是提高聲尾流制導(dǎo)魚雷作戰(zhàn)效能的方法之一。

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Analysis of Resonant Frequency of Bubbles in Ship Bubble Wake

Wang Zhong, Zhang Honggang

(Naval University of Engineering, College of Weapon Engineering, Wuhan 430033, China)

O32

A

1003-4862（2019）09-0014-04

2018-03-01

王眾（1989-），男，博士研究生。研究方向：武器制導(dǎo)與控制技術(shù)。Email: dtoubaby@163.com