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        通過(guò)“底圖”突破立體幾何的建系難點(diǎn)

        2019-10-03 12:15:25常艷龍宇

        常艷 龍宇

        [摘? ?要]學(xué)生常常通過(guò)向量解決立體幾何問(wèn)題,而如何選擇建系的原點(diǎn)是一大難點(diǎn).通過(guò)對(duì)“底圖”的分析,能為學(xué)生建系提供思考的方向.

        [關(guān)鍵詞]底圖;建系;立體幾何

        [中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2019)23-0024-02

        解決立體幾何問(wèn)題有幾何法和空間向量法.幾何法涉及輔助線(xiàn)的添加及空間關(guān)系的理解.與幾何法相比,向量法的思維量小,所以向量法成為更多學(xué)生的首選.運(yùn)用向量法的一大難點(diǎn)在于坐標(biāo)系的建立.本文介紹一種以“底圖”為思考出發(fā)點(diǎn)的建系策略,供讀者參考.這里說(shuō)的“底圖”是指立體圖形中的底面圖形.

        一、題目

        題1:如圖1,多面體[ABCDEF]中,底面[ABCD]為菱形,[∠BAD=60°],[AB=2],[DF=BE=1],[AF=CE=3],且平面[ADF⊥]底面[ABCD],平面[BCE⊥]底面[ABCD].

        (1)證明:[EF⊥]平面[ADF];(2)求二面角[A-EF-C]的余弦值.

        分析:該幾何體的底面為有一個(gè)角為[60°]的菱形,[△ADF]與[△BCE]為全等三角形,且所在的平面與底面垂直.該圖形與2015年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題極為相似,現(xiàn)展示如下.

        題2:如圖2,四邊形[ABCD]為菱形,[∠ABC=120°],[E]、[F]是平面[ABCD]同一側(cè)的兩點(diǎn),[BE⊥]平面[ABCD],[DF⊥]平面[ABCD],[BE=2DF],[AE⊥EC].(1)證明:平面[AEC⊥]平面[AFC];(2)求直線(xiàn)[AE]與直線(xiàn)[CF]所成角的余弦值.

        分析:兩個(gè)圖的底面相同,圖1有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直,圖2的四個(gè)側(cè)面均與底面垂直.

        二、常見(jiàn)的“底圖”及建系策略

        利用空間向量解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系.建系的關(guān)鍵在于對(duì)“底圖”的認(rèn)識(shí),我們可以?xún)H僅考慮“底圖”,對(duì)于常見(jiàn)的“底圖”,熟悉相關(guān)的幾何性質(zhì)與建系方法,有助于我們突破整個(gè)立體圖形的建系難點(diǎn).

        1.有一個(gè)角為[60°]的菱形

        如圖3-1,如何建立平面直角坐標(biāo)系求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)呢?結(jié)合菱形的相關(guān)性質(zhì),可以選擇[AC]與[BD]的交點(diǎn)[O]([∵AC⊥BD]),或四條邊的中點(diǎn),如[AD]的中點(diǎn)[E]([∵AD⊥BE]),或四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行建系.具體如圖3-2.

        2.箏形

        箏形是指有一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形,與菱形定義相對(duì)應(yīng).本文僅介紹幾個(gè)常見(jiàn)的箏形圖形及建系方法.如圖4-1,本文選擇了一組對(duì)角為[60°],[120°]或[60°],[90°]的箏形進(jìn)行研究.

        可仿照?qǐng)D3-2的建系方式,以[AC]與[BD]的交點(diǎn)[O],或各邊的中點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行建系.具體如圖4-2.

        3.矩形

        在某些以折疊為背景的圖形中,常常是矩形,具體如圖5.

        利用三角形相似或向量等方法可容易證明[AE⊥BD].即可以選擇以[AE與BD]的交點(diǎn)[O]進(jìn)行建系.

        三、解法呈現(xiàn)

        解法一:有了上面的“底圖”分析作為基礎(chǔ),學(xué)生就可以有效地解決題1的建系問(wèn)題.

        如圖6-1建系,以[AD]的中點(diǎn)[O]為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,也可選擇[AC]與[BD]的中點(diǎn)或[A,B,C,D]進(jìn)行建系,得到各個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo).

        [O(0,0,0)],[A(1,0,0)],[B(0,3,0)],[C(-2,3,0)],[D(-1,0,0)],[E-12,3,32],[F-12,0,32].關(guān)于點(diǎn)[E,F(xiàn)]的坐標(biāo),可根據(jù)其所在平面計(jì)算.結(jié)合上面的坐標(biāo)即可解決所有問(wèn)題.

        對(duì)于題2,可如圖6-2建系,以[AC與BD]的交點(diǎn)[G]建立空間直角坐標(biāo)系.對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)坐標(biāo)如下:

        設(shè)菱形[ABCD]的棱長(zhǎng)為[2],則有[G(0,0,0)],[A(0,-3,0)] ,[B(1,0,0)] ,[C(0,3,0)] ,[D(-1,0,0)],[E(1,0,2)],[F-1,0,22 ].

        解法二:題1中,兩個(gè)側(cè)面[△ADF]和[△BCE]為全等的直角三角形.結(jié)合上文中的“折疊”模型,將圖1中的[△ADF]和[△BCE]分別繞[AD,BC]旋轉(zhuǎn)即可獲得一個(gè)完整的“矩形”.具體如圖7-1.

        設(shè)[AD]與[EF]的交點(diǎn)為[O],根據(jù)圖5,可在點(diǎn)[O]處建系,具體如圖7-2.

        對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)的坐標(biāo)如下:[O(0,0,0)],[A43,0,0],[B23,3,0],[C-43,3,0],[D-23,0,0],[E0,3,32],[F0,0,32] .

        根據(jù)以上的坐標(biāo)即可獲得問(wèn)題的解.

        兩種解答模式的基本思路一致,均是以“底圖”進(jìn)行思考.

        除了上面的幾種“底圖”外,常見(jiàn)的“底圖”還有三角形、梯形等.教師在平時(shí)的教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析“底圖”,將建系的難點(diǎn)從空間維度降低到平面維度.對(duì)此,平面圖形的幾何性質(zhì),特別是垂直關(guān)系就顯得尤為重要,在平時(shí)的訓(xùn)練中要注意對(duì)該類(lèi)性質(zhì)的積累.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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