周桃云，廉保旺，楊冬冬，張怡，蔡成林

（1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西 西安 710129；2.湖南人文科技學(xué)院信息學(xué)院，湖南 婁底 417000；3.湘潭大學(xué)信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105）

1 引言

GPS 是一種可以實(shí)現(xiàn)測(cè)距和授時(shí)，并能提供全天候、實(shí)時(shí)、高精度位置、速度及時(shí)間信息的導(dǎo)航系統(tǒng)。自1978 年2 月22 日第一顆GPS 衛(wèi)星發(fā)射以來(lái)，歷經(jīng)40 年的發(fā)展，GPS 的用途早已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了最初的用途。目前，GPS 在精細(xì)農(nóng)業(yè)、環(huán)境監(jiān)測(cè)、交通運(yùn)輸、資源調(diào)查、災(zāi)害預(yù)報(bào)等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并對(duì)地球科學(xué)和大氣科學(xué)等相關(guān)學(xué)科的研究起到了極大推動(dòng)作用[1]。

不論是單點(diǎn)定位技術(shù)還是差分定位技術(shù)，目前大部分的應(yīng)用和研究都是基于所有觀測(cè)到的衛(wèi)星擁有同樣的觀測(cè)誤差，在估計(jì)接收機(jī)位置時(shí)每個(gè)衛(wèi)星觀測(cè)量都擁有一樣的權(quán)重，而實(shí)際情況下由于大氣環(huán)境的影響以及衛(wèi)星仰角的變化，不同衛(wèi)星觀測(cè)量的誤差是不一樣的[2]。在高精度差分定位領(lǐng)域，載波相位整周模糊度的解算是所有定位應(yīng)用的基礎(chǔ)，真實(shí)有效的載波相位觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型能夠提高整周模糊度的搜索成功率，對(duì)高精度定位的應(yīng)用具有重要意義。

GPS 的定位過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)由觀測(cè)量到參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)處理過(guò)程，通過(guò)建立功能模型獲得觀測(cè)量與待估計(jì)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)建立隨機(jī)誤差模型獲取觀測(cè)量的隨機(jī)誤差特性，并對(duì)估計(jì)結(jié)果做出評(píng)估，最終達(dá)到參數(shù)估計(jì)和精度評(píng)定的目的。Gauss 在 1792 年提出的最小二乘（LS,least-squares）方法因其計(jì)算方便、思路簡(jiǎn)潔，成為最為常用且最為重要的數(shù)據(jù)處理手段之一[3]。為提高LS 的可靠性并得到合理正確的觀測(cè)量權(quán)比，通常采用隨機(jī)誤差模型的后驗(yàn)估計(jì)，即方差分量估計(jì)（VCE,variance component estimation）為觀測(cè)量定權(quán)。Rao[4]在1971 年提出最小范數(shù)二次無(wú)偏估計(jì)（MINQUE,minimum norm quadratic unbiased estimator），該方法需要已知觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型的一階矩和二階矩。Koch[5]在1978 年提出最優(yōu)不變二次無(wú)偏估計(jì)（BIQUE,best invariant quadratic unbiased estimator），在正態(tài)分布的前提下該方法需要已知觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型的高階矩。Kubik[6]在1970 年提出極大似然估計(jì)（MLE,maximum likelihood estimator）。Koch[7]最早于1987 年使用貝葉斯 (Bayes)方法計(jì)算得到VCE 及其置信區(qū)間。Teunissen[8]在1988 年提出的最小二乘方差分量估計(jì)方法（LS-VCE,least-squares variance component estimation）是近年來(lái)受到廣泛研究和討論的方差分量估計(jì)方法。LS-VCE 對(duì)觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型分布不做要求，而是利用最小二乘原理對(duì)方差分量進(jìn)行估計(jì)，統(tǒng)一了功能模型和隨機(jī)誤差模型的估計(jì)準(zhǔn)則[9-11]，但LS-VCE 并沒(méi)有為方差分量估計(jì)提供一個(gè)完美的計(jì)算方法，且計(jì)算量很大。

對(duì)于功能模型，Teunissen[12-13]已經(jīng)建立了一套權(quán)威的定位理論，而隨機(jī)誤差模型尚未有可靠的理論方法。Wang 等[14]利用MINQUE 對(duì)3 種基本的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型進(jìn)行了估計(jì)，但并沒(méi)有考慮不同類型觀測(cè)量的方差及其相關(guān)性。Teunissen 等[15]對(duì)雙頻信號(hào)之間的相關(guān)性進(jìn)行了研究，Hartinger 等[16]建立了載波相位觀測(cè)量與載噪比之間的模型，Wang 等[17]對(duì)時(shí)間相關(guān)性進(jìn)行建模之后使用MINQUE 方法對(duì)隨機(jī)誤差模型進(jìn)行估計(jì)，并證明了更加真實(shí)的隨機(jī)誤差模型可以提高載波相位模糊度解算正確率。整周模糊度解算正確率取決于以下3 個(gè)因素[18]：1)觀測(cè)方程的強(qiáng)度，如功能模型；2)觀測(cè)量的噪聲特性，如隨機(jī)誤差模型；3)整周模糊度解算方法的選擇。

Amiri-Simkooei等[19-22]利用LS -VCE 估計(jì)了短基線時(shí)間序列的噪聲狀況，并同時(shí)考慮不同觀測(cè)量的方差、協(xié)方差、衛(wèi)星仰角相關(guān)性及觀測(cè)量之間的時(shí)間相關(guān)性，建立了基于幾何無(wú)關(guān)功能模型的隨機(jī)誤差模型。但在采用LS-VCE 算法對(duì)模型進(jìn)行求解時(shí)并沒(méi)有對(duì)LS-VCE 算法進(jìn)行優(yōu)化，工作量大。另外，Amiri-Simkooei 也沒(méi)有考慮接收機(jī)時(shí)鐘不同步引起的衛(wèi)星位置誤差對(duì)定位精度的影響。針對(duì)此問(wèn)題，本文主要研究決定整周模糊度解算正確率的第二個(gè)因素，建立一種更加真實(shí)的隨機(jī)誤差模型并應(yīng)用于整周模糊度的解算中，以驗(yàn)證模型的有效性。其貢獻(xiàn)主要包括：1)在幾何相關(guān)功能模型中引入誤差修正項(xiàng)，以消除或削弱接收機(jī)鐘差不同步引起的衛(wèi)星位置誤差；2)同時(shí)考慮不同觀測(cè)量類型、不同衛(wèi)星觀測(cè)量、衛(wèi)星仰角相關(guān)性及觀測(cè)量時(shí)間相關(guān)性，建立一種更加真實(shí)的隨機(jī)誤差模型；3)針對(duì)LS-VCE 算法計(jì)算量大的問(wèn)題，提出一種以空間換時(shí)間的改進(jìn)LS-VCE 算法并求解隨機(jī)誤差模型；4)采集2 組真實(shí)的GPS 數(shù)據(jù)對(duì)所提方法進(jìn)行性能評(píng)估；5)將本文所建立的隨機(jī)誤差模型應(yīng)用于整周模糊度解算中，并與3 種常用隨機(jī)誤差模型進(jìn)行比較，驗(yàn)證該模型的可靠性和有效性。

2 改進(jìn)的幾何相關(guān)功能模型

幾何相關(guān)功能模型是利用衛(wèi)星與接收機(jī)之間的幾何分布關(guān)系，對(duì)衛(wèi)星i到參考接收機(jī)r和用戶接收機(jī)u的距離差值做出近似。一般認(rèn)為這個(gè)距離差值是同一時(shí)刻對(duì)同一衛(wèi)星進(jìn)行觀測(cè)得到的，事實(shí)上由于2 個(gè)接收機(jī)的鐘差及衛(wèi)星到2 個(gè)接收機(jī)的傳輸延時(shí)不一致，即使2 個(gè)接收機(jī)給出了相同的歷元時(shí)刻，其所對(duì)應(yīng)的信號(hào)發(fā)送時(shí)刻也是不一樣的。換句話說(shuō)，2 個(gè)接收機(jī)在相同歷元時(shí)刻得到的觀測(cè)量分別對(duì)應(yīng)2 個(gè)不同的衛(wèi)星位置i(r)和i(u)，此情況下同時(shí)觀測(cè)衛(wèi)星i的接收機(jī)r和u的幾何分布如圖1 所示。

圖1 考慮不同接收機(jī)鐘差后的距離單差模型

由于衛(wèi)星和接收機(jī)之間的距離足夠遠(yuǎn)，可以認(rèn)為r到i(r)的向量和u到i(u)的向量平行。由i(r)和i(u)之間的位置差異引起的距離單差誤差，可用i(r)到i(u)的向量在r到i(r)向量的投影來(lái)近似表示。接收機(jī)r和u觀測(cè)同一衛(wèi)星i的單差可表示為

其中，bur為r指向u的基線向量，bi(ur)為i(r)指向i(u)的向量，為r到i(r)的單位向量。

同理，可計(jì)算接收機(jī)r和u觀測(cè)同一衛(wèi)星j的單差及同時(shí)觀測(cè)衛(wèi)星i和j的雙差。

若同時(shí)觀測(cè)m顆衛(wèi)星，并以第一顆衛(wèi)星為參考，可得改進(jìn)的偽距觀測(cè)量幾何相關(guān)模型為

式(3)對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)形式為

改進(jìn)的載波相位觀測(cè)量幾何相關(guān)模型為

式(5)對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)形式為

由式(4)和式(6)可知，改進(jìn)的幾何相關(guān)模型由于添加了誤差改正項(xiàng)，能有效消除由差分時(shí)刻不同步導(dǎo)致的衛(wèi)星位置誤差。

3 GPS 觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型

一個(gè)更加真實(shí)的隨機(jī)誤差模型應(yīng)該包括觀測(cè)量的方差、不同觀測(cè)量之間的協(xié)方差、衛(wèi)星仰角相關(guān)性及GPS 觀測(cè)量的時(shí)間相關(guān)性等多個(gè)因素。本節(jié)在同時(shí)考慮以上4 個(gè)因素的基礎(chǔ)上建立了一種更加真實(shí)的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型。由于第2 節(jié)已建立了幾何相關(guān)功能模型，對(duì)由衛(wèi)星信號(hào)發(fā)送時(shí)刻不同步引起的誤差進(jìn)行了消除，同時(shí)參考文獻(xiàn)[19-20]，進(jìn)行如下假設(shè)。

1)忽略同一接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)到的多個(gè)衛(wèi)星觀測(cè)量之間的相關(guān)性。

2)忽略接收機(jī)之間任意2 個(gè)衛(wèi)星觀測(cè)量之間的相關(guān)性。

3)用戶接收機(jī)和參考接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)的同一衛(wèi)星隨機(jī)誤差狀況相同。

這些假設(shè)不一定是觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型的真實(shí)情況，但簡(jiǎn)化模型中觀測(cè)量方差比協(xié)方差在加權(quán)最小二乘中起著更重要的作用，是隨機(jī)誤差模型的主要信息。因此，本文建立的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型忽略了協(xié)方差分量，保留了全部方差分量。此時(shí)GPS 觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型可表示為

其中，?表示克羅內(nèi)克積，矩陣C、T、E可分別表示為

若同時(shí)跟蹤載波信號(hào)L1和L2，則有4 種觀測(cè)類型，分別為偽距觀測(cè)量ρ1和ρ2、載波相位觀測(cè)量φ1和φ2。C為觀測(cè)類型協(xié)方差矩陣，主對(duì)角線和非主對(duì)角線元素分別表示GPS 觀測(cè)量的方差和協(xié)方差；T為觀測(cè)量的時(shí)間相關(guān)性協(xié)方差矩陣，主對(duì)角線元素表示每個(gè)歷元的自相關(guān)性，理論上取值為1；n為觀測(cè)歷元數(shù)；m階矩陣E是偽距雙差觀測(cè)量，表示與衛(wèi)星仰角相關(guān)的觀測(cè)量精度，以與仰角θ正弦成反比的函數(shù)建模[23]，即

其中，m為觀測(cè)的衛(wèi)星數(shù)量，并以第一顆衛(wèi)星作為參考衛(wèi)星；a、b為模型參數(shù)。

4 隨機(jī)誤差模型的求解

4.1 LS-VCE 估計(jì)

考慮如式(12)所示的線性觀測(cè)模型。

其中，E 表示隨機(jī)變量期望；D表示隨機(jī)變量協(xié)方差；y為m×1 的觀測(cè)量；A為m×n階觀測(cè)方程矩陣；x是n維待估計(jì)參數(shù)；觀測(cè)量協(xié)方差矩陣Qy可分解成一系列因子矩陣的線性組合；Q0表示協(xié)方差矩陣中的已知部分；Qk是構(gòu)成協(xié)方差矩陣的因子矩陣，為已知項(xiàng)，k=1,…,p；σk為待估計(jì)參數(shù)。

定義觀測(cè)量殘差如式(13)所示。

給定對(duì)稱正定權(quán)重矩陣W，根據(jù)加權(quán)最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則可得x的估計(jì)量為

殘差e的估計(jì)量為

記P⊥=I-A(ATWA)-1ATW，式(15)可簡(jiǎn)化為

同樣，根據(jù)加權(quán)最小二乘估計(jì)方法可得σk的估計(jì)量為

記N=ATWA，z=ATWy，則式(17)簡(jiǎn)化為

其中，N中第k行第l列元素為

向量z的第k個(gè)元素為

算法1基于觀測(cè)方程矩陣的LS-VCE 計(jì)算流程

輸入觀測(cè)方程矩陣A，觀測(cè)量y，因子矩陣Qk

初始化方差分量迭代初始值σk0,k=1,…,p，迭代控制誤差ε，迭代計(jì)數(shù)i=0

迭代過(guò)程在第i次循環(huán)中執(zhí)行步驟1)～步驟5)。

3)計(jì)算矩陣N和向量z；

5)i=i+1；當(dāng)＜ε時(shí)，迭代結(jié)束。

輸出最小二乘方差分量估計(jì)，協(xié)方差矩陣N-1。

注意到算法1 中步驟3)描述的N為對(duì)稱矩陣，只需求解下三角或者上三角元素。另外，在計(jì)算N和z的過(guò)程中頻繁使用。為此，本文提出了一種以空間換取時(shí)間的改進(jìn)LS-VCE 方法。

改進(jìn)的基于觀測(cè)方程矩陣的LS-VCE 計(jì)算流程如算法2 所示。

算法2改進(jìn)的基于觀測(cè)方程矩陣的LS-VCE計(jì)算流程

輸入觀測(cè)方程矩陣A，觀測(cè)量y，因子矩陣Qk

初始化方差分量迭代初始值σk0，k=1,…,p；迭代控制誤差ε；迭代計(jì)數(shù)i=0

迭代過(guò)程在第i次循環(huán)中執(zhí)行步驟1)～步驟6)。

輸出最小二乘方差分量估計(jì)，協(xié)方差矩陣N-1。

4.2 隨機(jī)誤差模型的迭代分步求解

采用改進(jìn)的LS-VCE 算法對(duì)隨機(jī)誤差模型進(jìn)行求解需要以下3 個(gè)步驟。

step1估計(jì)式(7)中的矩陣C。參考文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]中，忽略各觀測(cè)量的時(shí)間相關(guān)性和衛(wèi)星仰角相關(guān)性，取T為k階單位矩陣，E可簡(jiǎn)化為

矩陣C中未知的方差和協(xié)方差分量采用改進(jìn)的LS-VCE 算法進(jìn)行求解。

step2考慮GPS 衛(wèi)星仰角相關(guān)性，將step1 估計(jì)得到的矩陣C代入隨機(jī)誤差模型，T仍為k階單位矩陣，采用改進(jìn)的LS-VCE 算法求解矩陣E。

step3根據(jù)前兩步計(jì)算得到矩陣C和E，再利用改進(jìn)的LS-VCE 算法求解矩陣T?；诟倪M(jìn)的LS-VCE 算法的迭代分步求解流程如圖2 所示。

5 隨機(jī)誤差模型的性能評(píng)估

采用2 兩組實(shí)測(cè)GPS數(shù)據(jù)分別對(duì)幾何相關(guān)功能模型、改進(jìn)的LS-VCE 算法及隨機(jī)誤差模型進(jìn)行性能評(píng)估。第一組數(shù)據(jù)是2017 年8 月23 日07:00:00開始采集的，基線長(zhǎng)度為2.791 2 m 的2 臺(tái)接收機(jī)和芯星通 UR380 和 NetR9 的GPS 數(shù)據(jù)；第二組數(shù)據(jù)是2018 年1 月13 日00:00:00 開始采集的，基線長(zhǎng)度為0 的接收機(jī)Trimble BD970 的GPS 數(shù)據(jù)。每組數(shù)據(jù)持續(xù)24 h 同時(shí)跟蹤L1和L2載波信號(hào)，并同時(shí)獲得載波相位觀測(cè)量和偽距觀測(cè)量。

5.1 幾何相關(guān)功能模型性能評(píng)估

直接利用原始觀測(cè)量得到的接收機(jī)偽距和載波相位觀測(cè)量雙差值如圖3 所示，圖3(a)和圖3(c)分別為衛(wèi)星PRN14和PRN3載波相位雙差值和偽距雙差值，圖3(b)和圖3(d)分別為衛(wèi)星PRN14 和PRN32 載波相位雙差值和偽距雙差值。

由圖3 可知，載波相位觀測(cè)量精度較高，PRN14和PRN3 的雙差值在 ±0.4 m 內(nèi)波動(dòng)，PRN14 和PRN32 的雙差值在 ±0.3 m 內(nèi)波動(dòng)，受差分不同步誤差影響比較大。偽距觀測(cè)量精度較低，PRN14 和PRN3 的雙差值在 ±1.2 m 內(nèi)波動(dòng)，PRN14 和PRN32的雙差值在 ±0.9 m 內(nèi)波動(dòng)，雖然也受到差分不同步誤差的影響，但在1 ms 的接收機(jī)鐘差差異范圍內(nèi)，影響程度沒(méi)有載波相位觀測(cè)量顯著。

圖2 基于改進(jìn)的LS-VCE 算法的迭代求解流程

圖3 零基線GPS 數(shù)據(jù)在3 600 個(gè)歷元內(nèi)的觀測(cè)量雙差值

改進(jìn)的幾何相關(guān)功能模型首先估算由接收機(jī)鐘差不一致引起的差分不同步誤差，再用該差分不同步誤差校正偽距和載波相位觀測(cè)量的雙差值，校正后觀測(cè)量的雙差值如圖4 所示。

圖4 基于改進(jìn)幾何相關(guān)模型的零基線GPS 數(shù)據(jù)在3 600 個(gè)歷元內(nèi)的觀測(cè)量雙差值

由圖4 可知，改進(jìn)的幾何相關(guān)模型能較好地消除由差分不同步引起的誤差，得到了零基線載波相位雙差值應(yīng)有的零期望隨機(jī)噪聲結(jié)果，PRN14 和PRN3 及PRN14 和PRN32 的載波相位雙差值均在±4×10-3m 內(nèi)波動(dòng)，較矯正前精度提高了2 個(gè)數(shù)量級(jí)，偽距觀測(cè)量雙差值也同樣得到了校正，不過(guò)沒(méi)有高精度的載波相位觀測(cè)量得到的校正結(jié)果顯著。

5.2 改進(jìn)的LS-VCE 算法效率評(píng)估

采取以空間換時(shí)間的思想，通過(guò)減少矩陣乘法和求逆運(yùn)算對(duì)LS-VCE 算法進(jìn)行改進(jìn)。為驗(yàn)證算法的性能，在相同的計(jì)算平臺(tái)下對(duì)實(shí)驗(yàn)中2 組數(shù)據(jù)的500 個(gè)歷元分別采用改進(jìn)前后的LS-VCE 算法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，耗時(shí)情況如表1 所示。

表1 改進(jìn)前后LS-VCE 算法的耗時(shí)情況

由表1 可知，改進(jìn)后的LS-VCE 算法其計(jì)算效率提高了70%左右，即改進(jìn)的LS-VCE 算法在不改變精度和無(wú)偏性要求的基礎(chǔ)上大大提高了計(jì)算效率。

5.3 隨機(jī)誤差模型性能評(píng)估

根據(jù)式(7)所描述的隨機(jī)誤差模型，分別對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。零基線數(shù)據(jù)由于沒(méi)有外部誤差干擾，迭代結(jié)果與未迭代結(jié)果相差不大，因此這里主要對(duì)受外界干擾比較明顯的短基線數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以驗(yàn)證迭代分步求解方法在提高觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型參數(shù)估計(jì)精度上的有效性。

1)不同觀測(cè)量的方差估計(jì)。通過(guò)迭代分步求解得到的4 種類型觀測(cè)量的方差估計(jì)如表2 所示。

由表2 可知，零基線受外部環(huán)境誤差的影響小，各類型觀測(cè)量隨機(jī)誤差估計(jì)結(jié)果比短基線小且穩(wěn)定。迭代求解后，短基線和零基線各類型觀測(cè)量的方差估計(jì)更加準(zhǔn)確穩(wěn)定，偽距觀測(cè)量的隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差都達(dá)到亞米級(jí)，載波相位觀測(cè)量的隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到毫米級(jí)。

2)不同觀測(cè)量間的協(xié)方差估計(jì)。為更清楚地表述各觀測(cè)類型之間的相關(guān)關(guān)系，將協(xié)方差分量轉(zhuǎn)化為相關(guān)系數(shù)的形式，通過(guò)迭代分步求解法得到的協(xié)方差估計(jì)如表3 所示。

由表3 可知，L1和L2的相位觀測(cè)量存在較強(qiáng)的相關(guān)性，這是因?yàn)? 個(gè)載波相位觀測(cè)量精度與2 個(gè)偽距觀測(cè)量精度相差太大。在零基線情況下，除了2 個(gè)載波相位之間的相關(guān)性很高之外，其他各觀測(cè)類型之間都具有零均值的相關(guān)性。在短基線數(shù)據(jù)中，由于外部環(huán)境的干擾，觀測(cè)量精度降低，L1和L2所受的干擾也有差異，載波相位觀測(cè)量的相關(guān)性降低，同時(shí)，由于存在對(duì)各觀測(cè)類型一致的干擾，其他各觀測(cè)類型的相關(guān)性有所增長(zhǎng)，迭代后短基線數(shù)據(jù)中L1和L2的相位相關(guān)性明顯增強(qiáng)。

表2 迭代分步法得到的4 種觀測(cè)量方差估計(jì)

表3 迭代分步法得到的不同觀測(cè)量協(xié)方差估計(jì)

3)衛(wèi)星仰角相關(guān)性估計(jì)。根據(jù)PRN8、PRN10、PRN11 和PRN13 這4 顆衛(wèi)星觀測(cè)量方差隨衛(wèi)星仰角的變化情況，采用迭代分步法得到的短基線衛(wèi)星仰角相關(guān)誤差如圖5 所示。其中實(shí)線為全局?jǐn)M合結(jié)果，即選取歷元時(shí)段內(nèi)所有衛(wèi)星數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，虛線對(duì)應(yīng)衛(wèi)星在選取歷元時(shí)段內(nèi)的擬合結(jié)果。

由圖5 可知，高仰角情況下衛(wèi)星觀測(cè)量方差較小，隨著仰角減小，衛(wèi)星觀測(cè)量方差顯著增大。短基線由于受接收機(jī)外部環(huán)境誤差的干擾，衛(wèi)星觀測(cè)量方差有較大幅度的變化。迭代前后擬合出的各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仰角相關(guān)誤差模型參數(shù)如表4 所示。

由表4 可知，迭代前兩組數(shù)據(jù)的模型參數(shù)差異較大，迭代后其差異明顯減小。為進(jìn)一步評(píng)估迭代后各類型觀測(cè)量的方差估計(jì)，對(duì)短基線數(shù)據(jù)的載波相位與偽距標(biāo)準(zhǔn)差比值進(jìn)行分析。短基線數(shù)據(jù)中L1和L2的相位和偽距觀測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差比值如圖6 所示。

從圖6 中可以看出，迭代后各觀測(cè)類型相對(duì)保持穩(wěn)定，即迭代后的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型更符合對(duì)整個(gè)模型的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)。矩陣C從整體上反映各類型觀測(cè)量的方差和相關(guān)性，矩陣E反映各個(gè)衛(wèi)星觀測(cè)量的方差，迭代求解的過(guò)程使2 個(gè)矩陣能夠更好地分離，每個(gè)矩陣的結(jié)果都更加準(zhǔn)確。

4)觀測(cè)量時(shí)間相關(guān)性估計(jì)。取5 個(gè)連續(xù)歷元數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，根據(jù)改進(jìn)的LS-VCE 算法獲得C、E和T之后，采用迭代分步法得到的觀測(cè)量時(shí)間相關(guān)性如表5 所示。

圖5 采用迭代分步法得到的PRN8、PRN10、PRN11 和PRN13 這4 顆衛(wèi)星短基線數(shù)據(jù)仰角相關(guān)誤差

表4 迭代前后仰角相關(guān)誤差模型參數(shù)

圖6 短基線數(shù)據(jù)載波相位與偽距標(biāo)準(zhǔn)差的比值

由表5 可知，2 組數(shù)據(jù)的時(shí)間相關(guān)性都隨著時(shí)間間隔的增加而減小。迭代前零基線各歷元數(shù)據(jù)之間幾乎無(wú)關(guān)，從第二個(gè)歷元開始相關(guān)性就接近于0。而短基線各歷元數(shù)據(jù)由于多徑效應(yīng)等外界因素的影響，時(shí)間相關(guān)性在5 個(gè)歷元之后還保持在0.4 以上，迭代后各觀測(cè)量的時(shí)間相關(guān)性比迭代前高。

表5 迭代前后GPS 觀測(cè)量的時(shí)間相關(guān)性

6 隨機(jī)誤差模型在整周模糊度解算中的應(yīng)用

載波相位整周模糊度解算是高精度定位應(yīng)用中的一個(gè)重要問(wèn)題，在整周模糊度解算過(guò)程中，一般采用LAMBDA 算法搜索最小二乘整數(shù)解時(shí)需要得到浮點(diǎn)解協(xié)方差矩陣，而浮點(diǎn)解協(xié)方差矩陣是通過(guò)誤差傳播式由觀測(cè)量協(xié)方差矩陣獲得，因此觀測(cè)量的協(xié)方差矩陣，即觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型對(duì)整周模糊度的解算有很大影響。本節(jié)將研究分析不同觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型對(duì)載波相位整周模糊度解算的影響。

根據(jù)觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型的準(zhǔn)確度，在整周模糊度解算實(shí)驗(yàn)中將觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型分為4 種。

模型1不考慮隨機(jī)誤差，假設(shè)各觀測(cè)量具有相同的測(cè)量精度，觀測(cè)量協(xié)方差矩陣為單位陣，不考慮各觀測(cè)量之間的差異以及相關(guān)性。

模型2只考慮偽距觀測(cè)量和載波相位觀測(cè)量之間的差異，不考慮各觀測(cè)量之間的相關(guān)性及觀測(cè)量自身的差異和相關(guān)性。

模型3考慮不同觀測(cè)量之間的差異，觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型采用式(11)所示的擬合函數(shù)。

模型4本文所建立的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型，每5 個(gè)歷元為一個(gè)分組，假設(shè)2 個(gè)相鄰分組具有相同的隨機(jī)誤差模型，將前一分組的估計(jì)值作為后一分組中隨機(jī)誤差模型的初始值。

利用4 種隨機(jī)誤差模型對(duì)短基線和零基線24 h的衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行載波相位整周模糊度解算實(shí)驗(yàn)，所有實(shí)驗(yàn)均采用單頻單歷元模糊度解算方法，得到整周模糊度解算正確率情況如表6 所示。

由表6 可知，在完全不考慮觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型的情況下，整周模糊度解算的正確率很低，最高只有11.237%。將偽距和載波相位觀測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)值代入隨機(jī)誤差模型后，整周模糊度解算的正確率得到極大提升，最高達(dá)到99.785%，最低也有84.033%。再將觀測(cè)量衛(wèi)星仰角相關(guān)模型引入隨機(jī)誤差模型，對(duì)觀測(cè)量的估計(jì)更加準(zhǔn)確，整周模糊度解算正確率繼續(xù)提高，最高達(dá)到99.789%，最低也有87.428%。本文所建模型的解算正確率比前3 種都高，最高可達(dá)到99.847%，最低也有92.549%。另外，在解算L1時(shí)，模型 4 的成功率為 92.549%，略高于Amiri-Simkooei[18]的成功率92.500%，在解算L2時(shí)，模型4 的成功率為95.714%，與Amiri-Simkooei[18]的成功率95.200%相比，高出0.514%。

表6 2 組數(shù)據(jù)整周模糊度正確率情況

實(shí)際應(yīng)用常采用比例檢測(cè)法確認(rèn)整周模糊度，當(dāng)比值大于某一閾值時(shí)最優(yōu)整數(shù)解為正確解，否則為錯(cuò)誤解。短基線和零基線2 組數(shù)據(jù)在4 種模型下的整周模糊度解算誤報(bào)率和錯(cuò)檢率情況分別如圖7和圖8 所示。

圖7 4 種模型下L1、L2短基線數(shù)據(jù)整周模糊度解算誤報(bào)率和錯(cuò)檢率

圖8 4 種模型下L1、L2零基線數(shù)據(jù)整周模糊度解算誤報(bào)率和錯(cuò)檢率

由圖7 可知，模型4 的誤報(bào)率最低且差異很小，模型1 的誤報(bào)率明顯高于其他3 種模型，即隨機(jī)誤差模型越準(zhǔn)確，整周模糊度解算誤報(bào)率越小。4 種模型在錯(cuò)檢率方面的區(qū)別不大，由于模型4 的整周模糊度錯(cuò)誤數(shù)量比較少，L2頻率中的錯(cuò)檢率略高。由圖8 可知，對(duì)于零基線數(shù)據(jù)，模型1 的誤報(bào)率明顯高于其他3 種模型，模型4 仍保持較低的誤報(bào)率，在錯(cuò)檢率方面4 種模型沒(méi)有明顯的差異。

7 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際研究和應(yīng)用中，隨機(jī)誤差模型考慮的因素越細(xì)致，越能反映觀測(cè)量的真實(shí)誤差狀況。為此，本文研究了一種基于幾何相關(guān)功能模型的觀測(cè)量隨機(jī)誤差模型。首先，為消除或削弱接收機(jī)鐘差不同步引起的衛(wèi)星位置誤差，在幾何相關(guān)功能模型中引入誤差修正項(xiàng)對(duì)幾何相關(guān)功能模型進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的雙差觀測(cè)量精度提高了2 個(gè)數(shù)量級(jí)；其次，為降低LS-VCE 算法的計(jì)算量，提出一種以空間換時(shí)間的改進(jìn)的LS-VCE 算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的LS-VCE 算法相比，改進(jìn)后的LS-VCE 算法在求解短基線和零基線隨機(jī)誤差模型時(shí)，其耗時(shí)分別節(jié)省了69.8%和71.2%；最后，利用2 組真實(shí)的GPS數(shù)據(jù)對(duì)所建的隨機(jī)誤差模型進(jìn)行了性能評(píng)估，并采用該模型解算載波相位整周模糊度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在解算L1和L2時(shí)，該模型的成功率均高于Amiri-Simkooei 所提方法。