李文浩

(哈爾濱電機(jī)廠有限責(zé)任公司，黑龍江哈爾濱 150040)

0 引言

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力分析通常采用整體結(jié)構(gòu)有限元方法，可用于復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)分析，例如蒸汽輪機(jī)，飛機(jī)，車輛，船舶等整體結(jié)構(gòu)，但該方法計(jì)算規(guī)模大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，所使用的磁盤空間和計(jì)算機(jī)系統(tǒng)太大。在有限元方法用于更高頻率的振動(dòng)分析時(shí)，需要將結(jié)構(gòu)分為大量的單元，來(lái)得到詳細(xì)的應(yīng)力特性和位移。此時(shí)，模型里節(jié)點(diǎn)有數(shù)十萬(wàn)或是數(shù)百萬(wàn)個(gè)自由度，要直接解析這么大的結(jié)構(gòu)模型是非常困難的[1]。即使可以進(jìn)行分析，也需要花費(fèi)大量時(shí)間并且效率極低。

模態(tài)綜合方法是一種降低產(chǎn)生自由度的方法。此方法能夠使大型模型簡(jiǎn)化變小，首先對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)解析，再完成模態(tài)綜合。因?yàn)橹挥昧嗣總€(gè)子結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)，因此，大幅降低了整體模型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力模型的自由度。并且，還能在不同機(jī)器上模態(tài)分析每個(gè)子結(jié)構(gòu)，從而提升計(jì)算的速率[2]。

本文將著重論述常用于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)綜合方法。

1 模態(tài)綜合法的基本思想理論和步驟

1.1 基本思想和理論

此方法的基本原理是根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，將一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)子結(jié)構(gòu)。再使用離散化方法對(duì)各個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行多個(gè)力學(xué)解析。基于每個(gè)子結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)，完成坐標(biāo)變換和子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分組。只需將每個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)分組到整體結(jié)構(gòu)坐標(biāo)中，由子結(jié)構(gòu)連接條件，執(zhí)行第二坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，從而清除非獨(dú)立坐標(biāo)，獲得表示整個(gè)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。這樣，組集得到的模型的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)量大大降低[2]。從而能得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力方程，此方程以獨(dú)立的模態(tài)坐標(biāo)表述。通過(guò)這種方式，求解低階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程要容易得多[3]。由于大大降低了自由度，機(jī)器時(shí)間和存儲(chǔ)器顯著減少，傳遞矩陣法所需的機(jī)器時(shí)間較少，計(jì)算精度也非常令人滿意。

子結(jié)構(gòu)方法中最常用和最成熟的就是模態(tài)綜合法，Raylei-Ritz方法，是動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。

1.2 模態(tài)綜合法的基本步驟

模態(tài)綜合法包括以下兩個(gè)步驟[3]：

(1)基于每個(gè)子結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)，完成坐標(biāo)變換和子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分組。

(2)由子結(jié)構(gòu)連接條件，執(zhí)行第二坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，從而清除非獨(dú)立坐標(biāo)，獲得表示整個(gè)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。

模態(tài)綜合方法遵循有限元方法，首先分析每個(gè)局部子結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)某種方法進(jìn)行整體分析。通過(guò)每個(gè)子結(jié)構(gòu)模態(tài)解析，獲得一個(gè)“假設(shè)模態(tài)”，此“假設(shè)模態(tài)”可以根據(jù)一定的原則很好地表述整個(gè)模型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)[4]，然后使用假設(shè)模態(tài)分析法解析整個(gè)模型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

假設(shè)某個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)阻尼自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)，將原始的結(jié)構(gòu)化為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)α和β，各個(gè)子結(jié)構(gòu)自由度包括界面自由度與內(nèi)部自由度[5]。兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的自由度，以矢量形式表述的物理坐標(biāo)為

(1)

由力的對(duì)接條件和界面連續(xù)性條件，得

(2)

在簡(jiǎn)單疊加之后，獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)能為

(3)

系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(4)

其中，[mα]、[mβ]和[kα]、[kβ]是質(zhì)量矩陣與剛度矩陣，分別對(duì)應(yīng)于α和β子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo){uα}和{uβ}。解析每個(gè)子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特征，選擇合適的分支模態(tài)形成模態(tài)矩陣[φα]與[φβ]，并對(duì)β和α子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換可得

{uα}=[φα]{pα}

(5)

{uβ}=[φβ]{pβ}

(6)

其中，{pα}和{pβ}分別是兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)。子結(jié)構(gòu)的自由度遠(yuǎn)大于分支模態(tài)數(shù)量。等式(5)和(6)通常被稱為第一坐標(biāo)變換，將等式(5)和(6)代入等式(3)和(4)，由分支模態(tài)坐標(biāo)表述的系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能即為

(7)

(8)

其中

[mα]=[φα]T[mα][φα]，
[mβ]=[φβ]T[mβ][φβ]

(9)

[kα]=[φα]T[kα][φα]，[kβ]=[φβ]T[kβ][φβ]

(10)

(11)

顯然，因?yàn)榇嬖诘仁?2)表示的條件約束，系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)中，不是所有坐標(biāo)都是獨(dú)立的，因此由等式(7)、(8)表述的系統(tǒng)勢(shì)能和動(dòng)能表達(dá)式代入第二類拉格朗日方程，以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程[6]。僅在{p}去除了獨(dú)立模態(tài)坐標(biāo)時(shí)，才可以代入第二類拉格朗日方程中。

可以從每個(gè)分支的模態(tài)坐標(biāo)變換方程(5)和(6)獲得。

(12)

(13)

由此可得

(14)

(15)

由界面位移連續(xù)條件(2)式，可得

或?qū)憺?/p>

(16)

簡(jiǎn)記為

[C]{p}={0}

(17)

(18)

所以，等式(17)也可表述為

(19)

即得

{pd}=-[Cdd]-1[CdI]{pI}

(20)

所以有

(21)

[S]是獨(dú)立坐標(biāo)變換矩陣

(22)

上述公式(21)是第二坐標(biāo)變換。所以獨(dú)立廣義坐標(biāo){q}={pI}可用于表述該結(jié)構(gòu)的勢(shì)能和動(dòng)能

(23)

(24)

其中

[M]=[S]T[m][S]

(25)

[K]=[S]T[k][S]

(26)

因此，獲得了無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程

(27)

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)廣義特征值可表示如下

([K]-ω2[M]){A}={0}

(28)

這是綜合每個(gè)子結(jié)構(gòu)得到的新方程。等式階數(shù)與每個(gè)分支結(jié)構(gòu)模態(tài)的總和數(shù)減掉子結(jié)構(gòu)連接坐標(biāo)的數(shù)量相等。

普通的動(dòng)力學(xué)方程，同樣能夠獲得具有減小的自由度的等式方程

(29)

式中，由等式(27)得出[M]，[K]，其中[C]與{F(t)}可表示為

[C]=[S]T[c][S]
{F(t)}=[S]T{p}

(30)

為了描述空間結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，即其運(yùn)動(dòng)和變形狀態(tài)，通常使用兩種類型的廣義坐標(biāo)：“物理坐標(biāo)”和“模態(tài)坐標(biāo)”。描述結(jié)構(gòu)中每個(gè)點(diǎn)的幾何位置坐標(biāo)為物理坐標(biāo)，是表述每個(gè)模態(tài)組件大小的坐標(biāo)為模態(tài)坐標(biāo)。這里使用術(shù)語(yǔ)“模態(tài)”而不是“振動(dòng)類型”，因?yàn)椤罢駝?dòng)類型”是結(jié)構(gòu)的變形形式作為主要振動(dòng)?！澳B(tài)”的概念是模式概念的概括，它不僅包含結(jié)構(gòu)主振動(dòng)的變形形式，它還包括由某些特定外力或關(guān)節(jié)位移產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形形式。

轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模態(tài)綜合方法的基本思路和步驟基本相同，只是如何劃分子系統(tǒng)，如何選擇子系統(tǒng)的Ritz基礎(chǔ)，如何處理綜合中對(duì)接條件的發(fā)展，高效的模態(tài)綜合技術(shù)是用很少的Ritz基來(lái)實(shí)現(xiàn)令人滿意的精確度。子結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，已發(fā)展出Ritz基選取的各種辦法，如：約束子系統(tǒng)方法，自由子系統(tǒng)方法，組件假設(shè)形式方法。

2 總結(jié)

模態(tài)綜合法有許多優(yōu)點(diǎn)：

(1)顯著節(jié)省計(jì)算機(jī)計(jì)算資源和時(shí)間，從而提升計(jì)算效率。

(2)此方法為子結(jié)構(gòu)技術(shù)，能夠計(jì)算超大的模型，同時(shí)，計(jì)算精度高。

(3)能夠靈活的修改大系統(tǒng)中子系統(tǒng)設(shè)計(jì)。如果修改了子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，則只需要重新計(jì)算修改后的子系統(tǒng)，再收集每個(gè)子系統(tǒng)。此過(guò)程中，不需要重新計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)，降低了計(jì)算的時(shí)間。

因此，對(duì)于復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)，如：水輪機(jī)轉(zhuǎn)子、船舶、汽車、飛機(jī)等結(jié)構(gòu)，利用模態(tài)綜合法分析結(jié)構(gòu)，能夠更好地解決計(jì)算速率和精度問(wèn)題。