黃麗蓮，項建弘，王霖郁，國 強，張伊喬

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在自然界的大多數(shù)情況下，非線性現(xiàn)象的作用不可忽視[1-3]. 1963年，空氣動力學(xué)中的混沌現(xiàn)象首先被美國氣象學(xué)家Lorenz在分析天氣預(yù)報模型時發(fā)現(xiàn)，且僅能用非線性動力學(xué)來解釋該現(xiàn)象[4]. 由于非線性系統(tǒng)的本質(zhì)，混沌通常相應(yīng)于不規(guī)則或非周期性[5-8]. 理解和研究非線性混沌現(xiàn)象本質(zhì)的途徑之一是觀察非線性電路的混沌現(xiàn)象[9-12]. 綜合大學(xué)普通物理實驗教學(xué)大綱中加入非線性電路實驗，該實驗在理工科院校開設(shè)的基礎(chǔ)物理實驗中倍受學(xué)生歡迎. 本文采用變形蔡氏混沌電路觀察混沌現(xiàn)象，學(xué)生在理解混沌的演化過程的同時也能夠更好地了解混沌的相關(guān)特性.

1 基本原理

1.1 變形蔡氏混沌電路

變形蔡氏混沌電路可以用三階非線性自治方程來描述. 實驗電路如圖1所示,主要由3部分組成：振蕩器、RV1+RV2和C2組成的移相器以及有源非線性負(fù)阻元件. 其中R1是三段分段線性元件.

圖1 非線性電路原理圖

圖1所示電路原理的非線性動力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

1.2 實現(xiàn)有源非線性負(fù)阻元件

在眾多能夠?qū)崿F(xiàn)有源非線性負(fù)阻元件的方案中選用較簡單的雙運放TL082及6個配置電阻. 其電路原理及其伏安特性曲線如圖2～3所示.

圖2 非線性負(fù)阻電路圖

圖3 伏安特性曲線

LC1振蕩器保持不斷振蕩主要靠實現(xiàn)負(fù)阻所輸出電流，而使振蕩周期出現(xiàn)分岔和混沌等現(xiàn)象的則是非線性負(fù)阻元件.

2 實驗儀的硬件電路

蔡氏電路的硬件原理圖如圖4所示.

實驗儀面板如圖5所示. 首先并聯(lián)C1與L，其次連接移相器、振蕩器、負(fù)阻元件等；連接雙蹤示波器CH2通道(即Y軸輸入)與面板的CH2、雙蹤示波器CH1通道(即X軸輸入)與面板的CH1(對X和Y輸入進行交換，所示圖形將會相差90°)；調(diào)節(jié)示波器相應(yīng)旋鈕使其工作在Y-X狀態(tài)，即示波器的水平方向指CH1輸入，示波器的垂直方向指CH2輸入，同時置X和Y輸入為DC. 實驗時CH2輸入和CH1輸入可工作在DC狀態(tài)或AC狀態(tài). 為了使示波器顯示大小適度、穩(wěn)定的圖像，實驗過程中對示波器和掃描速率及電平、輸入增益V/波段開關(guān)等進行適當(dāng)調(diào)節(jié). 連接有源非線性負(fù)阻與供電單元的±15 V，將電源開關(guān)打開同時TL082加電.

圖4 非線性混沌電路圖

圖5 實驗儀面板圖

3 實驗方法

3.1 實驗內(nèi)容

1)選用RLC串聯(lián)諧振電路，觀察并測量通過不同電流時儀器供應(yīng)的鐵氧體介質(zhì)電感器的電感量，并對電感量產(chǎn)生變化的原因做出解釋.

2)選用示波器觀測LC振蕩器的波形和經(jīng)過RC移相后的波形.

3)選用雙蹤示波器觀測2)中的波形組成的相圖.

4)在RC移相器中，調(diào)整可調(diào)電阻R的值，同時觀測相圖周期變化. 觀察倍周期分岔、陣發(fā)混沌、3P周期、單吸引子(周期混沌)和雙吸引子(周期混沌)相圖.

5)測量有源非線性負(fù)阻元件(包含TL082雙運放和6個電阻)的伏安特性，聯(lián)系非線性電路的動力學(xué)方程，解釋混沌產(chǎn)生的原因.

3.2 觀察混沌現(xiàn)象

1)將細(xì)調(diào)電位器W2左旋至底. 對粗調(diào)電位器W1適當(dāng)左旋或右旋直至示波器出現(xiàn)如圖6所示的略斜向的橢圓.

2)將細(xì)調(diào)電位器W2右旋少許直至示波器出現(xiàn)如圖7所示的2P周期分岔.

3)再將W2右旋少許直至示波器出現(xiàn)如圖8所示的3P周期分岔，這就意味著混沌狀態(tài).

4)再將W2右旋少許直至示波器出現(xiàn)如圖9所示的4P周期分岔.

5)再將W2右旋少許直至示波器出現(xiàn)如圖10和11所示的吸引子(混沌)現(xiàn)象.

6)觀測示波器的同時適當(dāng)調(diào)節(jié)示波器相應(yīng)的旋鈕，觀測X軸和Y軸輸入在不同狀態(tài)下的相位、幅度和跳變狀態(tài).

7)結(jié)束實驗，斷開電源.

圖6 1P周期軌道

圖7 2P周期軌道

圖8 3P周期軌道

圖9 4P周期軌道

圖10 單混沌吸引子

圖11 雙混沌吸引子

3.3 測量有源非線性電阻的伏安特性

如圖12所示，用伏安表測量非線性元件R兩端的電壓，用安培計測量流過非線性元件的電流. 由于使用了有源非線性電阻，因而回路中一直存在電流. G為調(diào)節(jié)非線性元件輸出的電阻箱，可以用來提供非常精確的電阻，特別是電阻值的微調(diào)，使得輸出電流可以微小改變.

圖12 非線性負(fù)阻測量原理圖

V<0時，觀察非線性負(fù)阻元件的伏安特性的步驟：

1)連接非線性負(fù)阻接地端、電阻箱置0端、數(shù)字電壓表“-”端.

2)連接非線性負(fù)阻另一端、電阻箱最大阻值端、數(shù)字電壓表“+”端.

3)連接非線性負(fù)阻與供電單元的±15 V并開通數(shù)字表，這時接通電壓表數(shù)碼管亮.

4)將電阻箱電阻調(diào)節(jié)至最大99 999.9 Ω，然后從大到小進行調(diào)節(jié)，觀察電阻箱和數(shù)字電壓表的對應(yīng)讀數(shù)并記錄(電流等于電壓表讀數(shù)除以電阻箱阻值，因而實驗沒有使用安培計). 有源非線性電路的非線性負(fù)阻特性曲線可以由電壓-電流關(guān)系得到(V-I關(guān)系圖). 經(jīng)理論計算，V>0時非線性負(fù)值元件的伏安特性與V<0時的伏安特性曲線關(guān)于原點成180°對稱.

5)結(jié)束實驗，斷開電源.

根據(jù)測得的實驗數(shù)據(jù)，繪制非線性負(fù)阻的伏安特性如圖13所示. 由圖13可以看到，實驗測得非線性電阻的伏安特性與理論值一致.

圖13 非線性負(fù)阻的伏安特性

3.4 測量鐵氧體電感器的電感

L由漆包銅線手工纏繞，可在φ11.6 mm工字型鐵氧體磁芯上纏繞675圈左右，為了確保兩端點導(dǎo)電的良好性能，利用工具刮去引出漆包線端點上的絕緣漆.

利用串聯(lián)電路的諧振法測量電感器的電感量. 由理論可知，諧振頻率

(4)

則

(5)

按圖14連接電路，外接信號發(fā)生器，當(dāng)LC電路中串聯(lián)諧振時，流過電路的電流最大.

圖14 鐵氧體電感器的電感測量原理圖

調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的頻率，直至示波器顯示出最大幅度(達到串聯(lián)諧振)；調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的幅度，直至流經(jīng)變阻器的電流達到5 mA，此時正弦信號峰值為5 mA×10 Ω=50 mV；反復(fù)調(diào)整信號發(fā)生器的幅度和頻率，直至示波器所顯示幅度達到最大50 mV，由式(5)代入已測的電容C1和諧振頻率f0，即可得出電感量.

調(diào)節(jié)信號發(fā)生器輸出的振幅，并改變輸出頻率，直至電路達到諧振為止，記錄示波器顯示幅度為最大時的諧振頻率，電流振幅與相應(yīng)的電感量通過示波器所顯示的電壓峰值計算得到，記錄測定的電流和電感值.

鐵氧體電感器的電感量隨流過電感器的電流而變化的原因是由于制作線圈時使用了磁芯，因而線圈的電感對電流的變化非常明顯. 在一定范圍內(nèi)，電感與振蕩的頻率成正比，與振蕩的振幅成正比.

4 結(jié)束語

采用變形蔡氏混沌電路，觀察混沌現(xiàn)象，掌握非線性混沌現(xiàn)象的本質(zhì). 使用有源非線性負(fù)阻元件是為了讓振動周期能夠出現(xiàn)分岔和混沌等現(xiàn)象. 用雙蹤示波器對蔡氏電路的2個波形組成的相圖進行觀察，在RC移相器中，通過不斷調(diào)整可調(diào)電阻R的值，可以依次觀測到1P周期、2P周期分岔、3P周期分岔(意味著混沌)、4P周期分岔、單吸引子(周期混沌)和雙吸引子(周期混沌)的相圖. 研究蔡氏電路的理論，可以很容易理解混沌的分岔過程和混沌的基本特性，觀察到混沌現(xiàn)象的分岔演化過程.