王心華，盧博文，潘曉軍，劉 斌，高秀平

(蘭州大學(xué) a.物理學(xué)國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心；b.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

泡泡的形成在生活中非常常見，形成的液體泡泡對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)將會產(chǎn)生一定的影響. 目前國內(nèi)外學(xué)者對于泡泡如何形成的理論及應(yīng)用進(jìn)行了一定的研究[1-3]. 本文在此基礎(chǔ)上，對泡泡的形成過程進(jìn)行了初步的理論探究，并發(fā)現(xiàn)其和實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合較好，說明理論對該現(xiàn)象可以進(jìn)行很好的解釋，其研究結(jié)果對泡泡形成的認(rèn)識具有一定的指導(dǎo)價值.

1 實(shí) 驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

為了研究泡泡的形成過程，了解噴嘴噴出的氣流作用在肥皂膜上的物理機(jī)制，搭建了如圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置. 實(shí)驗(yàn)使用40 L的高壓氮?dú)夂透邏簹鍤庾鳛闅庠?，以此控制氣體流速恒定，并通過減壓閥的旋鈕開關(guān)控制流速的大?。皇褂肞U導(dǎo)氣管，中間接入MF5712-200型流量計用來測量瞬時流量；用透明膠固定管子，保證管子盡量排列在一條直線上，以減小因管子彎曲而產(chǎn)生額外湍流，并且保證噴口水平；使用3D打印機(jī)打印需要尺寸的泡泡環(huán)，并將制作好的泡泡環(huán)固定在架子上，泡泡環(huán)和噴口之間的距離可以調(diào)節(jié)，如圖2所示；拍照和攝像分別使用單反相機(jī)和高速攝像機(jī)；購買市面上常見的泡泡液作為實(shí)驗(yàn)原料.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置的整體圖

圖2 泡泡環(huán)的放置裝置

1.2 實(shí)驗(yàn)參量

在實(shí)驗(yàn)中，控制流速v在0～60 m/s可調(diào)，使用毛細(xì)管法測量肥皂液的表面張力系數(shù)[4-5],其數(shù)值γ為2.78 ×10-2N/m，使用密度計測量泡泡液的密度ρ為1.005 g/cm3，氮?dú)獾拿芏圈袾2和氬氣的密度ρAr分別為1.25 g/L和1.78 g/L.

1.3 預(yù)實(shí)驗(yàn)

為了探究流速和泡泡膜間的關(guān)系，使用直徑為8 mm的PU管，制作內(nèi)徑為6.67 cm、外徑為10.00 cm的泡泡環(huán)進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)中，通過控制減壓閥讓流量從小開始不斷增大，拍攝到如圖3～4所示的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

圖3 當(dāng)流速不斷增大時“坑”的演化

圖4 速度大于閾值時吹出泡泡的情景

分析圖3可以得出，向泡泡膜通氣時，如果控制流速在一定范圍內(nèi)時，膜會逐漸向外突出，形成一個類似于“坑”的結(jié)構(gòu)，靠近泡泡環(huán)的地方是一個寬度基本均勻的圓柱體，最外側(cè)為一曲面，若流速不變，“坑”只會輕微抖動，直到厚度小于臨界厚度后破裂[6]. 隨著流速的不斷增加，圓柱體的長度不斷增加，寬度也隨著增加，最外側(cè)曲面的曲率半徑減小. 當(dāng)流速達(dá)到某一閾值vc時，“坑”將不再變化，而當(dāng)流速大于閾值vc時，“坑”的末端將從某點(diǎn)處收縮，然后斷裂形成一個泡泡，之后重復(fù)這一斷裂過程，如圖4所示. 為了研究閾值與具體相關(guān)物理參量間的關(guān)系，建立了簡單的模型.

2 理論模型及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 噴嘴靠近泡泡環(huán)，即x=0的情況

先考慮包含的情況，即R(x)≤b/2，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，速度達(dá)到閾值時，產(chǎn)生的泡泡的曲率半徑κ-1和R0近乎相等，所以此時的受力平衡方程為

(1)

從此推導(dǎo)出速度的閾值表達(dá)式為

(2)

而對于不包含的情況，即R(x)>b/2，Salkin L進(jìn)行了比較詳細(xì)的研究[10]，他的研究工作表明：由于泡泡環(huán)的限制，當(dāng)氣體流速達(dá)到閾值時泡泡的曲率半徑不再由半徑?jīng)Q定，而是由泡泡環(huán)的寬度決定，泡泡環(huán)的寬度限制了泡泡的增大，即流速達(dá)到閾值時，κ-1=b/2，這時流速閾值為

(3)

2.2 噴嘴遠(yuǎn)離泡泡環(huán)，即x>0的情況

當(dāng)噴嘴離泡泡環(huán)有一定距離時，噴嘴噴出的氣流在到達(dá)泡泡環(huán)的途中會進(jìn)行一定的演化，這是一個射流問題[11]. 如圖5所示，噴出的氣體成一圓錐形，張角為θ，因此，在噴嘴離泡泡環(huán)為x處的射流半徑可修正為

(4)

圖5 射流示意圖

由射流問題可知在x處時，射流速度的分布沿著徑向?yàn)楦咚狗植糩12-13]. 為了驗(yàn)證這個分布，使用AR-866A熱線風(fēng)速儀測量風(fēng)速的空間分布，得到了在x處沿徑向各個r處的風(fēng)速值，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin并用高斯函數(shù)進(jìn)行非線性擬合，如圖6所示.

圖6 徑向氣流分布圖

從圖6中得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.977 49，擬合程度很高，所以氣流速度在徑向上確實(shí)是高斯分布，故氣體流速為

(5)

已知高斯分布下總面積的95%對應(yīng)于寬度4σ(x). 假設(shè)該寬度等于x處的射流直徑，即4σ(x)=2R(x)，則由式(4)得出標(biāo)準(zhǔn)偏差是距離x的線性函數(shù)為

(6)

(7)

由式(7)可以推導(dǎo)出

R(x)vmax(x)/2=R0vg，

(8)

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)流速不同，θ值不同，考慮這是由于速度不同時雷諾數(shù)不同所導(dǎo)致的，當(dāng)?shù)退贂r流體可近似看成層流，θ很?。欢?dāng)流速過高時流體應(yīng)為湍流，有著很大的θ，如圖7所示.

圖7 不同流速時的張角

取氮?dú)庾鳛闅庠?，不斷增加氣體的流速，并且測量氣體在不同流速時的張角大小，發(fā)現(xiàn)正如推測的那樣，存在流體狀態(tài)的轉(zhuǎn)變[15]. 當(dāng)氣體流速小于33 m/s時，θ的值較小，且在小范圍內(nèi)波動，使用平行于x軸的直線對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到此時射流的張角θ=0.76°；當(dāng)氣流速度大于50 m/s時，射流角度不再增加，同樣擬合得射流的張角θ=22.92°；而對于速度在33～50 m/s之間的氣流，可以認(rèn)為氣流處于由層流向湍流轉(zhuǎn)化的過渡流狀態(tài)，此時近似認(rèn)為θ為vg的線性函數(shù)，即

θ=1.303 5vg-42.255

.

(9)

圖8反映張角θ隨著流速的變化，可以看出對應(yīng)于流體的3種狀態(tài)分別為層流、湍流和過渡流. 從數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果來看，過渡流時取得的數(shù)據(jù)點(diǎn)接近直線的變化趨勢，可見過渡流時確實(shí)符合這一變化趨勢.

圖8 射流與張角θ的關(guān)系

通過對以上結(jié)論的分析得知，影響閾值大小的因素是多方面的，接下來對3種不同的情況進(jìn)行了研究.

層流情況：層流時，開口角度為0.76°，在本實(shí)驗(yàn)中氣體速度低于33 m/s. 在泡泡膜形成處射流半徑可寫作R(x)=R0+xtan (0.76°/2) ,帶入式(8)，可得閾值的表達(dá)式為

(10)

湍流情況：湍流時，開口角度為22.92°，在本實(shí)驗(yàn)中氣體速度大于50 m/s. 在泡泡膜形成處的射流半徑可寫作R(x)=R0+xtan (22.92°/2) , 帶入式(8)，可得閾值的表達(dá)式為

(11)

過渡流情況：過渡流時，開口角度在0.76°～22.92°之間，在本實(shí)驗(yàn)中將氣體速度控制在33～50 m/s之間. 在泡泡膜形成處的射流半徑可寫作R(x)=R0+xtan [(1.303 5vg-42.255)/2],帶入式(8)，可得閾值的表達(dá)式為

(12)

針對噴嘴遠(yuǎn)離泡泡環(huán)時為什么會有3個速度值的問題，做進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，所觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象如圖9所示.

圖9 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

通過對圖9所觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析得知，泡泡的形成比較復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)過程. 當(dāng)泡泡環(huán)與噴嘴有一定距離時，假如氣流的速度小于v1時，不會形成泡泡，v1是第一個速度的閾值；當(dāng)繼續(xù)加大氣流的流速，將吹出很多小泡泡，如果進(jìn)一步增大流速時，突然發(fā)現(xiàn)泡泡不再形成，膜又變成了一個“深坑”，但是這個“深坑”與之前的有所不一樣，這個深坑比當(dāng)速度小于v1時形成的坑大得多，而不行成泡泡的最小值正好符合第3種情況時的閾值v3；當(dāng)進(jìn)一步增大流速，可以發(fā)現(xiàn)到某一值之后，又可以吹出泡泡了，只不過此時吹出的泡泡比之前的都要大很多，此時對應(yīng)的能吹出泡泡的閾值和湍流情況時預(yù)測的閾值v2相對應(yīng).

至此，發(fā)現(xiàn)了一個奇妙的情況，對于吹泡泡，當(dāng)噴口與泡泡環(huán)有一定距離后其實(shí)有3個閾值，而其中2個閾值分別對應(yīng)于2種大小的泡泡. 將3個速度的閾值函數(shù)畫出圖像，如圖10所示.

圖10 能產(chǎn)生不同泡泡的區(qū)域

3 結(jié) 論

通過理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，肥皂泡的形成是氣體射流的慣性力與肥皂膜表面張力之間的競爭，并且氣體射流在外界環(huán)境中的空氣動力學(xué)形態(tài)對肥皂泡的產(chǎn)生具有顯著影響. 當(dāng)噴嘴與肥皂膜間距離較大時，讓肥皂泡產(chǎn)生的氣體速度范圍有2個，小氣泡會產(chǎn)生在小的氣體流速范圍(v1,v3)內(nèi)，當(dāng)氣體流速高于v2時會產(chǎn)生大氣泡. 小氣泡速度閾值v1與雷諾數(shù)較低的層流氣體射流相關(guān)，大氣泡速度閾值v2與雷諾數(shù)較大的湍流氣體射流相關(guān). 從層流到湍流過渡的速度范圍不會產(chǎn)生氣泡. 當(dāng)噴嘴與膜間的距離很小(在實(shí)驗(yàn)中小于0.9 mm)時，氣體流動類型對氣泡生成過程的影響很小，并且一旦氣體速度高于最小的閾值v1時就會產(chǎn)生氣泡.