（浙江省杭州市春蕾中學(xué)）

筆者曾有幸參與浙江省杭州市（區(qū)）九年級(jí)中考模擬試卷的命制工作，頗有感觸.現(xiàn)以其中的一道試題為例，談?wù)勅绾螌⒔滩睦}改編成試題.

一、背景分析

1.根據(jù)考點(diǎn)尋找例題

根據(jù)試卷雙向細(xì)目表安排，試卷第10題為選擇題，涉及的知識(shí)點(diǎn)是平行線、角平分線、平移等，考查學(xué)生對(duì)平行線和角平分線等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.根據(jù)試題立意，命題組選擇浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級(jí)下冊(cè)“1.3平行線的判定”（第2課時(shí)）中的例4作為題源開展研究.例4內(nèi)容如下.

題源如圖1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2=90°.判斷AB，CD是否平行，并說明理由.

圖1

該題涉及的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系有∠1+∠2=90°，∠BAC+∠ACD=180°，∠1+∠2=∠P，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD等.

該中考模擬卷第10題要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和學(xué)以致用的能力，顯然在考查知識(shí)點(diǎn)的深度和廣度上還需要進(jìn)一步探索.經(jīng)過分析，命題組決定借助圖形中多樣的角度關(guān)系，在角度、角度的比值之間進(jìn)行深入研究，期待找到命題的生長點(diǎn).

2.根據(jù)學(xué)情助力思維

在第三學(xué)段中，從七年級(jí)下冊(cè)開始，教材中頻繁出現(xiàn)類似于題源的題目，這些題目有三個(gè)共同點(diǎn)：平行線，一對(duì)同旁內(nèi)角的平分線，90°角.教材八年級(jí)上冊(cè)“1.3證明”（第1課時(shí)）的例2是題源的逆命題；八年級(jí)上冊(cè)“2.6直角三角形”（第2課時(shí)）作業(yè)題A組第3題是在題源的基礎(chǔ)上，通過延長AP，CP得到三個(gè)直角三角形；八年級(jí)下冊(cè)“4.2平行四邊形及其性質(zhì)”（第2課時(shí)）作業(yè)題B組第5題是將三個(gè)共同點(diǎn)放置于平行四邊形背景中.從七年級(jí)下冊(cè)開始出現(xiàn)，到八年級(jí)上冊(cè)，再到八年級(jí)下冊(cè)，從平行線到三角形再到四邊形，題源為學(xué)生積累了豐富的知識(shí)基礎(chǔ)和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

無論是背景的置換，還是新元素的加入，在不斷變化和發(fā)展中的題源，漸漸從特例演變成模型，其數(shù)學(xué)本質(zhì)愈發(fā)凸顯.命題者若能深入剖析題源，進(jìn)而得到一般性的規(guī)律，再從規(guī)律中引出更多的特例，這樣的命題是將例題一般化和特殊化相結(jié)合，在幫助學(xué)生繼續(xù)深化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，連接了特殊化和一般化的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展了思維能力.

二、命題過程

1.題源一般化

如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接AP，PC，AC，點(diǎn)P在AC右側(cè).假設(shè)∠BAP=x°,∠CAP=mx°,∠DCP=y°,∠ACP=ny°,∠P=z°,0°＜x,y,z＜180°,m，n＞0.試探究m，n，z之間的數(shù)量關(guān)系.

圖2

解：由題意，得

消去x，得(n-m)y=180-(m+1)z.

在0°＜y,z＜180°，且m,n＞0 的范圍內(nèi)討論，可得：

當(dāng)m=n＞0時(shí)，;

當(dāng)m＞n＞0時(shí)，;

當(dāng)0＜m＜n時(shí)，.

消去y，得(m-n)x=180-(n+1)z.

在0＜x,z＜180, 且m,n＞0 的范圍內(nèi)討論，可得：

當(dāng)m=n＞0時(shí)，;

當(dāng)m＞n＞0時(shí)，;

當(dāng)0＜m＜n時(shí)，.

綜上所述，可得如下結(jié)論：

（1）當(dāng)m=n＞0時(shí)，;

（2）當(dāng)m＞n＞0時(shí)，;

（3）當(dāng)0＜m＜n時(shí)，.

進(jìn)一步變形，可得如下結(jié)論：

（4）當(dāng)m=n＞0時(shí)，;

（5）當(dāng)m＞n＞0時(shí)，;

（6）當(dāng)0＜m＜n時(shí)，.

2.命題生長源

結(jié)論（1）（2）（3）是命制此道模擬試題的生長源.z的取值范圍由決定，進(jìn)一步是由m和n決定.當(dāng)且僅當(dāng)m=n＞0時(shí)，z的值是唯一確定的.例如，當(dāng)m=n=1時(shí)，z=90,此時(shí)∠P是直角.當(dāng)m≠n時(shí)，z的取值范圍介于之間；當(dāng)|m-n|越小時(shí)，z的取值范圍越?。划?dāng)|m-n|越大時(shí)，z的取值范圍越大.例如，當(dāng)n=1,m=2時(shí)，60＜z＜90,∠P是銳角；當(dāng)n=5,m=0.8 時(shí)，30＜z＜100,∠P可以是銳角、直角或鈍角.通過調(diào)節(jié)m，n的大小，就可以影響∠P的大小，命題者可以“調(diào)數(shù)控形”了.

結(jié)論（4）（5）（6）也是命制此道模擬試題的生長源.當(dāng)n和z的值確定了，n和的大小也隨之確定，那么m的取值范圍是中的一種.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，m的值是唯一確定的（例如，當(dāng)n=3,z=45時(shí)，m=3）.當(dāng)時(shí)，,m的值是不唯一的（例如，當(dāng)n=1,z=60 時(shí)，m＞2）.當(dāng)時(shí)，，m的值是不唯一的（例如，當(dāng)n=1,z=100時(shí)，0＜m＜0.8）.通過調(diào)節(jié)m，n中的一個(gè)比值和∠P的大小，就可以影響另一個(gè)比值的大小，命題者可以“調(diào)形控?cái)?shù)”了.

從教材例題出發(fā)，針對(duì)例題進(jìn)行一般化探究后，得到了六個(gè)關(guān)于m，n和z的相等或不等關(guān)系，這六個(gè)不同的數(shù)量關(guān)系還可以特殊化，這些都為命題者提供了可以挑選的不竭資源.

3.命題策略

步驟1：保留一般化.

保留一個(gè)角度比值的一般化是期望在題源的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生往一般規(guī)律進(jìn)行探索的重要手段.其中一個(gè)角度的比值設(shè)為k+1而不是k，是因?yàn)樵谟?jì)算過程中k+1能夠巧妙地減少計(jì)算量.這樣的命題既增加了思維量，又控制了計(jì)算量.

步驟2：賦值特殊化.

該模擬試題中有四個(gè)命題需要判斷是否正確，四個(gè)命題分別由一般化結(jié)論賦值特殊化而來.

以一般化結(jié)論為藍(lán)本，取四個(gè)特例，使該模擬試題變得多滋多味.命題①是從特殊角度推算特殊比值，入口較寬，有利于學(xué)生對(duì)于基本解法的探索；命題②構(gòu)造了一個(gè)正確的特例，以便讓師生能揭開此題最大懸念，激發(fā)學(xué)生探究兩個(gè)角度的比值和∠P之間規(guī)律的興趣；命題③是從特殊比值向特殊角度逆推；命題④設(shè)置需要分類討論的等腰三角形作為結(jié)論，這與∠P本身是可變的具有匹配的可能性.命題②較命題①，命題④較命題③呈現(xiàn)遞進(jìn)式問題設(shè)置，命題①②較命題③④呈現(xiàn)順逆式問題設(shè)置.

步驟3：化身成題.

模擬試題如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD之間，CP平分∠ACD，連接AP，∠CAP與∠BAP的度數(shù)的比值為k+1.下列結(jié)論：①當(dāng)∠P=60°時(shí)，k=2;②當(dāng)∠P=40°時(shí)，；③當(dāng)k=0時(shí)，△ACP一定是直角三角形；④當(dāng)k=1時(shí)，△ACP一定是等腰三角形.其中正確的結(jié)論是（ ）.

圖3

（A）①② （B）②③

（C）②③④ （D）③④

參考答案：B.

該題的題干是在題源的基礎(chǔ)上對(duì)于一對(duì)角度的比值進(jìn)行了一般化，四個(gè)命題是在一般化結(jié)論中對(duì)∠P、角度的比值、△ACP進(jìn)行了特殊化.經(jīng)歷定量計(jì)算和定性分析，一般化和特殊化相互作用，雙向理清角度之間的關(guān)系，顯露數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).通過問題驅(qū)動(dòng)，層層遞進(jìn)，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，正確處理一般化和特殊化的關(guān)系，提高靈活遷移的效率.

三、命題反思

命題者從教材出發(fā)，根據(jù)考點(diǎn)，尋找匹配程度較高的例題作為題源，再針對(duì)題源進(jìn)行一般化研究，尋求蘊(yùn)含的數(shù)、形規(guī)律，最后從研究成果中選取一部分精華編制成模擬試題，如此這般，一道中考模擬題就新鮮出爐了.此類試題的命題策略一般包含以下三個(gè)方面.

1.以本尋根，題海棄之

從教材出發(fā)，根據(jù)要考查的知識(shí)點(diǎn)，尋找匹配程度較高的例題，篩選出的例題應(yīng)包含基本圖形、基本模型或基本思想方法，具有典型性，可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)，以便為下一步探究使用.眾所周知，在中考復(fù)習(xí)階段，回歸教材才能有效減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，追根溯源，夯實(shí)基礎(chǔ)，才能展開靈活的綜合運(yùn)用.該模擬試題中熟悉的幾何直觀，融合了理性的思考，周密的計(jì)算，將初中階段多個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)融合在一起，此試題是對(duì)教材例題的繼承和發(fā)展.

2.例題為干，一般化之

教材中的例題（題源）涉及多個(gè)角，多種數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，彼此之間相互關(guān)聯(lián)，相互制約，通過抽絲剝繭，確定將兩個(gè)角度的比值和∠P作為研究對(duì)象，將三者和諧統(tǒng)一在一個(gè)及其常見的圖形當(dāng)中，其中必隱含數(shù)、形規(guī)律.命題者充分挖掘典型教材例題的潛能，洞悉圖形的自然規(guī)律，從特殊到一般不斷探索，得出的六個(gè)結(jié)論讓人不禁贊嘆.將教材例題一般化研究后，可以變化出一類題目，無論是特殊的，還是一般的，都包含有教材例題的通性、通法，這類題目將成為下一步命制試題的源泉.

3.開花結(jié)果，優(yōu)而取之

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和考試大綱對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的要求，在六個(gè)結(jié)論中擇優(yōu)錄用，匯制成題，方法兼顧一般和特殊.該模擬試題中，將題干中兩對(duì)角度的比值一般化，四個(gè)命題涉及角度特殊化、比值特殊化、圖形特殊化，如此優(yōu)化設(shè)置后就得到了四個(gè)或真或假的命題.試題行文簡(jiǎn)潔，背景熟悉，角度新穎，層次分明，綜合性強(qiáng)，包含數(shù)學(xué)核心知識(shí)，滲透了多種數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的多項(xiàng)能力.至此，一道經(jīng)典的教材例題華麗轉(zhuǎn)身成為一道中考模擬試題.這樣的試題往往是源于教材，又高于教材的.

總之，此類試題可謂是教材例題一般化和特殊化的“化身”.深入研究例題后，帶給命題者以靈感，從一開始的一般化到之后的特殊化，成為命制試題的寶藏.同時(shí)，飽含一般化和特殊化元素的試題為學(xué)生提供了從特殊到一般，從一般到特殊的雙向訓(xùn)練，助力學(xué)生思維水平和數(shù)學(xué)推理思想的提升.這種命制試題的經(jīng)歷給命題者提供了一種有效的命題策略.