張翔 陸正福

摘? ?要：對于浮點數(shù)（雙精度數(shù)）計算中混沌映射存在著比較明顯的有限精度效應(yīng)，文章設(shè)計了一種多精度計算方法，并使用多精度計算來進行混沌迭代運算，比較了精確混沌迭代和近似混沌迭代計算結(jié)果的差異。

關(guān)鍵詞：混沌映射;多精度計算;迭代

1? ? 混沌簡要介紹

1989年英國數(shù)學(xué)家Matthews提出混沌加密方法以來，混沌系統(tǒng)陸續(xù)被應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域?；煦缰阅軌虺蔀橐环N新的密碼體制，是因為有以下幾個適合作為密碼系統(tǒng)的特性：遍歷性、混合性、非周期性以及對初值的敏感依賴特性。

然而，由于實際計算中存在著有限精度效應(yīng)，混沌序列在迭代過程中必將退化為周期序列且周期難以度量。此外，由于使用數(shù)值映射作為密碼流發(fā)生器，有限精度也限制了密鑰空間的大小。這使得混沌序列原本優(yōu)良的性能大打折扣，難以抵御統(tǒng)計分析和參數(shù)重構(gòu)等攻擊。

在這些方面有著許多的研究，Shujun等[1]中介紹了Baptista混沌密碼及其改進的方法，也指出Baptista混沌密碼及其改進的方法的缺陷和破解方法。周紅等[2-4]中為了提高混沌密碼的保密性，分別把m序列擾動實現(xiàn)，反饋控制，前饋型設(shè)計的思想在有限精度下實現(xiàn)。

上面所提到的論文雖然提高了混沌序列的周期，但是由于使用的精度不高，混沌序列的周期也不會超過一定值，所以增加精度才是解決有限精度所帶來影響的根本辦法。

本文提出了一種多精度計算方法，可以有效地提高精度，從而減少混沌映射中的有限精度效應(yīng)。但是計算機中的空間和時間是有限的（尤其是時間），所以不可以無限制地提高精度。因此，本文提出了一種結(jié)合多精度計算生成混沌映射的方式，

2? ? 多精度數(shù)及其運算

本文中的程序是在Java平臺下實現(xiàn)的，在這里沒有使用Java程序中的BigDecimal類，而是使用了一種類似于科學(xué)計數(shù)法的方式來保存數(shù)并進行數(shù)的加減乘除運算。

2.1? 多精度數(shù)的儲存方式

本文中定義了一個類來表示數(shù)，該類是這樣定義的：

varNumber

{

byte value[];

int exponent;

byte type;

}

包括value[]，exponent，type 3個元素，其中，value數(shù)組表示該數(shù)的每一位上的值，value[0]表示該數(shù)的最高位的值，value[1]表示該數(shù)的次高位的值，以此類推，value[len-1]（len為value數(shù)組的長度）表示該數(shù)的最低位的值;在這里定義數(shù)的形式為（0.value）*（256^exponent），exponent表示指數(shù);type用來標(biāo)識數(shù)的類型，用0表示正實數(shù)，1表示負實數(shù)。

在這里使用了256進制，目的在于兩個方面：（1）可以充分利用存儲空間;（2）在把數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制時在程序上容易實現(xiàn)。

本文中所定義的數(shù)不但可以表示實數(shù)，同樣可以用來表示其他類型的數(shù)。比如可以用type=2表示實部為正的純虛數(shù)，用type=3表示實部為負的純虛數(shù)。

最后在本文中定義數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為value數(shù)組的前后第一位均不為0。特殊的定義0為：

varNumber

{

value[0] = 0;

exponent = - 2147483648;

type = 0;

}

其中，-2147483648為Java中最小的整型數(shù)。

2.2? 多精度數(shù)的計算

本文中的多精度計算包括正實數(shù)范圍內(nèi)的加減乘除計算，實數(shù)范圍內(nèi)的加減乘除計算。

由于在Java程序中byte型數(shù)進行加減乘除運算的結(jié)果為int型數(shù)，因此，在中間計算時使用的數(shù)據(jù)類型是int型數(shù)，最后，再把結(jié)果轉(zhuǎn)化為byte型數(shù)。所以，本文中使用了byte數(shù)組的全空間來存儲數(shù)位的方式并不會在計算中造成數(shù)據(jù)溢出。

3? ? 混沌映射

3.1? Logistic映射

Logistic映射又被稱為蟲口問題，其映射形式為：

Xn+1=Xn（1-Xn），0

其中，1≤μ≤4，μ∈（0，4）稱為分形參數(shù)。當(dāng)0<μ≤3時，迭代后的值為穩(wěn)定不動點，μ逐漸增大，出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，當(dāng)3.569 945 972…<μ≤4時，系統(tǒng)工作于混沌狀態(tài)。此時所產(chǎn)生的序列{Xn，n=0，1，…}具有非周期、非收斂以及對初始值十分敏感等特性。

3.2? 分段線性映射

分段線性映射最常見的是帳篷映射和移位映射。帳篷映射的迭代公式如下：

其中，Xn，p∈（0，1）分別為系統(tǒng)的狀態(tài)和參數(shù)。

移位映射的迭代公式如下：

Xn+1=aXn（mod1），Xn∈（0，1）

其中，Xn為系統(tǒng)的狀態(tài)，a>1為系統(tǒng)的參數(shù)。

4? ? 精確混沌迭代和近似混沌迭代的比較

本文選取Logistic映射進行研究，在Logistic映射中取參數(shù)μ=4，初值，x0在程序中表示為：

varNumber

{

value[0]= 32;

exponent=0;

type=0

}

實驗步驟如下：

（1）對該映射進行n次的迭代計算，并在迭代中保留小數(shù)的所有位數(shù)。

（2）對經(jīng)過迭代計算得到的數(shù)進行取舍（四舍五入），保留其前10位，得到精確迭代計算的結(jié)果。

（3）把初值代入混沌映射中進行計算，得到x1的值，對x1的標(biāo)準(zhǔn)形式進行取舍，在byte數(shù)組中只保留前10位（不足10位的全部保留）。

（4）按照（3）的方法計算x2，x3，…xn，xn為近似迭代計算的結(jié)果。

（5）對精確迭代計算的結(jié)果和近似迭代計算的結(jié)果進行比較。

5? ? 實驗結(jié)果和總結(jié)

在實驗中分別取迭代次數(shù)n為10，15，20次，并進行比較，比較結(jié)果如表1所示。

從表1可知，在迭代次數(shù)不高的時候，精確混沌迭代和近似混沌迭代的結(jié)果差別不大，但是不同的位數(shù)增加了。在無法在精確計算的條件下進行高次迭代（比如300次）時，可以推斷只要迭代次數(shù)足夠，近似計算所產(chǎn)生的擾動對混沌映射有很大的影響。

[參考文獻]

[1]SHUJUN L，GUANRONG C，KWOK-WO W，et al.Baptista-type chaotic cryptosystems problems and countermeasures[J].Physics Letters，2004（338）：368-375.

[2]周紅，凌燮亭.有限精度混沌系統(tǒng)的m序列擾動實現(xiàn)[J].電子學(xué)報，1997（7）：95-97.

[3]周紅，羅杰，凌燮亭.混沌非線性反饋密碼序列的理論設(shè)計和有限精度實現(xiàn)[J].電子學(xué)報，1997（10）：57-60.

[4]周紅，俞軍，凌燮亭.混沌前饋型流密碼的設(shè)計[J].電子學(xué)報，1998（1）：98-101.

Comparison of exact chaos iteration and approximation chaos iteration

Zhang Xiang1， 2， Lu Zhengfu2

（1.Puer University， Puer 665000， China; 2.Department of Mathematics， Yunnan University， Kunming 650091， China）

Abstract：There are some problem in chaos because of finite precison. It is obvious when calculating chaos by floating-point numbers（double precision number）. This paper presents a more accurate method（multi-precision arithmetic）and calculate chaos by this method， comparing the result between in exact chaos iteration and approximation chaos iteration.

Key words：chaos; multi-precision arithmetic; iteration