何笑笑 劉可盈 王吉桓 王蒙蒙 趙陽(yáng)君

摘? ?要：在高溫環(huán)境下，為避免灼傷，穿專用服裝對(duì)人身安全至關(guān)重要。首先，文章利用Matlab繪制出溫度變化圖，獲得其變化規(guī)律;其次，根據(jù)密度等專用服裝材料的參數(shù)值，建立傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型;再次，利用拋物型方程的差分解法以及對(duì)溫度分布條件進(jìn)行離散化，求出方程優(yōu)化結(jié)果;最后，得到I～I(xiàn)V層溫度分布的離散化函數(shù)，并得出結(jié)論：顏色區(qū)域越深，表示溫度越高。以此幫助更好地設(shè)計(jì)高溫專用服裝。

關(guān)鍵詞：Matlab;傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型;偏微分方程

1? ? 問(wèn)題提出和分析

1.1? 問(wèn)題提出

為了設(shè)計(jì)高溫專用服裝，將體內(nèi)溫度為37 ?C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境中，測(cè)量假人皮膚外側(cè)的溫度。為了降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期，本研究利用數(shù)學(xué)模型來(lái)確定假人皮膚外側(cè)的溫度變化情況[1]。

1.2? 問(wèn)題分析

考慮到工作者在不同溫度的環(huán)境以及穿著不同材料的服裝，人體溫度和部位的皮膚溫度不同，首先，本研究基于溫度和時(shí)間的變化規(guī)律，繪制出溫度變化圖;其次，利用擬合得到溫度與時(shí)間的關(guān)系函數(shù);最后，根據(jù)每個(gè)織物材料層都有熱傳導(dǎo)率ki（i=1，2，3，4）、密度等參數(shù)值，建立傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型。但鑒于穩(wěn)態(tài)之前有一個(gè)過(guò)程，故利用拋物型方程的差分解法以及對(duì)溫度分布條件進(jìn)行離散化，求出方程優(yōu)化結(jié)果。

2? ? 模型建立和求解

2.1? 模型建立

首先，根據(jù)熱量守恒定律，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量Q，則從t1到t2這段時(shí)間內(nèi)熱源所提供的熱量為：

（1）

其中，F(xiàn)（x，y，d，t）表示熱源強(qiáng)度，Q表示熱源提供的熱量。

又由于各織物材料層是均勻的，但厚度不一樣，因此，各織物材料層則轉(zhuǎn)化為三維熱傳導(dǎo)方程為：

（2）

其中，u=u（t，x，y，d）表示溫度，它是時(shí)間變數(shù)i與空間變數(shù)（x，y，d）的函數(shù);ki為此材料層的熱傳導(dǎo)率，ci為比熱ρi（i=1，2，3，4）為密度，都是已知的常數(shù)，且，。

其次，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)擬合得到假人皮膚外側(cè)的測(cè)量溫度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，建立拋物型方程，利用差分的方法求出其近似的數(shù)值解[2]。

在網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)（k，j）處，一維熱傳導(dǎo)方程可分別表示為：

基于以上模型分析，用x，y，d表示I，II，III織物層，根據(jù)如下的計(jì)算方法得出：

故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

2.2? 模型求解

首先，能夠明確知道的是，環(huán)境溫度即為第I層左側(cè)開始傳導(dǎo)的溫度，第IV層右側(cè)即為假人皮膚的溫度，對(duì)90 min實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，可知初始時(shí)刻人體溫度為37 ℃，時(shí)間在1 745 s人體溫度變?yōu)?8.08 ℃，并在此以后保持不變。我們對(duì)0 s和1 745 s這個(gè)過(guò)程的數(shù)據(jù)利用Matlab軟件進(jìn)行九階擬合，皮膚溫度與時(shí)間擬合關(guān)系如圖1所示。

由圖1可知，粗線為原始數(shù)據(jù)曲線，細(xì)線為擬合的九階曲線圖，可以看到擬合曲線很好地進(jìn)行了擬合，得出假人皮膚外側(cè)的測(cè)量溫度隨時(shí)間的變化函數(shù)為：

（8）

最后，綜合考慮以上建立的模型和數(shù)據(jù)擬合方程，對(duì)溫度分布條件進(jìn)行離散化，求出方程優(yōu)化結(jié)果：

（9）

將優(yōu)化結(jié)果代入上述的優(yōu)化函數(shù)中，得到I層到IV層離散化溫度區(qū)域分布散點(diǎn)圖[3]，如圖2所示。

根據(jù)圖3可以得到I層到IV層溫度區(qū)域的三維分布散點(diǎn)圖，對(duì)應(yīng)不同的時(shí)間和材料距離，對(duì)應(yīng)的溫度也不同，其中，溫度由淺綠到深藍(lán)，顏色越深，溫度越高。

2.3? 結(jié)果分析

通過(guò)對(duì)時(shí)間與溫度的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到溫度與時(shí)間的關(guān)系函數(shù)，建立傅里葉熱傳導(dǎo)方程模型，利用拋物型方程的差分解法以及對(duì)溫度分布條件進(jìn)行離散化，求出方程優(yōu)化結(jié)果，并代入優(yōu)化函數(shù)中，最后得到I層到IV層溫度分布的離散化圖像，得出不同的時(shí)間和材料距離，就會(huì)產(chǎn)生不同的溫度，并且顏色越深，溫度越高。

[參考文獻(xiàn)]

[1]runok工作室.2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[EB/OL].（2018-09-14）[2019-06-10].https：//blog.csdn.net/sdwujk160507140150/article/details/82707400.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3]吳建國(guó).數(shù)學(xué)建模案例精編[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2005.

Research on heat distribution of high temperature garment

He Xiaoxiao， Liu Keying， Wang Jihuan， Wang Mengmeng， Zhao Yangjun

（School of Computer and Information Engineering， Henan Normal University， Xinxiang 453000， China）

Abstract：In high temperature environment， in order to avoid burns， wearing special clothing is important to personal safety. First of all， the paper uses Matlab to draw the temperature change chart and get its change rule. Secondly， the Fourier heat conduction equation model is established according to the parameter values of special clothing materials such as density. Secondly， using the differential solution of parabolic equation and discretization of temperature distribution conditions， the optimization results of equations are obtained. Finally， the discretization function of the temperature distribution of I～I(xiàn)V layer is obtained， and it is concluded that the deeper the color area is， the higher the temperature is. This helps to better design special high-temperature clothing.

Key words：Matlab; Fourier heat transfer equation model; partial differential equation