陳澤南 陳 輝

(永康市第一中學(xué),浙江 金華 321300)

不同電荷分布下電場強度的求解是物理競賽中考察的重點和難點.它對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合分析能力及基本物理思想方法的運用要求較高．高斯定理是求解電場強度的重要方法,常見的還有微元法、對稱法及電鏡法等,適用條件各不相同,需具體問題具體分析．[1]

投影法是指將某一帶電體上特定分布的電荷在某處產(chǎn)生電場與向某個方向投影后另一種分布的電荷產(chǎn)生電場等效來求解電場強度的方法．本文淺談用投影法求解弧形分布、直線分布、球面分布及平面分布等情況下的電場強度．具體如下.

1 投影法求解弧形分布電荷的電場強度

例1.設(shè)半圓環(huán)型導(dǎo)體半徑為r,正電荷均勻分布,線密度為η,求圓心處的場強．

圖1

解析:在半圓環(huán)上取極短的一段弧ab,長度為Δl=rΔθ,所帶的電荷Δq=ηΔl,可視為點電荷．該弧ab對應(yīng)的半徑與水平方向成θ角．弧ab在O點產(chǎn)生的場強

由對稱性可知,半圓環(huán)在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中rΔθsinθ可以看成弧長ab在AB方向的投影,則∑rΔθsinθ就是半圓在水平方向的投影——直徑AB,即

∑rΔθsinθ=2r.

半圓環(huán)型導(dǎo)體在圓心產(chǎn)生的場強，等效成導(dǎo)體在垂直對稱軸的投影形成的導(dǎo)體AB所具有的電荷η·2r集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產(chǎn)生的場強．

圖2

拓展例1.弧形導(dǎo)體AB半徑為r,正電荷均勻分布,線密度為η,在圓心處產(chǎn)生的場強等效成弦AB長的導(dǎo)體所具有的電荷η·2rsinθ集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產(chǎn)生的場強，

方向沿O′O方向.

2 投影法求解直線分布電荷的電場強度

例2.如圖2所示,一根無限長直導(dǎo)線,電荷均勻分布,電荷線密度為η,求距離該導(dǎo)線為r的O點的場強．

圖3

圖4

拓展例2.一根有限長直導(dǎo)線,正電荷均勻分布,電荷線密度為η,離導(dǎo)線距離為r的O點的場強可以等效成導(dǎo)線AB向O點投影形成的弧ab在O點的場強．該點的場強可以用拓展例題1的結(jié)論來求解,

方向沿著弧ab的對稱軸O′O,由O′指向O．

3 投影法求解球面分布電荷的電場強度

圖5

例3.一半徑為r的半球面均勻帶正電,電荷面密度為σ．求球心處的電場強度．

解析:在半球面上取極小的一塊球面ΔS,所帶的電荷Δq=σΔS,可視為點電荷．該球面ΔS與O點的連線與水平方向成θ角．球面ΔS在O點產(chǎn)生的場強

由對稱性可知,半球面在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中ΔSsinθ可以看成球面ΔS在水平面上的投影ΔS′,則∑ΔSsinθ就是半球面在水平方向的投影——圓面πr2,即∑ΔSsinθ=πr2.

圖6

拓展例3.一半徑為r的部分球面均勻帶正電,電荷面密度為σ．球心處的電場強度，可以等效成部分球面在與對稱軸垂直的面上的投影形成半徑為rsinθ的圓面所具有的電荷σπ(rsinθ)2集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產(chǎn)生的場強．

4 投影法求解平面分布電荷的電場強度

圖7

例4.一無限大均勻帶正電平面,電荷面密度為σ,求距平面距離為r的O處的電場強度．

解析:在平面上取極小的一塊平面ΔS,所帶的電荷Δq=σΔS,可視為點電荷．該平面ΔS到O點的距離為d,與O點的連線與豎直方向成θ角．球面ΔS在O點產(chǎn)生的場強

由對稱性可知,無限大帶電平面在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中ΔS′是ΔS在垂直與O點連線方向的投影.

其中ΔS″是ΔS與O點形成的錐體與半徑為r的半球面相交的曲面,則∑ΔS″就是將無窮大的平面與O點形成的錐體與半徑為r的半球面相交得到的曲面,即半球面的面積——2πr2,即∑ΔS=2πr2.

5 結(jié)束語

弧形(球面)分布電荷產(chǎn)生的電場強度可以等效為與對稱軸垂直的直線(平面)投影形成的線段或圓面所具有的電荷集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產(chǎn)生的場強．而直線(平面)分布電荷產(chǎn)生的電場強度可以等效為O點投影形成的半徑為r的部分圓弧(球面)所具有的電荷集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產(chǎn)生的場強．通過以上幾種模型的討論與思考,對提升競賽中學(xué)生數(shù)結(jié)合分析能力及物理思想方法有積極作用．